8.6.1直线与直线垂直课件 -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“直线与直线垂直”，核心内容包括异面直线所成的角、垂直判定及应用。通过复习空间平行关系研究过程，类比引出垂直关系逻辑脉络，结合正方体模型创设情境，以平移转化为支架构建异面直线所成角概念。 其亮点在于以问题驱动情境创设，培养数学眼光，通过转化与化归思想及分层例题（如正方体求角、补形法解综合题）发展数学思维，课堂小结明确知识清单与方法，助力学生提升空间观念和推理能力，为教师提供清晰教学流程与多样化资源。

人教A版必修第二册 8.6.1 直线与直线垂直 日期：2026年5月 第八章 立体几何初步 1 1 复习 请回忆并阐述上一节关于空间直线、平面平行的研究过程. 2 2 3 思考 线面间特殊的位置关系是什么？ 平行关系 垂直关系 直线与直线 垂直 直线与平面 垂直 平面与平面 垂直 一、创设情境，引入新知 3 4 思考 类比对平行关系的研究，你认为研究空间直线、平面垂直的过程是怎样的？ 一、创设情境，引入新知 拭目以待 4 5 一、创设情境，引入新知 思考 如果两条直线和垂直，那么这两条直线是什么位置关系？ 相交 异面 5 6 一、创设情境，引入新知 思考 研究异面直线时，我们究竟在研究什么？ 远近、倾斜程度. 6 7 一、创设情境，引入新知 思考 研究异面直线时，我们究竟在研究什么？ 1.远近——异面直线间的距离：与两条异面直线均垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线上两个垂足间的线段叫做两条异面直线间的公垂线段，公垂线段的长度叫做两条异面直线间的距离. 2.倾斜程度. ？ 7 8 一、创设情境，引入新知 回顾 如何刻画两条相交直线的相对位置（一条直线相对于另一条直线的倾斜程度）？ 平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（夹角）. 倾斜程度. 角 8 9 一、创设情境，引入新知 思考 如何刻画两条异面直线的相对位置（一条直线相对于另一条直线的倾斜程度）？ 等角定理 平移不改变角的大小. 9 10 异面直线所成的角 已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线， ，我们把直线所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）. 二、问题驱动，构建新知 平移 角的大小与点有关吗？ 10 异面直线所成的角 相交直线所成的角 11 异面直线互相垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说叫做这两条异面直线互相垂直. 二、问题驱动，构建新知 思考 两条异面直线所成的角的范围是什么？ 锐角或直角. 11 12 问题 空间中两条直线所成的角的取值范围是什么？ 二、问题驱动，构建新知 当两条直线互相平行时，规定它们所成的角为0. 12 如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成的角的大小； 例 1 13 ∵CG∥FB， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中，EF=FB， ∴∠EBF=45°， ∴BE与CG所成的角为45°. 14 (2)FO与BD所成的角的大小. 15 如图，连接FH， ∵FB∥AE，FB=AE，AE∥HD，AE=HD， ∴FB=HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO(或其补角)是异面直线FO与BD所成的角，连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，∴∠HFO=30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 16 (1)作：根据异面直线所成的角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)求：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三求”来概括.同时注意异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°. 求两条异面直线所成的角的三个步骤 反 思 感 悟 在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，求异面直线AD与BC所成的角的大小. 跟踪训练 1 18 如图所示，设BD的中点为O，连接EO，FO， 则EO∥AD，FO∥BC. 所以∠EOF(或其补角)是异面直线AD与BC所成的角. 又EO=AD=1，FO=BC=， EF=，在△EOF中，由余弦定理的推论， 得cos∠EOF===-， 所以∠EOF=.又异面直线所成的角的范围是，所以异面直线AD与BC所成的角为. 19 二 直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面直线__________.直线a与直线b垂直，记作 . 直角 互相垂直 a⊥b 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是异面的，即有共面垂直和异面垂直两种情形. 注 意 点 <<< 22 如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，E为棱AC的中点，AB=BB'=2.求证：BE⊥AC'. 例 2 23 如图，取CC'的中点F，连接EF，BF， ∵E为AC的中点，F为CC'的中点， ∴EF∥AC'，∴BE和EF所成的角为∠BEF(或其补角)， 即为异面直线BE与AC'所成的角，且EF=AC'. 在正三棱柱ABC-A'B'C'中， AC'=2，∴EF=. 24 在等边三角形ABC中，BE==， 在Rt△BCF中，BF==. 在△BEF中，BE2+EF2=BF2， ∴BE⊥EF，即BE⊥AC'. 25 (1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直. (2)平面几何图形性质法：利用勾股定理的逆定理、菱形或正方形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等证明两直线垂直. 证明空间的两条直线垂直的方法 反 思 感 悟 如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1，点P，M分别是AA1，CC1的中点，求证：B1M⊥D1P. 跟踪训练 2 27 如图，取DD1的中点N，连接MN，A1N，PN， 由题意可知，A1B1 D1C1，D1C1 MN， ∴A1B1 MN， ∴四边形A1B1MN为平行四边形，∴B1M∥A1N， ∴直线A1N与D1P所成的角即为异面直线B1M与D1P所成的角. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1， P，N分别为AA1，DD1的中点， 所以四边形A1PND1是正方形， 所以A1N⊥D1P，所以B1M⊥D1P. 28 异面直线所成的角的综合问题 三 (1)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB的中点，则DB1与 CM所成角的余弦值为　　　.  例 3 30 将正方体ABCD-A1B1C1D1补成一个长方体，使BE=AB，连接CE1，ME1，则DB1∥CE1，如图， 所以∠MCE1(或其补角)是异面直线DB1与CM所成的角， 设正方体的棱长AB=a. 在△MCE1中，CM=a，CE1=a，ME1=a， 所以cos∠MCE1==. 所以DB1与CM所成角的余弦值为. 31 (2)如图，在圆柱OO1中，底面半径为1，OA⊥O1B，异面直线AB与OO1所成角的正切值为，则圆柱的高为　　.  4 32 如图，过点B作OO1的平行线交底面圆O于点H，连接OH，AH， 则∠ABH即为异面直线AB与OO1所成的角，tan∠ABH=， 易知OH∥O1B且OH=O1B， 由OA⊥O1B可知，OA⊥OH， 所以AH==，又tan∠ABH=， 所以圆柱OO1的高BH==4. 33 (1)当不方便作异面直线所成的角时，可以考虑补形，一是补一个相同形状的几何体，以方便作平行直线；二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体，如四棱锥补成一个正方体. (2)当已知条件中含有异面直线所成的角时，应先通过平移直线找到该角或该角的补角，有时可能需要分情况讨论. 解决异面直线所成的角的综合问题的策略 反 思 感 悟 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别为棱A1D1，C1D1的中点，过M，N，B三点的截面与平面BCC1B1的交线为l，则直线l 与AD所成角的余弦值为　　　.  跟踪训练 3 35 如图，在平面ABCD中，连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接NE，交CC1于点F，连接BF，则BF就是过M，N，B三点的截面与平面BCC1B1的交线l，由题意得CE=DC=2NC1，△NC1F∽ △ECF，所以CF=2C1F，因为BC∥AD，所以∠FBC是直线l与AD所成的角，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3， 则BC=3，CF=2，BF==， 所以cos∠FBC===. 所以直线l与AD所成角的余弦值为. 36 1.知识清单： (1)异面直线所成的角. (2)利用异面直线所成的角证明两直线垂直. (3)异面直线所成角的综合问题. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：容易忽视异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°. 课堂小结 课堂小结 38 异面直线所成的角、异面垂直的含义. 01 复习巩固 课本习题 02 综合应用 资料这一节 03 四、课后作业 39 拓展思考 预习 03 谢谢大家！ 40 $