第13讲 函数与方程、不等式间的关系（暑假预习讲义）新高一数学人教B版

第13讲 函数与方程、不等式间的关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：求函数的零点 题型 2：判断函数零点所在区间 题型 3：判断函数零点的个数 题型 4：求解高次不等式 题型 5：由零点个数求参数值 题型 6：由零点所在区间求参数 题型 7：用二分法求方程近似解 题型 8：函数零点之和问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数的零点 函数零点与方程根的关系 零点存在性定理 二分法 函数与不等式的关系 三个 "二次" 的关系 用函数图象解不等式 1. 理解函数零点的定义，掌握函数零点与对应方程实数根的等价关系，能求简单函数的零点。 2. 掌握零点存在性定理，能判断连续函数零点的存在性及零点所在的大致区间。 3. 了解二分法的基本原理，能利用二分法求方程的近似解，体会逼近思想。 4. 理解函数与不等式的内在联系，能借助函数图象解一元二次不等式及简单的分式、绝对值不等式。 5. 深化对三个 "二次"（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）关系的理解，能综合运用它们解决相关问题。 6. 体会数形结合、转化与化归的数学思想，提高运用函数观点解决方程与不等式问题的能力。 学习重点：函数零点的概念与求法、零点存在性定理的应用、函数与不等式的关系、三个 "二次" 的综合应用。 学习难点：零点存在性定理的准确理解与灵活应用、用函数图象解不等式、三个 "二次" 的综合应用、二分法求近似解的步骤掌握。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的零点 零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 即时即练函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】函数的零点，即方程的实数根. 由解得，或. 故函数的零点个数是. 故选：D 知识点02 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 与轴的交点个数 2个 1个 0个 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 （1）方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 拓展：高次不等式的概念：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. （2）穿根引线法的步骤： ①将最高次项系数化为正数； ②将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)； ④观察曲线显现出的的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 即时即练已知函数. (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【解析】（1）对，恒成立，即恒成立， 所以，整理得，解得， 所以实数的取值范围是. （2），即， 即，即， 当，即时，原不等式即为，解得； 当，即时，解原不等式得或； 当，即时，解原不等式得或. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 知识点03 函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 即时即练设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】关于的方程有两根，且. ，解得. 故选：B 知识点04 二分法 1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间,验证； （2）求区间的中点； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ①若 (此时),则就是函数的零点； ②若 (此时零点),则令； ③若 (此时零点),则令. （4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 即时即练用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解析】由表格可得，函数的零点在区间（1.75，1.8125）内， 且， 结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C． 题型 1：求函数的零点 【典例1-1】（2026·高一·广西河池·期末）函数的零点是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】解方程，解得. 所以函数的零点是. 故选：A. 【典例1-2】（2026·高一·新疆克拉玛依·期末）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】令，所以，所以，所以， 故选：B 【变式1-1】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 【答案】C 【解析】令，，即，解得或． 故选：C. 【变式1-2】（2026·高三·全国·一轮复习）下列各图象表示的函数中没有零点的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数零点的概念知，函数的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标， 结合函数零点的定义可知选项D没有零点． 故选：D 题型 2：判断函数零点所在区间 【典例2-1】（2026·高一·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数为上的增函数， 故函数在有且仅有一个零点， 因为，， 所以函数的零点所在的区间为． 【典例2-2】（2026·高一·宁夏吴忠·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由解析式可知在上单调递增， 又，， 故函数的零点所在区间为, 故选：A 【变式2-1】（2026·高一·四川眉山·期末）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】显然为增函数， ， ， ， ， ， ， 零点所在区间为. 故选：C. 【变式2-2】（2026·高一·广东汕头·期末）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，根据零点存在性定理，能确定零点不在区间内， 由，根据零点存在性定理，能确定在区间内存在唯一零点， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 故选：B 题型 3：判断函数零点的个数 【典例3-1】（2026·高一·山东临沂·期末）函数零点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】令函数，即， 当时，满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 综上所述：方程有3个实数解，即函数有3个零点， 故选：B. 【典例3-2】（2026·高三·天津红桥·开学考试）已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 【答案】D 【解析】所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点； 由,得函数在区间上至少存在一个零点. 但不能判断函数在其它区间上是否有零点. 因此，函数在区间上至少存在3个零点. 故选：D. 【变式3-1】已知函数，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，有，所以； 当时，有，所以； 这表明函数的取值恒为正数，没有零点. 故选：A. 【变式3-2】函数的零点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】C 【解析】令，则，所以的零点为1和，故有两个零点， 故选：C 【变式3-3】（2026·高一·上海虹口·期末）已知，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】， 令，可得或. 故选：C 【变式3-4】（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个 【答案】B 【解析】因为函数的图象是连续不间断的， 且， 所以根据零点存在性定理，函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由，所以函数在区间上至少存在一个零点； 因此，函数在区间上至少存在2个零点. 故选：B. 题型 4：求解高次不等式 【典例4-1】不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据不等式解集求得参数；再解一元二次不等式，即可求得结果.根据题意，不等式（x+b）[（a﹣1）x+（1﹣b）]＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）， 则方程（x+b）[（a﹣1）x+（1﹣b）]=0的两根为和3， 则有， 解可得：a=5，b=﹣3， 则不等式x2+bx﹣2a＜0即x2﹣3x﹣10＜0， 解可得：﹣2＜x＜5， 即不等式x2+bx﹣2a＜0的解集为（﹣2，5）； 故选：A． 【典例4-2】不等式的解集为______． 【答案】或或 【解析】首先转化为且，从而可得 或，解不等式组即可求解.由可得且， 所以或或 所以或或， 所以不等式的解集为或或， 故答案为：或或， 【变式4-1】（2026·高一·上海·期中）关于实数x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】， 即等价于且， 根据“穿针引线法”，可得解集为. 【变式4-2】（2026·高一·天津和平·阶段检测）不等式的解集为______ 【答案】 【解析】由“穿针引线法，奇穿偶不穿”作出函数的大致图象如下： 由函数图象可知，当或或时，， 故答案为：. 【变式4-3】（2026·高三·上海徐汇·期中）分式不等式的解集为______ 【答案】或或 【解析】∵，∴， ∴或或. 故答案为：或或. 题型 5：由零点个数求参数值 【典例5-1】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】当时，，由，当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 作出函数的示意图，由图知： 当时，有1个解；当时，有2个解； 当时，有3个解；当有2个解. 若恰有5个零点， 即与的解的总个数为5个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有2个解，即或，且有3个解，则， 即或，解得； 情况二：有3个解，即，且有2个解，则或， 即或，解得. 综上可知，的取值范围为. 【典例5-2】（2026·高一·广东广州·阶段检测）函数与有三个交点，那么______. 【答案】或 【解析】在同一坐标系中画出函数和函数的图象，如图所示， 有两种情况满足题意： 一种情况是过点，解得. 另一种情况是与相切， 由，得，， 解得. 故答案为：或 【变式5-1】（2026·高一·湖北十堰·期末）记为不超过x的最大整数，如，.当时，函数与的图象恰有2个公共点，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【解析】当，即， 故在恰有两个交点， 令， ，， 所以当，即时，单调递增，值域为； 当，即时，单调递增，值域为； 又在恰有两个交点， 所以． 故答案为：． 【变式5-2】（2026·高一·云南·期末）若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0， 因为该二次函数开口向上，则，即. 故答案为：. 【变式5-3】（2026·高一·上海杨浦·期末）已知为常数，函数 ，设 ，若函数 恰有两个零点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】由题意得 ， 作出函数的图像，如图所示， 由图及解析式可知，在单调递减，在单调递增，且， 在单调递减，在单调递增，且，， 因为函数恰有两个零点， 得到与图象有且仅有两个交点，故或. 故答案为： 题型 6：由零点所在区间求参数 【典例6-1】（2026·高一·上海·阶段检测）已知一元二次方程的两根有且只有一个在中，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】设函数，依题意，函数有两个零点，且在区间内有一个零点， 根据零点存在定理，可知需使，即， 化简得，解得， 当时，即，解得，此时方程有两根为1和3，符合条件； 当时，即，解得，此时方程有两根4和，不合题意. 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 【典例6-2】（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）若函数在区间上有两个不相同的零点，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【解析】若函数在区间上有两个不同的零点， 所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式6-1】若关于的方程有且只有一个根在区间上，则的值范围为______． 【答案】 【解析】令， ①当两个根相等时，则，解得或， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，满足题意． ②当两个根不相等时，则，即，解得或. 因为方程有且只有一个根在区间上， 所以，解得,满足，因此方程有两个不同的根； 当时，此时方程为，方程的根为或，，，满足题意． 当时，此时方程为，方程的根为或，，，不合题意； 所以实数的取值范围为． 【变式6-2】方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】令， 因为方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则大致图象是： 所以，解得或， 所以实数的取值范围为． 题型 7：用二分法求方程近似解 【典例7-1】下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A. 函数无零点，故错误； B.函数有零点1，当时， ，当 时， ，x=1的两侧同号，不能用二分法，故错误； C. 由图象知：两个零点的两侧函数值异号，能用二分法，故正确； D.由图象知：两个零点-1，2的两侧的函数值同号，不能用二分法，故错误； 故选：C 【典例7-2】（2026·高一·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. 【变式7-1】（2026·高一·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 【变式7-2】（2026·高一·江苏镇江·期末）已知函数的零点为，则与最接近的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在上单调递增，，则， 又，则，而，则， 又，因此，， 而，所以与最接近的数为. 故选：B 【变式7-3】（2026·高一·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间 内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 题型 8：函数零点之和问题 【典例8-1】（2026·陕西延安·一模）设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令， 由有四个不同的零点， 则与有四个不同的交点， 令，解得或， 故当或时，；当时，； 且当，； 解方程，得； 作函数的图象，对称轴为. 要使与有四个不同的交点，如图可得. 又满足， 则，可得. 因为图象关于对称，所以， 则， 则，令，则， 构造函数，， 由，函数在单调递增， 则，即. 故选：A 【典例8-2】（2026·高一·山西·期中）已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出函数的图象,如下图. 当时,的图象为开口向上的抛物线的一部分,对称轴为,最小值为;当时,为直线的一部分. 设,,由图象可知,, 令,解得,则,且, 则,即. 故选:A. 【变式8-1】定义在R上的函数，若关于x的方程，（其中）有n个不同的实根，则（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】C 【解析】由题意，关于x的方程，即， 解得或， 作出的大致图像，如图所示， 当时，有三个根，其中一个根为2，另两个根关于直线对称； 当时，有两个根，这两个根也关于直线对称. 所以原方程一共有5个根，可得， 故选C. 【变式8-2】（2026·高一·陕西西安·期末）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图像如下图所示. 当时，的对称轴是直线，且最大值为， 当时，为增函数，且此时， 由题意知存在三个不相等的实数，，，使得， 不妨设，则，则， 又，故的取值范围是. 故选：A. 1．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，函数的图象如下： 当时，方程有两个解，此时， 当时，方程有两个解，此时， 所以要使有4个解，则， 方程，即，由韦达定理， 方程，即，由韦达定理， 所以. 2．（2026·高一·广东汕尾·期末）关于的方程有且仅有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．，且 【答案】D 【解析】若关于的方程有且仅有2个不同的实数根， 则函数与有两个交点， 作出函数的图像如下： 当时，则，当且仅当时等号成立，要使函数与有两个交点，则，解得：且， 当时，则，当且仅当时等号成立，要使函数与有两个交点，则，解得：且， 当时，无意义， 综上，实数的取值范围是，且； 故选：D 3．（2026·高一·天津北辰·阶段检测）已知分段函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数， 画出函数的图象，如图所示， 因为函数有三个零点，即函数与的图象有三个公共点， 结合图象，可得，所以实数的取值范围为. 故选：A. 4．（2026·高一·浙江·阶段检测）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为 又，，所以，此时区间长度为， 所以满足条件的零点的一个近似值可取为，共计算4次. 故选：C 5．（2026·高一·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 6．（2026·高一·山东枣庄·阶段检测）设函数若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，由方程，可得，即， 因为，设两根为，则，即方程有一正一负根， 所以在上只有一个实数根， 因为方程有三个不同的实根， 所以当时，方程有两个正实数根，设两根为 当时，由方程，可得，即， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 7．（2026·高一·广东深圳·期中）已知和是函数的两个零点，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知和是函数的两个零点， 所以，即， 因为函数在上具有单调性， 则或，则或， 则实数的取值范围为. 故选：C. 8．（2026·高一·山东菏泽·期中）若关于的方程有三个不同的解，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为，令， 所以变形得：， 即，也即， 要使方程有三个不同的解， 则方程有两个不相等的正实数根， 由可能应对0个、1个、2个的值， 所以方程要有三个不同的解， 则方程的有一个实根必为，另一个， 当， 当时，， 将代入方程得： ， 此时方程为， 解得：或， 当， 当时，，满足题意， 故选：C. 9．（多选题）（2026·高一·内蒙古锡林郭勒·期末）已知二次函数，满足则下列正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．若在上的值域为，则 D．若在上恒成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】由，可得对称轴为，所以，A正确； 因为，所以，即，解得，B错误； 由在上的值域为，可知其最小值必为，故， 其最大值必为3，而，故须满足，解，得， 综上，，C正确； 因为在上不等式恒成立，所以， 因为，当且仅当时取得最小值，故，D正确. 故选：ACD 10．（多选题）（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．，都有 B．的值域为 C．，且，都有 D．方程有3个不等实数根 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，，故A正确； 对于B，当时，，所以， 由A知为奇函数，故的值域为，故B错误； 对于C，对，且，不妨设， 则， ，，，即， 所以在上单调递增，所以，故C正确； 对于D，当时，，则为，解得， 当时，方程成立， 又为奇函数，根据对称性知也满足方程， 综上，方程有3个不等的实数根，故D正确. 故选：ACD. 11．（多选题）（2026·高一·广东深圳·期中）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（   ） A．方程有且仅有1个解 B．方程有且仅有2个解 C．方程有且仅有3个解 D．方程有且仅有9个解 【答案】ACD 【解析】由函数图象可知，∴方程有且仅有1个解，A选项正确； 由图象可知函数存在极大值和极小值，又∵，所以方程有且仅有3个解，B选项错误； ∵，∴，∴方程有且仅有3个解，C选项正确； 由图象可知存在三个解即或， ∴时，或， ∴方程有且仅有9个解，D选项正确. 故选：ACD. 12．（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．在区间上单调递增 D．的解集为 【答案】ABD 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以，所以，故A正确； 对于B选项，设，所以，又因为，所以，故B正确； 对于C选项，当时，，在区间上为增函数，又由为偶函数，则在区间为减函数，故C错误； 对于D选项，当时，，解得，又因为为偶函数，所以当时，若，则有，则的解集为，故D正确. 故选：ABD. 13．（2026·高一·浙江丽水·期末）已知关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大，则实数的取值范围为____. 【答案】 【解析】令， 因为关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大， 即有两个零点，一个零点比小，另一个零点比大， 所以，即，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 14．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知是方程的一个根，则______； 不等式的解集为______用区间表示 【答案】 3 【解析】由题意得，解得； 代入不等式可得， 即，即， 即， 令，解得或或； 当时，，则，符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，符合题意； 当时，，则，不符合题意； 所以不等式的解集为. 故答案为：3，. 15．（2026·高一·湖北·期中）设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】画出函数的图象，观察图形知，仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上， 不妨设，显然关于对称，则， 另一个交点位于直线上，在中，当时，，即， 因此，所以. 故答案为： 16．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 【答案】 【解析】若不等式对一切实数恒成立的问题，需分和两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数恒成立，故符合条件； 当时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即：， 结合，解得：， 综上，的取值范围是. 17．（2026·高一·上海普陀·期末）设且，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】对于，在上单调递减，在上单调递增，且， 因，，设，则， 又由可得，依题意，该方程有两解，且， 则， 对于，因， 故. 故答案为：. 18．（2026·高一·福建泉州·期中）对于函数，若存在，使得，则称为函数的”不动点”;若存在，使得，则称为函数的”稳定点”.记函数的”不动点”和”稳定点”的集合分别为A和B，即 (1)若函数，求A和B； (2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； (3)若，且，求实数的取值范围. 【解析】（1）令，可得，故； 令，可得，故. （2）略 （3）由，则： 令，即有实根， 当时，，则符合题设； 当时，，可得. 令，即有实根， 所以， 因为，则无实根，或有与相同的实根， 当无实根，有且， 可得且； 当与有公共实根时， 由可得，即， 所以，则， 代入得：，可得. 综上，. 19．关于x的方程，有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m的范围． 【解析】令， 因为方程有两个实数根，且一根大于，另一根小于， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 20．（2026·高一·浙江衢州·期末）已知函数，为任意实数． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求函数的最小值． 【解析】（1）由函数， 因为恒成立，即，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. （2）由函数，可得其图像开口向上，且对称轴方程为， ①当时，即时，在单调递增，则； ②当时，即时，在单调递减，在单调递增， 所以； ③当时，即时，在单调递减，则， 综上：函数的最小值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 函数与方程、不等式间的关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：求函数的零点 题型 2：判断函数零点所在区间 题型 3：判断函数零点的个数 题型 4：求解高次不等式 题型 5：由零点个数求参数值 题型 6：由零点所在区间求参数 题型 7：用二分法求方程近似解 题型 8：函数零点之和问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数的零点 函数零点与方程根的关系 零点存在性定理 二分法 函数与不等式的关系 三个 "二次" 的关系 用函数图象解不等式 1. 理解函数零点的定义，掌握函数零点与对应方程实数根的等价关系，能求简单函数的零点。 2. 掌握零点存在性定理，能判断连续函数零点的存在性及零点所在的大致区间。 3. 了解二分法的基本原理，能利用二分法求方程的近似解，体会逼近思想。 4. 理解函数与不等式的内在联系，能借助函数图象解一元二次不等式及简单的分式、绝对值不等式。 5. 深化对三个 "二次"（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）关系的理解，能综合运用它们解决相关问题。 6. 体会数形结合、转化与化归的数学思想，提高运用函数观点解决方程与不等式问题的能力。 学习重点：函数零点的概念与求法、零点存在性定理的应用、函数与不等式的关系、三个 "二次" 的综合应用。 学习难点：零点存在性定理的准确理解与灵活应用、用函数图象解不等式、三个 "二次" 的综合应用、二分法求近似解的步骤掌握。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的零点 零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 即时即练函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点02 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 与轴的交点个数 2个 1个 0个 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 （1）方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 拓展：高次不等式的概念：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. （2）穿根引线法的步骤： ①将最高次项系数化为正数； ②将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)； ④观察曲线显现出的的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 即时即练已知函数. (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：. 知识点03 函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 即时即练设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 知识点04 二分法 1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间,验证； （2）求区间的中点； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ①若 (此时),则就是函数的零点； ②若 (此时零点),则令； ③若 (此时零点),则令. （4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 即时即练用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 题型 1：求函数的零点 【典例1-1】（2026·高一·广西河池·期末）函数的零点是（   ） A． B． C．1 D． 【典例1-2】（2026·高一·新疆克拉玛依·期末）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【变式1-1】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 【变式1-2】（2026·高三·全国·一轮复习）下列各图象表示的函数中没有零点的是（    ）． A． B． C． D． 题型 2：判断函数零点所在区间 【典例2-1】（2026·高一·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高一·宁夏吴忠·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·四川眉山·期末）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·广东汕头·期末）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 题型 3：判断函数零点的个数 【典例3-1】（2026·高一·山东临沂·期末）函数零点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【典例3-2】（2026·高三·天津红桥·开学考试）已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 【变式3-1】已知函数，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】函数的零点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【变式3-3】（2026·高一·上海虹口·期末）已知，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-4】（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个 题型 4：求解高次不等式 【典例4-1】不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】不等式的解集为______． 【变式4-1】（2026·高一·上海·期中）关于实数x的不等式的解集是________． 【变式4-2】（2026·高一·天津和平·阶段检测）不等式的解集为______ 【变式4-3】（2026·高三·上海徐汇·期中）分式不等式的解集为______ 题型 5：由零点个数求参数值 【典例5-1】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 【典例5-2】（2026·高一·广东广州·阶段检测）函数与有三个交点，那么______. 【变式5-1】（2026·高一·湖北十堰·期末）记为不超过x的最大整数，如，.当时，函数与的图象恰有2个公共点，则实数k的取值范围为______. 【变式5-2】（2026·高一·云南·期末）若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0，则m的取值范围是______． 【变式5-3】（2026·高一·上海杨浦·期末）已知为常数，函数 ，设 ，若函数 恰有两个零点，则的取值范围是___________. 题型 6：由零点所在区间求参数 【典例6-1】（2026·高一·上海·阶段检测）已知一元二次方程的两根有且只有一个在中，则实数的取值范围是___________． 【典例6-2】（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）若函数在区间上有两个不相同的零点，则实数的取值范围为____________． 【变式6-1】若关于的方程有且只有一个根在区间上，则的值范围为______． 【变式6-2】方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 题型 7：用二分法求方程近似解 【典例7-1】下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2026·高一·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·高一·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·高一·江苏镇江·期末）已知函数的零点为，则与最接近的数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·高一·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 题型 8：函数零点之和问题 【典例8-1】（2026·陕西延安·一模）设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2026·高一·山西·期中）已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】定义在R上的函数，若关于x的方程，（其中）有n个不同的实根，则（    ） A．10 B．8 C． D． 【变式8-2】（2026·高一·陕西西安·期末）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（2026·高一·北京·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·高一·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 3．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·广东汕尾·期末）关于的方程有且仅有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．，且 5．（2026·高一·江苏扬州·期末）设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 6．（2026·高一·天津北辰·阶段检测）已知分段函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·浙江·阶段检测）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 9．（2026·高一·山东枣庄·阶段检测）设函数若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·高一·广东深圳·期中）已知和是函数的两个零点，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 11．（2026·高一·山东菏泽·期中）若关于的方程有三个不同的解，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．（多选题）（2026·高一·内蒙古锡林郭勒·期末）已知二次函数，满足则下列正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．若在上的值域为，则 D．若在上恒成立，则实数的取值范围为 13．（多选题）（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．，都有 B．的值域为 C．，且，都有 D．方程有3个不等实数根 14．（多选题）（2026·高一·广东深圳·期中）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（   ） A．方程有且仅有1个解 B．方程有且仅有2个解 C．方程有且仅有3个解 D．方程有且仅有9个解 15．（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．在区间上单调递增 D．的解集为 16．（2026·高一·浙江丽水·期末）已知关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大，则实数的取值范围为____. 17．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知是方程的一个根，则______； 不等式的解集为______用区间表示 18．（2026·高一·湖北·期中）设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是_________. 19．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 20．（2026·高一·上海普陀·期末）设且，若，则的取值范围是___________． 21．（2026·高一·福建泉州·期中）对于函数，若存在，使得，则称为函数的”不动点”;若存在，使得，则称为函数的”稳定点”.记函数的”不动点”和”稳定点”的集合分别为A和B，即 (1)若函数，求A和B； (2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； (3)若，且，求实数的取值范围. 22．关于x的方程，有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m的范围． 23．（2026·高一·浙江衢州·期末）已知函数，为任意实数． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求函数的最小值． 24．（2026·高一·湖南常德·期末）已知函数. (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $