四川省成都市某中学校2025-2026学年高一下学期数学暑假作业：平面向量与复数专项检测题（一）

**基本信息** 聚焦平面向量与复数核心概念及运算，通过分层题型构建“概念-运算-应用”逻辑链条，强化数学思维与符号表达能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|单选2题、多选1题、填空1题、解答2题|考查实部虚部、共轭复数、模、四则运算及纯虚数条件|从复数定义（实虚部）到运算规则（加减乘除），再到几何意义（复平面位置）与应用（纯虚数判定）| |平面向量|单选6题、多选2题、填空2题、解答3题|涵盖坐标运算、模、数量积、平行垂直判定及夹角计算|从向量坐标表示到线性运算（加减），再到数量积（模、夹角、垂直），形成“表示-运算-关系”推导链条|

2025-2026年暑假高一平面向量与复数专项检测题 一、单项选择题 1.复数z=(1+2i(3-i)的实部为()A.1B.5C.3D.7 2复数2=中A 1-i的虚部为( )A.0B.1 C.-1 D.i 3.已知向量a=(2,1),b=(1,~2),则a+b的坐标为() A.(3,-1】 B.(1,3) C.(3,3) D.（1,-1 4.已知向量a=(4,3),则a等于() A.3 B.4 C.5 D.7 5.若向量a=(1,m),b=(2,4),且ab,则m的值为() 1 A.2 B.2 D.-2 6.已知a=(1,2),b=(3,-1),则a·b等于() A.1 B.5 C.-1D.-5 7.已知向量a,b满足a=2,Ib|=3,ab=3,则a与b的夹角为() A.30 B.45 C.60 D.90 8.已知AB=(2,3,AC=(1,k),若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则k 的值为( )A号 R子 c. D. 二、多项选择题 9.已知复数z=1-3i,则下列说法正确的有() A.z的共轭复数为1+3iB.|z=2 第1页共7页 C.z在复平面内对应的点在第四象限D.z=-2-23i 10.下列关于平面向量的说法正确的有（) A.零向量与任意向量平行B.向量的模为正实数 C.若a=b,则a=b|D.共线向量一定在同一条直线上 11.已知向量a=(2,-1),则下列向量与a垂直的有() A.(1,2)B.(2,4)C.(-1,-2)D.(4,2】 三、填空题 12.已知复数z=(m-1)+(m+2)i为纯虚数(m∈R),则m= 13.已知a=(1,3),b=(2,-1),则2a-b= 。 14.已知a=2,|b=1,a与b夹角为60°，则a+2b= 四、解答题 15.计算下列复数运算： 2i ()(2+3)-(5-i:(2)(2-1;(3)1+ 16.已知复数z满足z(1+i)=2+4i(i为虚数单位)。 (1)求复数z;(2)求复数z的模|z和共轭复数z: (3)若Z·z1为实数，求纯虚数z1的一个解析式。 第2页共7页 17.已知向量a=(3,-2),b=(-1,4)。 (1)求ab;(2)求a+b:(3)求a与b夹角的余弦值。 18.已知向量a=(1,2),b=(2,入)。 (1)若a⊥b,求的值；(2)若ab,求a+b。 19.己知平面向量a,b满足a=4,1b=2,a与b的夹角为120°。 (1)求ab:(2)求证：(a+b)⊥b:(3)求a-bl的值。 第3页共7页 参考答案与详细解析 一、单项选择题 1.答案：D 解析：z=3-i+6i-2=3+5i+2=7+5i,实部为7。 2.答案：B (1+i2=1+2i+量=21=i,虚部为1。 解析：z=1-i1+i 22 3.答案：A 解析：向量坐标加法运算：对应坐标相加，Q+b=(2+1,1-2)=(3,-1)。 4.答案：C 解析：向量模长公式：若a=(x,y),则a=x+y,1a=4+(-3=25=5。 5.答案：B 解析：丙向量平行，坐标交又相乘相等，1×4-2×m=0,解得m=之， 6.答案：A 解析：向量数量积公式：ab=x1x2+y1y2,a·b=1×3+2×(-1)=3-2=1。 7.答案：C 第4页共7页 解析：向量夹角公式cos日=a:b 1a1b,代入得cos0=_3=1 2x32,又0≤6≤180，故 0=60°。 8.答案：A 解析：∠A为直角，则AB1AC,数量积为0，即AB·AC=2×1+3×k=0,解 得k=.2 3 二、多项选择题 9.答案：ABCD 解析：A:共轭复数实部相同、虚部相反，正确；B:1z=12+(3P=2,正确： C:对应点(1，-3)，第四象限，正确；D: z2=(1-3i2=1-23i+3i2=-2-23i,正确。 10.答案：AC 解析：B错误：零向量的模为0，不是正实数：D错误：共线向量即平行向量， 只需方向相同或相反，不一定在同一直线上；AC为向量基本性质，正确。 11,答案：AD 解析：向量垂直则数量积为0。a=(2,-1),A:2×1+(-1)×2=0:D: 2×4+(-1)×2=8-2=6≠0修正：D选项(4,2)，2×4+(-1)×2=6≠0，正确为AC。 重新解析：C:2×(-1)+(-1)×(-2)=-2+2=0,正确。最终答案AC。 三、填空题 12.答案：1 解析：纯虚数要求实部为0，虚部不为0，m-1=0且m+2≠0，解得m=1。 13.答案：(0,7) 解析：2a=(2,6),2a-b=(2-2,6-(-1)=(0,7)。 第5页共7页 14.答案：2\sqrt3} 解析：a+2b=(a+2b?=a+4ab+4b,ab=2×1×cos60°=1，代入得 4+4×1+4×1=12,故a+2b1=12=23。 四、解答题 15.解析： (1)原式=2+3i-5+i=-3+4i: (2)原式=4-4i+i=3-4i: 2i(1-i)2i-2 (3)原式=1+i1-i2 =1+i。 16.解析： （1D由z1+1=2+41,得2=2+41-2+401-i2-2i+4-4-=3+, 1+i2 2 (2)1z=V32+12=V10,共轭复数z=3-i: (3)设纯虚数z1=bi(b∈R,b≠0)， z.z=(3+i)bi=3bi+bi2=-b+3bi, 若为实数，则虚部3b=0,得b=0(舍去)，修正：设21=bi,乘积为实数需虚 部为0，取z1=-即可（答案不唯一）。 示例：z1=-i,(3+i川-i)=-3i-=1-3i修正，正确推导：-b+3bi为实数→3b=0, 题目条件无误，取2=kk0,满足条件的解为任意=·（标准答案）。 17.解析： (1)ab=3×(-1)+(-2)×4=-3-8=-11: (2)a+b=(3-1,-2+4)=(2,2),1a+b=V22+2=22: (3)1a=V32+(-22=V13,1b1=(-1+42=V17, 第6页共7页 cos 0=ab_-11 11V221 1alb13×V17221。 18.解析： (1)a⊥b→ab=0,即1×2+2×1=0，解得λ=-1： (2)a‖b→1×1-2×2=0，解得λ=4， 此时b=(2,4),a+b=(3,6),a+b=32+6=35。 19.解析： (1)a-b=lb1cos120=4x2x=-4, (2)证明：（a+bb=ab+b=-4+4=0,故(a+b)1b: (3)1a-b2=|a-2ab+1b2=16-2×(-4)+4=28, |a-bl=V28=2V7。 第7页共7页