第11讲 函数的单调性（暑假预习讲义）新高一数学人教B版

第11讲 函数的单调性 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：图像法求单调区间 题型 2：单调性判定与证明 题型 3：复合函数单调性 题型 4：由单调性求参数 题型 5：单调性解不等式 题型 6：单调性比较大小 题型 7：单调性求最值 题型 8：由最值求参数 题型 9：恒成立与能成立问题 题型10：平均变化率 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 单调性的定义 单调区间 单调性的证明 单调性的判定 复合函数单调性 函数的最值 1. 理解增函数、减函数的定义，明确函数单调性与单调区间的概念，能结合函数图像直观认识函数的增减变化规律。 2. 掌握用定义证明函数单调性的标准步骤（取值、作差变形、定号、下结论），能规范完成简单函数单调性的证明。 3. 掌握函数单调性的常用判定方法（图像法、性质法、复合函数 “同增异减” 法则），能准确求出函数的单调区间。 4. 理解函数最大值、最小值的概念，能结合函数的单调性求解函数在指定区间上的最值与值域。 5. 能运用函数的单调性比较函数值大小、解函数不等式，掌握含参函数单调性问题的分类讨论思路。 学习重点：函数单调性的定义与几何意义，单调性的判定与证明方法，利用单调性求解函数的单调区间与最值。 学习难点：函数单调性的严格定义证明，复合函数单调区间的求解，含参函数的单调性讨论与综合应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3.复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 即时即练下列图象表示的函数为减函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】对于A，该函数随着的增大，的取值在减小，符合减函数定义，A正确； 对于B，该函数随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，B错误； 对于C，该函数在轴右侧，随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，C错误； 对于D，该函数在轴左侧，随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，D错误. 故选：A. 知识点02 最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 即时即练已知. (1)用定义证明在区间上是增函数； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 【解析】（1）任取，，且， 则. ，，而， ，即， 在区间上是增函数. （2）由（1）知，在区间上是单调增函数， ，. 知识点03 直线的斜率及平均变化率 1.直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，当时，称为直线的斜率；当时，称直线AB的斜率不存在． （1）直线AB的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度． （2）若记，相应的，则当时，斜率可记为． 2.平均变化率 一般地，当时，称为函数在区间时)或时)上的平均变化率． （1）在上是增函数的充要条件是在上恒成立； （2）在上是减函数的充要条件是在上恒成立． 即时即练函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【答案】A 【解析】，，故. 故选：A. 题型 1：图像法求单调区间 【典例1-1】（2026·高一·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【解析】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 【典例1-2】（2026·高一·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 【变式1-1】函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（    ）    A．定义域为；单调递增区间为 B．定义域为；单调递增区间为， C．定义域为；单调递增区间为 D．定义域为；单调递增区间为 【答案】D 【解析】由图象可知定义域为，函数的单调递增区间有2个，即，. 故选：D. 【变式1-2】函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题图可知，函数的单调递增区间为. 故选：C 【变式1-3】（2026·高二·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】B 【解析】由函数图像可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 故选：B 题型 2：单调性判定与证明 【典例2-1】已知函数，证明：函数在上单调递减； 【解析】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 【典例2-2】（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【解析】（1）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 【变式2-1】（2026·高一·广西钦州·期末）已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 【解析】（1），设， 则， 易得，故， 即当时，， ， 所以在上单调递增. （2）由在恒成立，则有当时，， ，易得是开口向上的二次函数，对称轴为， 故在上单调递增，所以，即， 故实数k的取值范围是 【变式2-2】（2026·高一·云南普洱·期末）已知函数是一次函数，且． (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明． 【解析】（1）因为函数为一次函数，可设，. 由， 由. 所以. （2）由题意：，在上单调递增，证明如下： 设， 则 . 因为，所以，， 所以，所以，即. 所以函数在上单调递增. 【变式2-3】已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【解析】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 题型 3：复合函数单调性 【典例3-1】（2026·高一·全国·期末）函数的增区间是______． 【答案】 【解析】函数是由函数复合而成的， 在其定义域上为增函数， 要求函数的增区间即求函数的增区间， 由于函数的增区间为， 又由函数的定义域为, 故函数的增区间是. 故答案为：． 【典例3-2】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）函数的单调递减区间是________． 【答案】 【解析】设，由可得，或， 记函数， 由在单调递减，在单调递增， 而在上为增函数， 故函数的单调递减区间是． 故答案为： 【变式3-1】（2026·高三·贵州·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】由题意可得解得． 故答案为： 【变式3-2】（2026·高一·福建泉州·期中）已知函数，则该函数的单调递增区间为_______. 【答案】 【解析】由函数，则满足，解得或， 设，则函数的图象开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递增，则函数的单调递增区间为. 故答案为：. 【变式3-3】（2026·高一·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【解析】要使函数有意义，则，解得， 令，则在单调递增，在单调递减， 且在单调递减， 在单调递减，在单调递增. 故答案为：. 题型 4：由单调性求参数 【典例4-1】（2026·高一·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】由题意可得，解得. 故答案为：. 【典例4-2】（2026·高二·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【解析】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 【变式4-1】（2026·高一·陕西渭南·期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】依题意得，解得. 故答案为：. 【变式4-2】（2026·高一·贵州铜仁·期末）设函数，若对，都有，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题意知函数在上单调递减，需满足以下条件： ，解得 故答案为：. 【变式4-3】（2026·高一·广东潮州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】函数的对称轴是，开口方向向上， 在区间上单调递减， 对称轴是在区间的右侧或对称轴为，. 故答案：. 题型 5：单调性解不等式 【典例5-1】（2026·高一·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知是定义在上的增函数，不等式， 则，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 【典例5-2】（2026·高一·山西晋中·期中）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是定义在上的减函数，且， 所以当时，，当时，， 由， 得或， 解得或，所以解集为. 故选：C 【变式5-1】（2026·高一·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 令， 因为对，且，有， 所以有，所以函数是上的增函数， 由， 故选：C 【变式5-2】（2026·高一·陕西延安·期中）已知定义在上的函数满足对任意的、，当时，成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨设，由可得，则， 所以函数是上的增函数， 则由，可得，即，解得或. 故原不等式的解集为. 故选：A. 【变式5-3】（2026·高一·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 题型 6：单调性比较大小 【典例6-1】（2026·高一·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C 【典例6-2】（2026·高一·河北邢台·阶段检测）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 【变式6-1】（2026·高一·上海徐汇·月考）设，奇函数在上减函数，且有最小值2，则函数（    ） A．是上的减函数且最大值 B．是上的增函数且最小值 C．是上的减函数且最大小值 D．是上的增函数且最大值 【答案】A 【解析】奇函数在上是减函数，且有最小值；则奇函数在上是减函数，有最大值；可得函数在上为增函数，且最小值为2；所以函数在上为减函数，有最大值. 故选::A 【变式6-2】（2026·高一·四川南充·期中）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设是的两个根，且，则，可得， 所以，其图象开口向下且对称轴为， 所以在上单调递增，且，而， 所以，即. 故选：B 题型 7：单调性求最值 【典例7-1】（2026·高一·天津武清·阶段检测）已知定义在上的函数，且， (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 【解析】（1）函数，且，则，解得， ，所以. （2）由（1）知，，且， 则， 由，得，， 则，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）由（2）得函数在区间上单调递减， 则，， 所以函数在区间的最大值和最小值分别为38和11. 【典例7-2】（2026·高一·江苏苏州·期中）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且. (1)求二次函数的表达式： (2)若，求函数的最大值； (3)已知函数的值域为，求实数的取值范围. 【解析】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数，又因为，所以， 即二次函数； （2）当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：； （3）函数， 由的值域为， 则满足或， 即实数的取值范围或 【变式7-1】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数满足． (1)证明：； (2)证明：在上单调递减，并求在上的值域． 【解析】（1）由，令，则，则有， ，即， ，， 所以． （2）设，则， 因为，，所以，即在上单调递减， 又，，故值域为． 【变式7-2】（2026·高一·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 题型 8：由最值求参数 【典例8-1】设函数，若是的最小值，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，，为开口向上的二次函数，对称轴为. 要使是的最小值，只需在上递减，且， 即，解得. 故答案为： 【典例8-2】已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 【答案】 【解析】对于二次函数，先讨论的正负， 当时，对于，对称轴为，此时最大值在端点处取得， 当时，， 当时，， 因为，所以，即最大值为， 而函数有最大值，则，解得， 当时，最大值在对称轴处取得， 当时，， 可得，解得，不符合题意，排除， 综上，的值为. 故答案为： 【变式8-1】（2026·高一·北京·期中）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】， 由对勾函数的单调性知， 时，单调递减；时，单调递增； ∴在处取得极小值 若，则在上单调递减，，， 因为的值域为，所以，解得； 若，则在上单调递减，在上单调递增， ，， 因为的值域为，所以，解得， 又，所以. 综上， 故答案为：. 【变式8-2】已知函数在区间上的值域为，则______． 【答案】1 【解析】由题意得，且在上的值域为， 所以，在上单调递减，即，故． 故答案为：1 【变式8-3】函数在上的最大值为，则______. 【答案】 【解析】易知，是由向左平移1个单位得到， 当时，即在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，解得，与矛盾； 当时，即在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，解得. 故答案为：. 【变式8-4】（2026·高一·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 _____ 【答案】或3 【解析】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 题型 9：恒成立与能成立问题 【典例9-1】（2026·高二·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 【解析】（1）因为，． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，，不等式可化为，解集为； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． （2）当时，， 知不等式对任意恒成立，只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，， 故实数的取值范围为 （3）设，则若对任意，恒成立， 即，解得. 【典例9-2】（2026·高一·安徽淮北·期末）已知二次函数过点，点，点 (1)求的解析式； (2)若，对任意恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）设二次函数解析式，因为二次函数过点，点，点， 因而，，解得，所以. （2）要使得，对任意恒成立，即，任意 不妨令，因为，因此， 即，，，由（1）得， 对称轴方程为，因此在单调递增，则， 所以，即. 【变式9-1】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)，求实数的取值范围； (2)，使得，求实数的值； (3)，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为， 因为， 当时，， 因为，当时，， 因为， 所以，即， 所以； （2）由（1）知， 因为，所以， 由题意， 则，所以； （3）， 设，所以， 即在上单调递减， 所以， 根据定义法，设， 所以， 即在上恒成立， 因为，所以，所以， 所以． 【变式9-2】（2026·高一·广东深圳·期末）已知函数的定义域为． (1)请用单调性定义证明：为单调递减函数； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）任取，规定， 则 ， 因为，所以， 且， 所以，即， 即，所以函数为上的单调递减函数． （2）当时，恒成立， 即恒成立， 令函数，， 因为函数为上的单调递减函数， 且也为上的单调递减函数， 所以为上的单调递减函数， 由恒成立， 等价于不等式恒成立， 因为为上的单调递减函数， 所以对任意恒成立， 且， 令，所以问题转化为， 由，当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 【变式9-3】（2026·高一·甘肃张掖·阶段检测）已知函数． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)解关于的不等式； (3)若函数的值域为，存在，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意得和4为方程的两实数根， 则. （2）将原不等式代入得， 整理后得：，即， ①当时，不等式的解集为， ②当时，不等式的解集为：， ③当时，不等式的解集为：， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， （3）因为函数的值域为， 所以， 所以由不等式，对于任意的恒成立， 设， 该二次函数的对称轴为， 因为，所以， 所以当时，函数单调递增， 所以， 因为，所以， 所以， 又存在使得上式成立，所以， 所以实数的取值范围为. 【变式9-4】已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，任取 ， 则 ， 因为，所以，，即， 所有，所以 ， 故函数 在区间 内单调递增； （2）由（1）得，函数在区间 内单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的值域为， 若存在实数，使得不等式成立， 只需 即可，解得， 所以a的取值范围为. 【变式9-5】（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）已知函数，，． (1)若，方程有解，求实数的取值范围； (2)若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1）若，方程有解，即，， 因为函数的图象开口向上，对称轴是直线， 可知在上为减函数，则， 可得，即，所以的取值范围为. （2）若对任意的，总存在，使得， 因为函数的图象开口向上，对称轴是直线， 且，由对称性可知函数有最大值为； 可得在有解，即，即在有解， 可得或，解得或， 可得，所以的取值范围为. 题型10：平均变化率 【典例10-1】（2026·高二·陕西·阶段检测）函数从1到2的平均变化率为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】函数从1到2的平均变化率为. 故选：C 【典例10-2】（2026·高一·北京海淀·期中）已知函数，则在上的平均变化率为（    ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】由题设在上的平均变化率为. 故选：A 【变式10-1】（2026·高一·辽宁锦州·期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图分别令、、、、、、所对应的点为, 所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快； 故选：B 【变式10-2】函数，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率为（    ） A．2.1 B．1.1 C．2 D．1 【答案】A 【解析】由题意，函数的平均变化率为：. 故选：A. 1．（2026·高一·四川德阳·期末）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数为定义在上的增函数，且， 所以，解得． 故选：A． 2．（2026·高一·江西吉安·期中）已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对任意,当时，恒成立， 则有在上是减函数， 而不等式可变形为， 又因为，所以有， 即有， 根据有在上是减函数， 所以，解得， 故选：C. 3．（2026·高一·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 【答案】C 【解析】因为在上是减函数， 所以，若，则， 故选：C. 4．（2026·高一·浙江·期中）设，若不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，则，故， 所以，，，且， 所以. 故选：D 5．已知函数的图象上一点及邻近一点，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴， 故选：C． 6．（2026·高二·北京·期末）对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】①，②，③，④． 故选：C． 7．（2026·高一·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 8．（2026·高一·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. 9．（2026·高一·湖南·阶段检测）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，函数，对称轴为， 当，即时，此时，使得，满足题意； 当，即时，在上单调递增，在上也单调递增， 要想，且，使得，则，得， 而，矛盾. 综上. 10．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，， 当时，，此时， 当时，， 所以的最大值为． 因为对任意恒成立， 所以，即， 整理得，用数轴穿根法解得或， 即实数的取值范围是． 11．（2026·高一·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 12．（2026·高一·河南·阶段检测）已知函数，且对任意的（且），总存在，使得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，对任意，存在使得， 即（因为，区间内的数同号，乘积为正），所以必须在区间内， 因此，对于所有，有，由于且，分两种情况讨论： 若，则，函数递减，值域为，需满足， 即且，得且，故； 若，则，同样递减，值域为，需满足， 需满足且，同样得. 因此，. 13．（多选题）（2026·高一·河北唐山·期中）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 【答案】ABD 【解析】，定义域为， 选项A：因为，所以A正确。 选项B：因为，所以B正确。 选项C：， 因为函数在上单调递减，且此时， 所以函数在上单调递增，所以C错误。 选项D：由A知是偶函数，的图象关于纵轴对称， 由上可知：在上单调递增， 所以当时，， 又因为，的图象关于纵轴对称， 所以在区间上的最小值为1，所以D正确. 14．（多选题）（2026·高一·江西吉安·阶段检测）下列选项正确的是（    ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABC 【解析】对于A，的定义域为，则在中，， 解得，即的定义域为，A正确； 对于B，函数， 当且仅当时取等号，则函数的值域为，B正确； 对于C，在上递减，， 则函数在的值域为，C正确； 对于D，函数，函数的值域为，D错误. 15．（多选题）（2026·高一·重庆·阶段检测）定义，设，则下列结论正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为1 C．不等式的解集为 D．的单调递减区间为 【答案】BD 【解析】根据定义，当时，，解不等式得， 当时，，解不等式得或， 因此，，作出函数的图象，如图所示， 根据图象，可得无最大值，无最小值，所以A错误； 根据图象得，当，的最大值为1，所以B正确； 由，得或，解得：或， 得不等式的解集为，所以C错误； 由图象得，的单调递减区间为，所以D正确. 故选：BD. 16．（多选题）（2026·高一·福建漳州·期末）定义域为的函数满足，则（    ） A． B．为增函数 C． D． 【答案】ACD 【解析】令，可得，即，A正确， 假设存在常函数，此时满足， 但函数不是增函数，因此B错误. 所以，C正确， 令,则, 所以, 当且仅当时等号成立，即可得，D 正确， 故选：ACD 17．（2026·高一·上海浦东新·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】因为函数在单调递减，在单调递增， 又已知函数在区间上是严格增函数，所以， 故答案为：. 18．（2026·高一·广东揭阳·期中）已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】因为函数在上为减函数，且函数为定义在上的单调函数， 故函数在上为减函数， 所以在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则，解得， 且有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 19．（2026·高三·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】当时，在上单调递增， 且当时，显然不存在最小值，故舍去； 当时，，则当时， 所以的最小值为，符合题意； 当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，， 当时，则在上单调递减， 要使函数存在最小值，则，解得，此时； 综上可得的取值范围是. 故答案为： 20．（2026·高三·青海·阶段检测）已知函数在区间上的最大值为5，则__________. 【答案】3 【解析】因为在区间上是减函数，所以，解得. 故答案为：3 21．若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 【答案】 【解析】在同一坐标系内作出直线， 则函数的图象如图中实线部分所示， 观察图象得函数图象的最低点为， 所以函数的最小值为3. 22．函数在区间上的最小值为，则的表达式为____. 【答案】 【解析】由题意可知，二次函数的开口向下，对称轴方程为 ∵，， 令，即时，， 令，即时，， ∴，即. 23．（2026·高一·上海·期末）利用函数的单调性求解，关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】令，由题意得， 由，得函数的定义域为， 由一次函数性质得在上单调递增， 则在上单调递增， 且由反比例函数性质得在上单调递增， 所以在上单调递增， 可得不等式即， 由单调性可得，故所求的解集是. 24．（2026·高一·湖南娄底·期末）已知，用表示中的较大者，记作的最小值为___________． 【答案】1 【解析】令，则，可得或， 令，则，可得， 所以的图象如下， 由图，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 25．（2026·高一·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 【解析】取，因为在区间上是严格增函数， 则，即， 即，整理得， 因为，所以任意的恒成立， 因为，所以，所以. 26．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数． (1)请用函数单调性定义证明，在上单调递增； (2)若，函数，求在上的值域（用含a的式子表示） 【解析】（1）设是上的任意两个实数，有， ， 因为，所以，，，有， 所以，故在上单调递增. （2）由（1）可得在上单调递增，的值域为. 若，由，解得，因为，故的值域为； 若，由，解得，因为，故的值域为. 综上所述：时，的值域为；时， 的值域为. 27．（2026·高一·安徽阜阳·开学考试）已知函数，且. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）因为函数，且，所以，解得， 故. 任取，且， 则， 因为，所以，则， 所以，即， 故函数在上为增函数. （2）由（1）知，函数在上为增函数，则其在上为增函数， 则， 故函数在区间上的最大值为5，最小值为4. 28．若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】设， 则是关于的一次函数，且一次项系数为， 所以在上单调递增． 所以等价于，即， 整理得，解得， 故实数的取值范围为. 29．（2026·高一·河北唐山·期中）已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 【解析】（1）由函数为开口向上的二次函数，且其对称轴为， 又在区间上是单调函数，所以或，解得或， 所以实数的所有取值组成的集合． （2）结合（1）， 当时，则函数在上单调递增， 所以； 当时，则函数在上单调递减， 所以． 综上所述，． 30．（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）已知函数，．，用表示，中的最大者，记为函数． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)若函数的定义域为时，值域为，求的最小值． 【解析】（1）因为，，                          所以． （2）令， 若，则，，             当，即时，或；            当，即时，． 所以． （3）因为的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 又因为的图象开口向下，对称轴为直线，又， 所以当时，函数单调递增； 当时，函数单调递增．                 又， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． 即函数的最小值为．                  令，可解得或． 则函数的定义域为时，值域为， 当时，，此时．                       当时，，此时． 当或时，不符题意． 所以的最小值为1． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数的单调性 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：图像法求单调区间 题型 2：单调性判定与证明 题型 3：复合函数单调性 题型 4：由单调性求参数 题型 5：单调性解不等式 题型 6：单调性比较大小 题型 7：单调性求最值 题型 8：由最值求参数 题型 9：恒成立与能成立问题 题型10：平均变化率 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 单调性的定义 单调区间 单调性的证明 单调性的判定 复合函数单调性 函数的最值 1. 理解增函数、减函数的定义，明确函数单调性与单调区间的概念，能结合函数图像直观认识函数的增减变化规律。 2. 掌握用定义证明函数单调性的标准步骤（取值、作差变形、定号、下结论），能规范完成简单函数单调性的证明。 3. 掌握函数单调性的常用判定方法（图像法、性质法、复合函数 “同增异减” 法则），能准确求出函数的单调区间。 4. 理解函数最大值、最小值的概念，能结合函数的单调性求解函数在指定区间上的最值与值域。 5. 能运用函数的单调性比较函数值大小、解函数不等式，掌握含参函数单调性问题的分类讨论思路。 学习重点：函数单调性的定义与几何意义，单调性的判定与证明方法，利用单调性求解函数的单调区间与最值。 学习难点：函数单调性的严格定义证明，复合函数单调区间的求解，含参函数的单调性讨论与综合应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3.复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 即时即练下列图象表示的函数为减函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   知识点02 最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 即时即练已知. (1)用定义证明在区间上是增函数； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 知识点03 直线的斜率及平均变化率 1.直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，当时，称为直线的斜率；当时，称直线AB的斜率不存在． （1）直线AB的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度． （2）若记，相应的，则当时，斜率可记为． 2.平均变化率 一般地，当时，称为函数在区间时)或时)上的平均变化率． （1）在上是增函数的充要条件是在上恒成立； （2）在上是减函数的充要条件是在上恒成立． 即时即练函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，的大小无法确定 题型 1：图像法求单调区间 【典例1-1】（2026·高一·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【典例1-2】（2026·高一·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（    ）    A．定义域为；单调递增区间为 B．定义域为；单调递增区间为， C．定义域为；单调递增区间为 D．定义域为；单调递增区间为 【变式1-2】函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 题型 2：单调性判定与证明 【典例2-1】已知函数，证明：函数在上单调递减； 【典例2-2】（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【变式2-1】（2026·高一·广西钦州·期末）已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 【变式2-2】（2026·高一·云南普洱·期末）已知函数是一次函数，且． (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给予证明． 【变式2-3】已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 题型 3：复合函数单调性 【典例3-1】（2026·高一·全国·期末）函数的增区间是______． 【典例3-2】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）函数的单调递减区间是________． 【变式3-1】（2026·高三·贵州·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 【变式3-2】（2026·高一·福建泉州·期中）已知函数，则该函数的单调递增区间为_______. 【变式3-3】（2026·高一·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________. 题型 4：由单调性求参数 【典例4-1】（2026·高一·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 【典例4-2】（2026·高二·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【变式4-1】（2026·高一·陕西渭南·期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是________. 【变式4-2】（2026·高一·贵州铜仁·期末）设函数，若对，都有，则实数的取值范围为______． 【变式4-3】（2026·高一·广东潮州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 题型 5：单调性解不等式 【典例5-1】（2026·高一·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·高一·山西晋中·期中）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高一·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高一·陕西延安·期中）已知定义在上的函数满足对任意的、，当时，成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高一·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型 6：单调性比较大小 【典例6-1】（2026·高一·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·高一·河北邢台·阶段检测）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·高一·上海徐汇·月考）设，奇函数在上减函数，且有最小值2，则函数（    ） A．是上的减函数且最大值 B．是上的增函数且最小值 C．是上的减函数且最大小值 D．是上的增函数且最大值 【变式6-2】（2026·高一·四川南充·期中）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型 7：单调性求最值 【典例7-1】（2026·高一·天津武清·阶段检测）已知定义在上的函数，且， (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 【典例7-2】（2026·高一·江苏苏州·期中）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且. (1)求二次函数的表达式： (2)若，求函数的最大值； (3)已知函数的值域为，求实数的取值范围. 【变式7-1】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数满足． (1)证明：； (2)证明：在上单调递减，并求在上的值域． 【变式7-2】（2026·高一·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 题型 8：由最值求参数 【典例8-1】设函数，若是的最小值，则实数的取值范围是___________. 【典例8-2】已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 【变式8-1】（2026·高一·北京·期中）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为______. 【变式8-2】已知函数在区间上的值域为，则______． 【变式8-3】函数在上的最大值为，则______. 【变式8-4】（2026·高一·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 _____ 题型 9：恒成立与能成立问题 【典例9-1】（2026·高二·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 【典例9-2】（2026·高一·安徽淮北·期末）已知二次函数过点，点，点 (1)求的解析式； (2)若，对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式9-1】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)，求实数的取值范围； (2)，使得，求实数的值； (3)，求实数的取值范围． 【变式9-2】（2026·高一·广东深圳·期末）已知函数的定义域为． (1)请用单调性定义证明：为单调递减函数； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式9-3】（2026·高一·甘肃张掖·阶段检测）已知函数． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)解关于的不等式； (3)若函数的值域为，存在，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式9-4】已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【变式9-5】（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）已知函数，，． (1)若，方程有解，求实数的取值范围； (2)若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 题型10：平均变化率 【典例10-1】（2026·高二·陕西·阶段检测）函数从1到2的平均变化率为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例10-2】（2026·高一·北京海淀·期中）已知函数，则在上的平均变化率为（    ） A．1 B． C．3 D．4 【变式10-1】（2026·高一·辽宁锦州·期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】函数，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率为（    ） A．2.1 B．1.1 C．2 D．1 1．（2026·高一·四川德阳·期末）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·江西吉安·期中）已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上都可能 4．（2026·高一·浙江·期中）设，若不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象上一点及邻近一点，则（    ） A．4 B． C． D． 6．（2026·高二·北京·期末）对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 7．（2026·高一·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·高一·湖南·阶段检测）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·高一·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·高一·河南·阶段检测）已知函数，且对任意的（且），总存在，使得，则（    ） A． B． C． D． 13．（多选题）（2026·高一·河北唐山·期中）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 14．（多选题）（2026·高一·江西吉安·阶段检测）下列选项正确的是（    ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 15．（多选题）（2026·高一·重庆·阶段检测）定义，设，则下列结论正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为1 C．不等式的解集为 D．的单调递减区间为 16．（多选题）（2026·高一·福建漳州·期末）定义域为的函数满足，则（    ） A． B．为增函数 C． D． 17．（2026·高一·上海浦东新·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是________. 18．（2026·高一·广东揭阳·期中）已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是___________． 19．（2026·高三·北京海淀·期末）已知函数存在最小值，则的取值范围是_________. 20．（2026·高三·青海·阶段检测）已知函数在区间上的最大值为5，则__________. 21．若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 22．函数在区间上的最小值为，则的表达式为____. 23．（2026·高一·上海·期末）利用函数的单调性求解，关于的不等式的解集是______． 24．（2026·高一·湖南娄底·期末）已知，用表示中的较大者，记作的最小值为___________． 25．（2026·高一·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 26．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数． (1)请用函数单调性定义证明，在上单调递增； (2)若，函数，求在上的值域（用含a的式子表示） 27．（2026·高一·安徽阜阳·开学考试）已知函数，且. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 28．若对于，恒成立，求实数的取值范围. 29．（2026·高一·河北唐山·期中）已知函数在区间上是单调函数． (1)求实数的所有取值组成的集合； (2)试写出在区间上的最大值． 30．（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）已知函数，．，用表示，中的最大者，记为函数． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)若函数的定义域为时，值域为，求的最小值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $