2025-2026学年高一下学期知识清单

第五章三角函数 1.正弦型函数y=Asin(w+p)(A>0.w>0)的性质 (1)值域：[-A,A] (2)周期性：T=2x (3)对称中心：令wx+9=kr,k∈Z,解出x,.对称中心为(…，0)，k∈Z (4)对称轴：令wx十9=受+标，k∈乙，解得对称轴为D=…(k∈Z) (5)奇偶性：当0=k(k∈Z)时是奇函数；当p=kx+5(k∈Z)时是偶函数 (6)单调性（同增异减）：令2kx-5≤ox+0≤2km+5,k∈Z,解得单增区间： 令2kx+受≤十9≤2km+,k∈Z,解得单减区间 2.正切型函数y=Atan(wx十p) 山周期：T-日 (2)单调区间：同增异减。 (3)对称中心：令wm十9=受，kE么一求z得对称中心 3.图像变换y=Asin(wx十p) ①左加右减(p):注意c的系数必须为1， 如：将y=sin(3x+答)向右平移至得y=sn3(知-置)+君)】 ②伸缩变换(o:横坐标伸or缩为原来的己 如：将y=sin(3x+若)横坐标变为原来的3倍得y=sin(3-(号+若)=sin(x+若) ③振幅变换(A):大伸小缩一一A>1时，伸；0<A<1时，缩 4.两角的和差公式 cos(a+B)=cosacosp-sinasinB cos(a-B)=cosacosp+sinasinB sin(a+B)=sinacosB+cosasing sin(a-B)=sinacosp-cosasinB tana+tanB tan(a+8)=1-tanatanB tana-tang tan(a-B)=1+tanctang 5.辅助角公式：asing+-bcosa-=√a2+bsin(x+p),tanp= a 四当a-b时，可引入g至：当号引-5或8-9时，可引入。若或音 3 (2)辅助角公式的常用变形 inr十osr=V反sin(r+径】 sint-cosx=√2sin(x-T） sinx+V5cosx=2sin(e+号） inx-V5cost=2sn(r-号 sins+co6-2sin() √3sin-cosx=2sin(x- 6 6.二倍角公式：①sin2a=2 sinacosa 2cos2a=cos'a-sin'a =1-2sin2a 2cosa-1 ③tan2a= 2tana 1-tan a 变形：(1)平方变换：(sina±cosa)=1±2 sinacosa1±sin2a (2)降次变换：①sin2a=1-cos2L②cos'a=1+cos2L:③tana=1-cos2a 2 2 1+cos2a ·1 7.化简解析式时一般需要将二倍角公式和辅助角公式联合使用，常见变形有以下三个： sinacosa-sin2a sin'a=1-cos2a cos'a=1+cos2a 2 2 8.已知图象，求f(x)=Asin(ox十p)+b(A>0)的解析式 (1)第一步：求A.①若b=0,则函数f(x)的最大值（振幅)即为A. ②若已知最大值M和最小值m,则A=Mm,b=M牛m 2 (2)第二步：判断周期，求0= 2π [注]相邻对称中心之间是号个周期，相邻对称轴之间是号个周期，相邻的对称中心与对称轴之 间的距离是士个月期，正切型函数相尔两对称中心之间的距高是号个周期， (3)第三步：代特殊点，求φ.优先代最值点：若代零点，需注意图象走势是上升还是下降 第六章平面向量 1.平行向量：方向相同或相反的向量，记作d∥.平行向量也叫共线向量 2.向量运算 运算 定义法 d=(c,h),=(x2,) ●三角形法则：首尾相接，和向量由起点指向终 点，即AB+BC=AC 加法 线 d+=（x1+x2,1+y2） 性 运 ●平行四边形法则：同起点，和向量由起点指向对 算 角线端点，即OA+OB=OC 减法 三角形法则：同起点，连接终点，方向指向被减向 d-=(如-亚2，h-） 量，即OA-OB=BA 数乘 实数1与向量a的乘积是一个向量，记作d. 1a=(1c1,1h)】 数量积 a.B=acose d.B=ac2+yy2 3.AA+A1A十…十An-2An-+An-1A=AA(n个首尾相接的向量相加，其和向量是首向量的起 点指向末向量的终点) 4.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，其结果仍为向量：数量积运算的结果是一个数量， 5.共线向量定理：与(a≠0)共线台存在唯一的1∈R,使=d. 6与关线的风阳州医为一骨与8方的有丽的牛饮向显 a 7.以原点O为起点的OA的坐标与终点A的坐标相同，即若A(c,),则OA=(x,y), 8.若向量起点A(c,),B(c2,y),则AB=(-x,-). 9中点坐标：若A(,),B(,),则AB的中点P十，十 2,2 2 10.中线的向量表达式：在△ABC中，M是BC中点，则A=号(A店+AC) 11.重心：中线的交点，有OA+O房+OC=d,A6=专(A店+AC ①已知△ABC的顶点为(c,),i=1,2,3,则重心坐标为P(西++，血++边) 3 ②重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为AO:OD=2:1 m D 12,爪了定理：已知D在线段BC上，且盼-咒，则而-mn正+min C m+n mtn 13.向量问题的常见策略 定义法 坐标法d=(m,h),=(c2,) ●威=√a ●若d=(x,),则威=√2+y 求模长 ●a+3=√(a±32 d.B ●若AB=(-1,-h,则 ●威- AB=√x,-西)+(-h月 夹角<a, d C1C2+y12 cos= (d,≠可，0∈[0，r] cos日= (同起点) a √+iv√+2明 d>0 夹角范围问题 若0为锐角，则 d≠b 若9为钝角，则云.6<0 d≠ aL8 d6=0 D1C2+h=0 a〃 d=→系数对应相等 C1y2-x2y1=0 ①定义法：a.方=dcos0 求数量积 ②坐标法：d.=x2十h ③向量分解：将向量分解到已知向量或能求的向量 ④极化恒等式：在△ABC中，AB.AC=AD-B(D是BC的中，点) OA=dcosle d在6上的 ①先求+ 2 2 ’√c+ 6 成6可 投影向量OA1 可同可 ②再求acos0=+y √+弱 ③最后OA=dcosla d在6上的 投影向量模长 lA-lalcos d-B A,B,C三点共线 ①3A∈R,使AB=1AC:②31，u∈R,使OC=1OA+uOB且1+u=1 14.余弦定理：在△ABC中，A,B,C所对的边长分别是a,b,c,则三角形中任何一边的平方，等于 其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 ·3 求边 求角 变形 a2=b2+c2-2bccosA CosA= b2+c2-a2 b2+c2-a2=2bccosA 2bc b2=a2+c2-2accosB cosB= a2+c2-b2 a2+c2-b2=2accosB 2ac c2=a2+b2-2abcosC cosC=a2+b2-c2 a2+b2-c2=2abcosC 2ab 15.正弦定理：任意三角形中，各边边长与所对角的正弦值之比相等 A-B一C-2R(2x为△MbC的外接园直径倒) a 变形：①角化边：inA=员snB-京，C-员 ②边化角：a=2 RsinA,b=2 RsinB,c=2 RsinC a+b+c a+b a+c b+c sinA+sinB+sinC=sinA+sinB-sinA+sinC-sinB+sinc sinA a:b:c=sinA:sinB:sinC 16,三角形面积公式：S=)bcsinA=-)-absinC=号aesinB 17.射影定理：a=bcosC+ccosB b=acosC+ccosA c=acosB+bcos A A B D 18.角平分线问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,则 (1)等面积法：SAABD十S△ACD=SAABC (2角平分线定理：把=器，即品-S BD CD 19.解三角形的常见策略 ①边化角：正弦定理.边化角、角化边时，一定要将“2R”带好，后面再约分，避免错误 ②角化边：正弦定理、余弦定理 ③余弦定理十基本不等式：求最值问题；先配方，全部化成a+b和ab的形式，面积问题保留ab, 周长问题保留a十b. ④正弦定理+辅助角公式：求最值问题 ⑤等面积法：涉及到角平分线、高线的问题 20.三角形中常见的三角函数关系 ①sin(A+B)=sinC ②cos(A+B)=-cosC ③tan(A+B)=-tanC ④sinA+B 2 ⑥cos=in 2 21.判断三角形形状 ①c0sA=0→A=90°→△ABC是直角三角形 ②cosA<0一A为钝角→△ABC是钝角三角形 ③sinA=sinB→A=B→△ABC是等腰三角形 ④sin2A=sin2B一A=B或A+B=5→△ABC是等腰三角形或直角三角形 ps:若acosA=bcosB,则sinAcosA=sin BcosB,即sin2A=sin2B ⑤cosA=cosB→A=B→等腰三角形 22.在△ABC中，a>b←→A>B←→sinA>sinB(大边对大角)→cosA<cosB 23.在锐角△ABC中，恒有sinA>cosB. 第七章复数 1.复数：z=a+bi(a,b∈R),复数集：C={a+bi|a,b∈R}. (1)a叫复数z的实部；b叫复数z的虚部 复数C (2)i叫虚数单位，2=-1.i的幂具有周期性，周期为4. 虚数 「b=0:实数a 实数 纯虚数 R (3)分类：z=a+bi a=0:纯虚数形如z=bi b≠0：虚数〈 REC a≠0：非纯虚数a+bi 2.复数相等：设a,b,c,d∈R (1)a+bi=c+di台a=c且b=d; (2)a+bi=0台a=b=0. 注：一般对两个不全是实数的复数只能说相等或不相等，不能比较大小.若两个复数能比较大小， 则它们必为实数 3.复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴. 个 (1)实轴上的点都表示实数(b=0): <-a+bi (2)虚轴上的点（除原点外）都表示纯虚数（a=0,b≠0)； Z(a,b) 4.复数z=a+bi的模：lz=a+bi=OZ=a2+b 5.z=a+bi的共轭复数元=a-bi(两个复数的实部相等，虚部互为相反数) ①z=z ②z·z=a2+b 6.设a=a十bi,z2=c十di是任意两个复数，则： (1)加法：z1+z2=（a+c)+(b+d)i, (2)减法：z1-z2=(a-c)+(b-d)i (3)乘法：z1z=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi=(ac-bd)+(ad+bc) 除法：会-8牛餐-合闲岛--城- c2+d2 c2+d2 c2+d2 (除法法则：分母实数化，即上下同乘分母的共轭复数) 7.复数的几何意义：复数z=a十i一对应点Z(a,b一对应向量02=(a,b) [注]为方便起见，常把复数Z=a十bi说成点Z或说成向量OZ,并且规定，相等的向量表示同一个 复数. 8.复数模的几何意义：复数z=a+bi的模就是复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点 的距离 9.复数差的模=对应向量差的模=两点距离，即1-z=O乙-0Z=☑Z ①z=3,点Z的轨迹是以原点(0,0)为圆心，半径T=3的圆： ②Z-(2+i)=3,点Z的轨迹是以点(2,1)为圆心，半径T=3的圆. 10.实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在复数集内的解： ①若△=b2-4ac≥0时，方程有实数解x=一b±△ 2a ②若△=-4ac<0时，方程有复数解x=二b±√二△：1 2a ·5· 第九章 根据底面的边数：（棱柱)三棱柱、四棱柱、五棱柱. 1.棱柱的分类：棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面 按侧棱是否垂直底面- 正棱柱：底面是正多边形 直棱柱 其他直棱柱 2.常见棱柱的名称 ①斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱， ②直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱， ②正棱柱：底面是正n边形的直棱柱叫做正棱柱，如正四棱柱底面为正方形， ④平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边 形 3.正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的投影是底面的中心的棱锥 ①侧棱相等，各个侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高； ②从正棱锥的顶点向底面引垂线，该垂线必过底面的中心； ③棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影组成一个直角三角形，如Rt△POM: ④棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的投影组成一个直角三角形，如R△POB. 4.圆柱的轴截面是矩形 5.圆锥轴截面是等腰三角形，侧面展开图是以母线长为半径的扇形，. 6.圆台的轴截面是全等的等腰梯形 7.画直观图：横不变，纵减半，平行关系永不变 (1)在已知图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴 和y轴，两轴相交于点O',使∠x'O'W=45°（或135）； (2)平行关系不变：原图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中仍平行于x轴或y轴： (3)横不变，纵减半：平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变： 平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半. 8.异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线 ① ② ③ 注：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线. 9,直观图的面积是原图形面积的是，即S=是8。 ·6 原图形的面积是直观图面积的2√2倍，即S原=2√2S言： 10.体积：V柱体=Sh =号S% Vaw-g(SL+S:lV5_Sr)h 11.旋转体的体积、表面积和侧面积 (1)圆柱：V圆柱=Sh=πrh S圆柱表=2S底十S侧=2πr(r+) S圆柱侧=2πr礼 (2)圆维：生=号5%=号h S圆维表=S底十S侧=πr(r十) S圆维侧=元r礼 (3)圆台：Va台=号(S:+S,+VSS)h=号(r++rn)h S圆台表=S上+S下十S侧=πr2十πr十元T上l+πr下l S圆台侧=元r上l+πr下l (d球体：=青x S球=4πr2 12.球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆： ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. 13.球的截面的性质 ①球心O和截面圆心O1的连线OO1垂直于截面； ②球心O到截面的距离d、球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：R=r+dP. 14.外接球球心：找到底面外接圆的圆心O,过点O作底面的垂线，则球心一定在垂线上 15.确定一个平面： (1)不共线的三点确定一个平面： (2)经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面： (3)经过两条相交直线，有且只有一个平面.： (4)经过两条平行直线，有且只有一个平面 16.判断三点共线的方法：先确定平面α与平面B的交线l,再说明三个点都是两个面的公共点，然后 利用公共点一定在公共直线上，证毕 17.证明四点共面：只需要证明两条直线平行即可. 18.等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 19.平行四边形的判定：①一组对边平行且相等：②两组对边分别相等：③两组对边分别平行 20.过直线外一点与该直线平行的直线有且只有一条，过平面外一点与该平面平行的平面有且只有 个 1.线线平行怎么证 ①传递性：（空间中）平行于同一条直线的两条直线互相平行.即{8伦→aW心 bllc ②三角形的中位线（找中点）：在△ABC中，E,F分别是AB,AC的中点，则EF∥BC ③平行四边形的对边平行（先证平行四边形）：在口ABCD中，AB/DC ④棱柱的侧棱互相平行：在棱柱ABC-ABC1中，AA∥BB1, ⑤平行线分线段成比例：ABEn,且器一架CDA以 ·7 特别地，若一条直线截三角形的两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于 三角形的第三边， ⑥线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线 alla 与交线平行，即{acB→a仍.（线面平行→线线平行） anB=b ⑦面面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.即 al/B a∩y=a→al/仍（面面平行=线线平行) B∩y=b ⑧线面垂直性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行.即 a1a今a∥b b⊥a1 2.线线平行有什么用/可以推出什么 ①平行线之间距离处处相等 ②一组线线平行→线面平行 ③两组线线平行→面面平行(ps:只能用于小题) ①Y行线分线发成比例：5/CD/2S-C 3.线面平行怎么证 ①判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. a∥b 符号语言：{a4a→a∥a（线线平行→线面平行) bCa ②利用面面平行：两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 符号语言： Ja∥B ICa →l∥B （面面平行→线面平行)】 4线面平行有什么用/可以推出什么 ①线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直 alla 线与交线平行.即 aCB →a/b （线面平行→线线平行) anB=b ②两组线面平行一面面平行 ●5面面平行怎么证 ①判定定理：一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行， al∥a b∥a 符号语言：{a∩b=P→B∥a（线面平行→面面平行) aCB bCB ·8 ②利用线面垂直：垂直于同一条直线的两个平面平行.即0上0 a⊥B →a∥B ③利用平面平行的传递性：平行于同一平面的两个平面平行即：少A BI∥y =u∥Y ④利用线线平行（限小题）：一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行， 则这两个平面平行 6面面平行有什么用/可以推出什么 ①面面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. a∥p 符号语言：{a∩y=a→a∥b（面面平行→线线平行) B0x=6 ②证明线面平行：两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 符号语言： 「al∥B →l∥a ICB （面面平行→线面平行) 7线线垂直怎么证 ①等腰三角形中“三线合一” 在△ABC中，AB=AC且点D是BC的中，点，.AD⊥BC 在△ABC中，AB=AC且∠DAB=∠DAC,∴.AD⊥BC D [注]在高中，凡是遇到等腰（等边）三角形，一般都要考察“三线合一”，得到垂直关系， ②菱形（正方形）的对角线互相垂直：在菱形ABCD中，AC⊥BD ③利用线面垂直：如果一条线垂直于一个面，则这条线垂直于面内的任意一条线， 符号语言： lLalLm \mCa ④平行线垂直于同一条直线，即 al/b →b⊥c. ac ⑤圆的直径所对的圆周角为直角 8.线线垂直有什么用/可以推出什么 ①两组线线垂直→线面垂直 ②两组线线垂直→二面角的平面角 ③三垂线定理：斜线在平面内的射影垂直于平面内的某条直线，则该斜线也垂直于这条直线 (逆定理：斜线垂直于平面内的某条直线，则该斜线在平面内的射影也垂直于这条直线，) 9.线面垂直怎么证 ①线面垂直的判定定理：若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个 fl⊥a 平面.即 1⊥b anb=p→l1a （线线垂直→线面垂直) a,bCa ②直棱柱的侧棱垂直于底面：在正方体ABCD-ABCD中，AA1⊥面ABCD ③两条平行直线垂直于同一个平面：两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线 也垂直这个平面.即 [l/m u⊥a →m⊥ ④圆柱的母线垂直于底面. ·9… ⑤两个平面平行，一条直线垂直于其中一个平面，则这条直线也垂直于另一个平面 ⑥如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面 10.线面垂直有什么用/可以推出什么 ①线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即L口 →l∥m lm⊥a ②如果一条线垂直于一个面，则这条线垂直于面内的任意一条线，即·，一1m ImCa 回两条平行直线垂直于同一个平面，即m U⊥& →m⊥a ④垂直于同一条直线的两个平面平行.（线面垂直→面面平行） ⑤若一条线和一个平面垂直，则平面外与这条线垂直的直线与这个面平行， ⑥线面垂直→点到面的距离 ⑦线面垂直→线面角 11.面面垂直怎么证 ①利用面面垂直的定义：如果二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直， ②面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言：cB ∫⊥a →a1R. ③平行平面垂直于同一个平面，即 al/B &⊥Y →B1lY 12.面面垂直的有什么用/可以推出什么 ①面面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这 a⊥B 条直线与另一个平面垂直.即anB=l aca →a上B a⊥l ②若两个平面互相垂直，其中一个平面外的一条直线垂直于另外一个面，则这条直线平行于这个平 u⊥B 面.即{l寸a→l∥ 1⊥B 13.直线与直线所成角 1.求异面直线所成角（范围：[0，乏]）的方法：几何法-一平移：“一作、二证、三求” ①一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角， 利用图中已有的平行线平移/利用特殊点（线段的端，点或中，点）作平行线平移/补形平移 ②二证：证明作出的角是异面直线所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是 钝角，则它的补角才是要求的角. 14.直线与平面所成角 1.线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角.线面角的范围：[0，] 2.求线面角的策略 ·10 ①找垂线：寻找过斜线上一点与平面垂直的直线： ②做射影：连接垂足和斜足，得到斜线在平面上的射影； ③明确角：斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角： ④求角：把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角 15.二面角的平面角 1.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两 条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角，记法：A一PQ一B. 2.二面角的范围：[0.元] 3.求二面角A-PQ-B的平面角的常用方法有 (1)定义法 ①明确两个平面（面APQ,面PQB)和交线PQ; ②取点：在棱（即交线）PQ上选取一个点M; ③做垂线：分别在两个平面内作一条直线垂直交线PQ于M; ④确定角、求角：如果没有长度，可以更具实际情况设长度 [注]在求线面角和二面角的平面角时，可以利用现成的垂直于确定点M的位置.凡是见到等腰三角 形，一定要联想到“三线合一” (2)三垂线法：二面角的一个面上一，点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即 斜足)，斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角· (做垂线→做射影→连斜线) 16.点到平面的距离 1.等体积法：选择恰当的三棱锥，把，点到平面的距离看作是三棱锥顶点到底面的距离. 2.定义法：找垂线，证明线面垂直. 17,专题：外接球与内切球 1.长方体模型：若长方体的长、宽、高分别为α，b,c,则其外接球的球心是体对角线的中点，半径为体 对角线长的一半，即R=a++c四 2 ()墙角模型：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，分别为a,b,c,则R*=a+6+C (2)对棱相等模型：若三棱锥的对棱两两相等，分别为工，y,z,则R外=√ x2+y2+z2 8 (3)阳马、鳖膈模型：将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马：将四个面均为直角三角形 的四面体称为鳖臑.即若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体 2.正方体模型：若正方体棱长为a,则 ()）内切球半径为棱长的一半，即r=号； (2)棱切球半径为面对角线的一半，即r=巨。 2a (3)外接球半径为体对角线的一半，即=臣。 2a. [注]正四面体P-ABC可以补形为正方体，且正方体的棱长a=PA W/2 3.直棱柱模型：直棱柱外接球的球心在上下底面多边形外心连线的中点.先求出底面外接圆半径？， ·11 再求出外接球半径r外=√2+（多(h为棱柱的高）. 2 4.正棱锥模型 94 -R R (1)外接球：先找到底面外接圆的圆心O,和半径π，则外接球球心在正棱锥的高PO,上，在 t△AOO,构造方程R=(h-RP+r,求解外接球半径R=T+足 2h (②)内切球（等体积法）：棱锥表面积S:,内切球半径7，则棱锥V=号Sr=合S人，所以内切球半 径r= S表 (3)已知正四面体P-ABC的棱长为a,则： @商h=5a ②表面积S=√5a2( 体积V=2 2a3 国外接球半径为P0,则R=是P0,=。 回内切球半径为00，则r=子P0,=语a 0 外接球与内切球球心重合，半径之比为R:T=3:1 5.圆柱、圆锥的外接球 (四圆柱的外接球半径：R=√受了+h是圆柱的高。r是圆柱底面圆的半径. 2 (2)同锥的外接球半径：胸沿方程R-h-了-户，所以几-天(a是园注的高.r是网锥成面园 的半径) 第九章统计 全面调查 「抽签法 1.调查方式 简单随机抽样 抽样调查 随机数法：编号为几位，则一次性读几位 分层随机抽样 ·12 2.在一个调查中，调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体.特别地，为了强 调调查目的，也可把调查对象的某些指标的全体作为总体，把每一个调查对象的相应指标作为个体 3.样本：把从总体中抽取的那部分个体称为样本； 样本量：样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量； 样本数据：调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据， 4.从总体中，逐个不放回地随机抽取n个个体和一次性批量随机抽取n个个体作为样本，两种方法 是等价的， 5.简单随机抽样的特点： ①个数有限：总体个数N是有限的 ②逐个抽取：从总体中逐一抽取，这样便于在抽样试验中进行操作； ®等概率：每个个体被抽到的可能性相同，均为是，抽样具有公平性；每个个体恰好在第k次被抽 到的可能性均为是(1≤k≤m), 6.在简单随机抽样和分层随机抽样中中，都可以用样本平均数去估计总体平均数了. 7.∑为求和符号，规定∑Y=Y++…+ 0空+别-+2 ②(k)=kx 8.样本均值与总体均值的关系 (1)在简单随机抽样中，我们常用样本均值去估计总体均值； (2)总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性； (3)一般情况下，样本容量越大，估计值越准确：（但要兼顾效率，并不是样本量越大越好) (4)样本平均数在总体平均数附近波动. 9.分层随机抽样和简单随机抽样都是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等： 10.选择抽样方法的规律： (1)当总体的个体数和样本量都较小时，可采用抽签法. (2)当总体的个体数较大，样本量较小时，可采用随机数法， (3)当总体按一个或多个变量可划分为若干个层时，采用分层随机抽样， 11.频数：在总体（或样本)中，某个个体出现的次数叫做这个个体的频数 12.频率：某个个体的频数与总体（或样本）中所含个体的数量的比叫做这个个体的频率， 13.扇形图：直观描述各类数据占总数的比例（离散型数据） 条形图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率 直方图：直观描述不同分组数据的频率（连续性数据） 折线图：直观描述数据随时间的变化趋势（连续性数据） 14.众数：一组数据中出现次数最多的数： 15.中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据 的平均数， 16.平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数，即：五=o十+十) 1方若：s-是之-或=-云-=西到+叶么一或-++…国 -2 ·13 方差的加权形式：g=∑f(巴-，其中f为四出现的频数 .4 18.标准差：s=√F=之（红，-，标准差的范围[0，+o) 1/n 19.方差越大，标准差越大，数据的离散程度越大；方差越小，标准差越小，数据的离散程度越小.标准 差s=0时表示这组数据的每个数据都是相等的， 20.求一组n个数据的平均数的方法 (1)算术平均数：元=十+x十…十n m (2)加权平均数：元=m+m十：+m4(一组n个数据中，c,的频数为m） m1+m2+…m% 推论：x=p1D十p2心2十十Pc%（一组n个数据中，c的频率为p) 3)分层抽样：西=云-亮计咒可，其中五，7为各层的样本平均数 2 〔④组中值法：云一，小卫表示第个区间的频幸，：表示第组的组中值 21.频率分布直方图 (1)求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差. (②)决定组距与组数：组距，即每个小组的两个端点之间的距离；组数≈极差 组距 ①数据的个数越多，所分的组数也越多.当样本量不超过100时，常分成5一12组. ②一般取等长组距，且组距应力求“取整”.（也可以不等距） ③分组时可以先确定组距，也可以先确定组数， (3)将数据分组：通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间.可以使第一组的左端点 略小于数据中的最小值，最后一组的右端点略大于数据中的最大值 ④列频率分布表：频率三样效富须数和为样本量刀，颜率和为] (5)画频率分布直方图：画图时，横轴是分组，纵轴是组距 ①小长方形的高= 「细距，反映样本数据的疏密程度 ②小长方形的面积=频率，以面积反映数据落在各组的频率 ③各小长方形面积和为1 ④在频率分布直方图中，数据落在各组的频率之比等于相应矩形的面积之比，也等于各矩形的 负度之比即台一受-斧 22.第p百分位数：能使得一组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100一p)%的 数据大于或等于这个值的数， 注：一组数据的百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数 23.四分位数：即第25百分位数，第50百分位数（中位数），第75百分位数.他们把一组由小到大排 列的数据分成四等份. 其中，第25百分位数称为第一四分位数或下四分位数等， 第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等 24.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步：按从小到大排列原始数据： ·14 第2步：计算i=n×p%: 第3步：①若i不是整数，则第p百分位数为第j项数据(j为大于i的最小整数)： ②若i是整数，则第p百分位数为第i项与第i+1项数据的平均数. 25.频率分布直方图中的相应计算 (1)求某个小矩形的高：利用面积和为1，建立方程并求解： (2)求众数：最高小长方形底边中点的横坐标： (3)求百分位数 第1步：计算各组数据的频率（即计算各小长方形的面积）； 第2步：确定百分位数所在的区间[α，b).若小于a和小于b的数据所占的百分比分别为f。%, f%,且fa%<p%<f%,则第p百分位数在区间[a,b)内： 第3步：利用面积比=宽之比，求地p百分位数 ①方程法：设第p百分位数为c,则f。%+(x-a)·ha.b=p% @比例法：第p百分位数=a+心，h。表示[a,b)所对应的小长方形的高 hia:b) (3)求中位数：即第50百分位数，方法与求百分位数的方法相同， (4)求平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形的组中值（即底边中点的横坐标） 与小矩形的面积的乘积之和近似代替，即元= ∑(p2),n表示第i个区间的领率，x中：表示第i组的组中 值 (⑤)估计某个范围内的个体数：先求出该范围内的频率，再用频率乘以总体数： (6)在频率分布直方图中，若从左到右各小矩形的面积之比为a:b:b:d:e,则各组的频率依次为 0 b a+b+c+d+e’a+b+c+d+e’,a+b+c+d+e: 26.分层随机抽样（比例分配） (1)抽样比= 样本量样本中第层个体数 总体数一总体中第i层个体数 ,即k是=没-是光 爱体中个授一幸串贸个餐 样本中第层的个体数 即是如总片 (3)第i层样本数=第i层个体数×抽样比k,即n:=kN 层 2 3 合计 子总体数N M N N N 子样本数n ni n2 ns m 27.分层抽样的均值：十十=元+2+=P西+p+p。 m m m 层 2 3 合计 子样本数n ni n2 ns m 均值① C1 D D 元 占比p=% P1 P2 ps 1 m ·15 28.分层抽样的方差 ①计算各层的样本均值和样本方差：，x,S1,s号； ②计算总体均值： ®分层抽样的方差：=%[s+(远-]+%[+（西-门 层数 1 2 合计 子样本量 ni n2 m 均值 元1 元2 方差 si S3 S 29.平均数、中位数的大小与数据分布形态（单峰） (1)直方图形状对称：平均数和中位数应该大体上差不多： (2)直方图右边“拖尾”：平均数大于中位数： (3)直方图左边“拖尾”：平均数小于中位数 [注]平均数向“尾巴”偏，中位数向“凸起”偏 30.均值、方差和标准差的性质 数据 平均数 方差 标准差 C1,C2,‘,Cn 元 s2 a+b,ax2+b,…,acn+b ax+b a's? lals 31.获取数据的途径：调查、试验、观察、查询(“二手数据”) ·16·