8.6.2 直线与平面垂直（1）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦直线与平面垂直的定义、判定定理及线面角，通过复习线面位置关系，结合旗杆与地面等生活实例观察，从旧知自然过渡到新知，搭建认知支架。 其亮点在于以生活实例引发数学眼光观察，通过“任意到有限”的推理过程培养数学思维，结合符号与图形语言强化数学表达。例题如正方体线面角计算，渗透转化思想，帮助学生提升空间观念，教师可借助清晰结构高效教学。

8.6.2 直线与平面的垂直（1） 1.了解空间中直线与平面的垂直关系. 2.能归纳出直线与平面垂直的判定定理，会用判定定理证明线面垂直.(重点) 3.会求直线与平面所成的角.(难点) 复习回顾 空间中直线与平面有几种位置关系？ 线面位置关系 垂直 斜交 a b 直线在平面内 直线与平面平行 直线在平面外 a∥α 直线与平面相交 a⊂α a∩α=A a a α α α 观察1 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识. 比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系，都给我们以直线与平面垂直的形象. A B 观察2 如图示，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？ C 直线AB与其影子BC所在直线始终保持垂直. 旗杆AB所在直线于地面上任意一条过点B的直线垂直. C' B' 追问 旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线的位置关系又是什么? 与地面内任意一条不过点B的直线B'D'也垂直． 直线AB垂直于平面内的任意一条直线． 记作l⊥α. 1.定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线 l 和平面α互相垂直. α P l 2.画法：画图时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 平面α的垂线 垂足 直线l的垂面 一 直线与平面垂直的定义 判断 1.若直线 l 与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α 5 反思：“若 l⊥α，则直线 l 与平面α内任意一条直线都垂直”，对吗？ l P α 线面垂直 线线垂直 线面垂直的最基本的性质。 问题1 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一 结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ P l α 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 O 证明： P 过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段, 叫做这个点到该平面的垂线段, 垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. P l α O 二、点到面的距离 8 问题2 怎么来判定直线与平面垂直？ 由定义判定直线与平面垂直，简便吗？ 任意 有限 转 化 (1)一条直线和平面内的一条直线垂直，能确保线面垂直吗？ (2)一条直线和平面内的两条直线垂直，能确保线面垂直吗？ ①一条直线和平面内两条平行直线垂直，能确保线面垂直吗？ ②一条直线和平面内两条相交直线垂直，能确保线面垂直吗？ 文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直． 三、直线与平面垂直判定定理 图形语言 符号语言 线线垂直 　　 　 线面垂直 判定定理 定义 例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 已知：如图，a//b，a⊥α，求证：b⊥α. 证明： 如图，在平面α内取两条相交直线m，n. ∵a⊥α， ∴a⊥m， a⊥n. 又∵a//b， ∴b⊥m， b⊥n. 又m⊂α，n⊂α，且m,n是两条相交直线. ∴b⊥α. 结论：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (证明线面垂直的另一方法) 可作定理使用 线面垂直的判定方法 证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义. ②线面垂直的判定定理. ③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.a∥b，a⊥α⇒b⊥α ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 判断 1.过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l垂直 2.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 3.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 B D C S A 练1 如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形， SD⊥平面ABCD. 求证:AC⊥平面SDB. 正方形对角线互相垂直找垂直 线面垂直定义找垂直 （课本152页） 练2 如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点， 且SA＝SB＝SC. 求证：SD⊥平面ABC. 大本P97 例2 等腰三角形，等边三角形找中点找垂直 勾股定理证垂直 15 四、直线和平面所成角 1) 斜线: 2) 斜足: 3) 斜线在平面内的射影: 和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线 斜线和平面相交的交点 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影. ☆平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做直线和平面所成的角. 规定:①若直线垂直平面，则直线和平面所成的角为90° ②若直线与平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角为0 ° ☆直线和平面所成角的取值范围为 α P l A O 直线与平面所成的角是直线与平面内任意一条直线所成角的最小角. 练3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面DD1C1C所成的角； (3)求A1B与平面BB1D1D所成的角. (4)直线A1B和平面A1DCB1所成的角 (5)直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值 求线面角的方法： ①作垂线(过斜线上一点作平面的垂线——证线面垂直) ②连射影(连接斜足和垂足) ③定夹角(斜线和射影所夹角) ④求夹角(构造△求角) 斜线 斜足 垂足 射影 C A M B 求线面角的要点: (1) 找斜线在平面上的射影, 确定线面角. (2) 构造含线面角的三角形, 通常构造直角三角形. (3) 在三角形中求角的大小. 19 如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？ 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它也和这条斜线垂直. a l P O A 平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直， 则它也和这条斜线的射影垂直. 五、三垂线定理 六、三垂线定理的逆定理 21 练3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证： (1)DB1⊥AC (2)B1D⊥平面ACD1 通过这个题，我们总结出正方体中有哪些线线垂直、线面垂直关系吗？ 例3(课本152页) 过△ABC所在平面α外一点P, 作PO⊥α, 垂足 为O, 连接PA, PB, PC. (1) 若 PA=PB=PC, 则O是△ABC的 心. (2) 若 PA=PB=PC, ∠C=90, 则O是AB的 点. (3) 若 PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA, 则O是△ABC的 心. (4) 若P到棱BC, AC, AB的距离相等，则O是△ABC的 心. 如图，在正三棱柱 中，若 ， ，则点 到平面 的距离为_ __. <m></m> 解：∵在正三棱柱 中, , ， ∴ ， 由正三棱柱的性质可知 ， ∴在等腰三角形 中， ， ， ∴ 边上的高为 ， ∴ ， 设点 到平面 的距离为 ，则 ， 解得 . 故点 到平面 的距离为 . 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1．直线与平面垂直的定义 （1）利用定义； （2）利用判定定理． 4．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题 3．直线与平面垂直的判定 线线垂直 线面垂直 2. 直线与平面所成角的概念及范围 垂直于平面内任意一条直线 定义的运用：线面垂直 线线垂直 ∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(5\r(3),2). 在Rt△MAB中，MA＝eq \r(MB2－AB2)＝eq \r(52－42)＝3. 在Rt△MAC中，sin∠MCA＝eq \f(MA,MC)＝eq \f(2\r(3),5). 即直线MC与平面CAB所成的角的正弦值为eq \f(2\r(3),5). 变式2如图所示，在Rt△BMC 中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的长为4，∠MBC＝60°，求直线MC与平面CAB所成的角的正弦值． 解：由题意知A是M在平面ABC内的射影，∴MA⊥平面ABC. ∴MC在平面CAB内的射影为AC. ∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角． 又因为在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°， $