8.6.1 直线与直线垂直 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦立体几何中“直线与直线垂直”，核心内容包括异面直线所成角的概念、求法及线线垂直证明。课堂导入通过“温故知新”复习空间直线位置关系和平面内夹角，自然衔接异面直线所成角，搭建平面到空间的认知支架。 其亮点是以正方体为典型载体，通过“平移→构造三角形”关键步骤，结合找、证、求、定四步规范流程，培养学生几何直观与空间观念。总结平移三法及证明线线垂直的多种方法，帮助学生用数学语言表达推理过程，既提升学生逻辑思维，又为教师提供系统教学资源。

第八章 立体几何 8.6.1 直线与直线垂直 相交直线 平行直线 异面直线 1.空间中两条直线的位置关系 O 2.平面内两条相交直线所成角：两条直线相交成四个角中，其中不大于90°的角称为它们的夹角. (刻画了一条直线相对于另一条直线的倾斜程度) 3.异面直线的定义：既不平行，也不相交，不同在任何一个平面内的两条直线. 异面直线 相交直线 平移 温故知新 4.异面直线所成角(夹角)：已知两条异面直线a、b，过空间任一点O分别作a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线a与b所成的角. ①异面直线所成角的取值范围： ⑤若平移至相交后的角的计算结果为钝角，则异面直线所成角应取其补角. ③求法：平移至相交后构造特殊△或正/余弦定理求角的大小. 通常把点O取在直线a或b上 ②若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直，记作a⊥b. ④格式：∵__//__,∴∠____是异面直线___与___所成角(或其补角). 平移至相交所成的锐角(或直角) 新知一：异面直线所成角 [例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. 求直线A1B与C1C所成的角大小; (2) 求直线A1B与AC 所成的角大小; (3) 求直线A1B与DC1所成的角大小; 关键：平移→构造三角形 新知一：异面直线所成角 (4)若O,P分别是面AD1,面A1C1的中心，求直线PO与CD所成角; (5)O是面AD1的中心，求直线B1O与BD所成的角大小; 关键：平移→构造三角形 新知一：异面直线所成角 (6)若M是AB的中点，求直线CM与DB1所成角的余弦值. 关键：平移→构造三角形 考点一：求异面直线所成角 求异面直线所成的角的一般步骤 (1)找角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角． (2)证明：证明找出的角就是异面直线所成的角． (3)求角：求角度，一般常利用解三角形得出． (4)定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．　　 关键：平移→构造三角形 考点一：求异面直线所成角 [例2]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1=O，求证：AO⊥BD. 思路1：求△AOB1三边长，由 勾股定理逆定理得∠AOB1=90° 思路2：构造等边△AD1B1，O为D1B1的中点，得∠AOB1=90° 考点二：证明线线垂直 【思想点拨】两条异面直线垂直实际是异面直线所成的角的一种特例．恰当选点，用平移法构造出一个相交角，证明这个角就是异面直线所成的角(或其补角)，把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角为直角． 证明线线垂直的方法： ①勾股定理逆定理（求三边)； ②等腰(边)三角形的中线与底边相互垂直(“三线合一”)； ③菱形的对角线互相垂直； ④异面直线所成的角为90°． 考点二：证明线线垂直 [练习1]如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2. 求证：BE⊥AC′. 证：取CC′的中点F，连EF，BF， ∵E, F分别为AC, CC′的中点， ∴△BEF中，BE2＋EF2＝BF2， ∴∠BEF=90° ∴异面直线BE和AC′所成角是90°，即BE⊥AC′ 目的：求证异面直线BE和AC′所成角为90° ∴EF∥AC′，∴∠BEF为异面直线BE和AC′所成角， 考点二：证明线线垂直 [例3]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB的中点，则DB1与CM所成角的余弦值为________． 考点二：证明线线垂直 考点三：综合应用 [练习2]如图，在四面体A­BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若直线BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，求EF的长 考点三：综合应用 [练习1]如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2， AD=1，求直线A1C1与D1B所成角的余弦值. 法一(直接&中位线平移法) 法二(补形平移法) 课后练习 课后练习 (2) [变式1] (3) [变式2] AC与BD 75°或15° 60° 60° 1 90° 课后练习 求异面直线所成角的方法：平移至相交所成的角或其补角 平移方法：①直接平移法；②中位线平移法；③补形平移法 求相交角的方法：①观察得特殊△；②求三边定形状or余弦定理 体对角线的平移：①构造其中位线；②补体 证线线垂直的方法： ①求证异面直线所成角为90°； ②求三边&勾股定理逆定理； ③等腰(等边△)的中线也为垂线，垂直于底边. 未完待续…… [方法技巧] 1．关于补形作异面直线所成的角 当不方便作异面直线所成角时，可以考虑补形，一是补一个相同形状的几何体，以方便作平行直线，二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体，如四棱锥补成一个正方体． 2．关于异面直线的应用 当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论． [练习2]如图所示，点A是平面BCD外一 点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝eq \r(2)，求异面直线AD与BC所成的角． 解：如图，设G是AC的中点，连接EG，FG. ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴EG∥BC且EG＝eq \f(1,2)BC＝1， FG∥AD，且FG＝eq \f(1,2)AD＝1. ∴∠EGF为异面直线AD与BC所成的角． 又EF＝eq \r(2)，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°. $