重难点01 集合中的参数问题解析（暑假预习讲义）新高一数学人教B版

重难点01 集合中的参数问题解析 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：根据元素与集合的从属关系求解参数 题型 2：根据集合内元素的个数求解参数 题型 3：根据集合之间的相等关系求解参数 题型 4：根据集合之间的包含关系求解参数 题型 5：根据集合的并集运算结果求解参数 题型 6：根据集合的交集运算结果求解参数 题型 7：根据集合的补集运算结果求解参数 题型 8：根据集合交并补混合运算结果求解参数 关键词 学习目标导航 集合中的参数问题 元素与集合的关系 集合间的基本关系 集合的基本运算 分类讨论思想 1. 理解集合中参数问题的常见考查类型，掌握元素与集合关系中参数的求解方法，能结合集合元素的互异性进行检验与取舍。 2. 能根据集合间的包含、相等关系求解参数的取值或范围，熟练掌握空集在含参问题中的特殊情形。 3. 掌握集合交、并、补运算中参数的求解思路，能借助数轴、韦恩图直观分析参数的取值边界。 4. 能运用分类讨论思想处理多情形含参集合问题，规范解题步骤，避免漏解、增解与端点取值错误。 学习重点：集合元素互异性的应用、集合间关系与运算中参数的求解、分类讨论思想的规范运用。 学习难点：空集的分类讨论、参数端点值的取舍判断、复杂集合运算中参数范围的精准推导。 知｜识｜精｜讲 知识点01 集合中的参数问题 集合中的参数问题是高中数学开篇高频考点，解题核心围绕元素性质、集合关系、集合运算三大类，需兼顾逻辑严谨性与结果完整性。 解题首要坚守元素互异性原则，求出参数后必须回代检验，剔除导致集合元素重复的取值，从源头避免增解。处理集合间包含、相等关系时，优先讨论含参集合为空集的特殊情形，再针对非空情况，依据子集、相等的定义列方程或不等式组，同时逐一验证边界值的合理性。 面对交、并、补运算类参数问题，优先采用数形结合思想：数集类借助数轴直观呈现范围，抽象集合用韦恩图梳理关系，将运算结果反向转化为参数的约束不等式。解题全程贯穿分类讨论思想，按参数对集合形态的影响维度划分情况，做到不重不漏；最终回代验证，确保结果完全符合集合定义与题设要求。 题型 1：根据元素与集合的从属关系求解参数 【典例1-1】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【典例1-2】已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【变式1-1】（2026·山东威海·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高一·江西宜春·期末）已知，则实数的值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．3或1 【变式1-3】（2026·高一·浙江温州·期末）已知，则（    ） A．0或1 B．或1 C． D．1 题型 2：根据集合内元素的个数求解参数 【典例2-1】（2026·高一·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 【典例2-2】（2026·高一·湖北·阶段检测）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的乘积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 【变式2-1】（2026·高一·河南信阳·开学考试）已知集合有且仅有2个子集，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 【变式2-2】已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 题型 3：根据集合之间的相等关系求解参数 【典例3-1】（2026·甘肃·模拟预测）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【典例3-2】（2026·高二·河北沧州·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【变式3-1】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·广东广州·阶段检测）已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 【变式3-3】（2026·高一·黑龙江鸡西·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 题型 4：根据集合之间的包含关系求解参数 【典例4-1】设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【典例4-2】设 ，若 ，求 的值． 【变式4-1】设 ．若 ，求 的取值范围． 【变式4-2】（2026·高一·天津·期末）记全集，已知集合． (1)若，求； (2)当时，求实数的取值范围． 【变式4-3】（2026·高一·山西吕梁·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； 题型 5：根据集合的并集运算结果求解参数 【典例5-1】已知集合,若,则的取值是___. 【典例5-2】（2026·高一·江苏徐州·期末）已知，或，若，则实数的取值范围是______. 【变式5-1】（2026·高一·上海浦东新·期末）设集合，，若，则实数的取值范围是______. 【变式5-2】（2026·高一·广东·期末）集合，，若，则 __． 【变式5-3】（2026·高一·山东枣庄·期中）已知集合，若，则______ 题型 6：根据集合的交集运算结果求解参数 【典例6-1】（2026·高一·广东·阶段检测）已知集合，，若，则实数的所有取值组成的集合为_____． 【典例6-2】（2026·高一·上海·期中）已知集合，，且，则实数a的取值范围是______． 【变式6-1】已知集合同时满足①，②，其中均为不等于零的实数，则的值分别为______. 【变式6-2】（2026·高一·上海·期中）已知集合，记，若集合有且仅有8个子集，那么的取值范围是________． 题型 7：根据集合的补集运算结果求解参数 【典例7-1】设，，若，则（    ） A．2 B． C． D．1 【典例7-2】（2026·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．不存在 【变式7-1】（2026·高三·北京海淀·期中）已知全集，集合，，则集合可能是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·高一·湖北孝感·开学考试）设全集，且，若，则m的值等于（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．不存在 【变式7-3】（2026·高一·福建泉州·阶段检测）设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 题型 8：根据集合交并补混合运算结果求解参数 【典例8-1】设全集，集合，已知集合有7个真子集，且集合中所有元素之和为10，求集合． 【典例8-2】已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【变式8-1】（2026·高一·湖南怀化·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【变式8-2】（2026·高一·安徽黄山·期末）已知全集为R，集合，集合或． (1)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【变式8-3】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01 集合中的参数问题解析 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：根据元素与集合的从属关系求解参数 题型 2：根据集合内元素的个数求解参数 题型 3：根据集合之间的相等关系求解参数 题型 4：根据集合之间的包含关系求解参数 题型 5：根据集合的并集运算结果求解参数 题型 6：根据集合的交集运算结果求解参数 题型 7：根据集合的补集运算结果求解参数 题型 8：根据集合交并补混合运算结果求解参数 关键词 学习目标导航 集合中的参数问题 元素与集合的关系 集合间的基本关系 集合的基本运算 分类讨论思想 1. 理解集合中参数问题的常见考查类型，掌握元素与集合关系中参数的求解方法，能结合集合元素的互异性进行检验与取舍。 2. 能根据集合间的包含、相等关系求解参数的取值或范围，熟练掌握空集在含参问题中的特殊情形。 3. 掌握集合交、并、补运算中参数的求解思路，能借助数轴、韦恩图直观分析参数的取值边界。 4. 能运用分类讨论思想处理多情形含参集合问题，规范解题步骤，避免漏解、增解与端点取值错误。 学习重点：集合元素互异性的应用、集合间关系与运算中参数的求解、分类讨论思想的规范运用。 学习难点：空集的分类讨论、参数端点值的取舍判断、复杂集合运算中参数范围的精准推导。 知｜识｜精｜讲 知识点01 集合中的参数问题 集合中的参数问题是高中数学开篇高频考点，解题核心围绕元素性质、集合关系、集合运算三大类，需兼顾逻辑严谨性与结果完整性。 解题首要坚守元素互异性原则，求出参数后必须回代检验，剔除导致集合元素重复的取值，从源头避免增解。处理集合间包含、相等关系时，优先讨论含参集合为空集的特殊情形，再针对非空情况，依据子集、相等的定义列方程或不等式组，同时逐一验证边界值的合理性。 面对交、并、补运算类参数问题，优先采用数形结合思想：数集类借助数轴直观呈现范围，抽象集合用韦恩图梳理关系，将运算结果反向转化为参数的约束不等式。解题全程贯穿分类讨论思想，按参数对集合形态的影响维度划分情况，做到不重不漏；最终回代验证，确保结果完全符合集合定义与题设要求。 题型 1：根据元素与集合的从属关系求解参数 【典例1-1】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【解析】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 【典例1-2】已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【解析】已知，，， 因此，解得. 【变式1-1】（2026·山东威海·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知集合， 由补集的定义可知，即， 因此必有且，解得，故A正确. 【变式1-2】（2026·高一·江西宜春·期末）已知，则实数的值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．3或1 【答案】C 【解析】由题意可知或，解得，或. 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足互异性，所以. 故选：C. 【变式1-3】（2026·高一·浙江温州·期末）已知，则（    ） A．0或1 B．或1 C． D．1 【答案】B 【解析】由，则，即. 故选：B 题型 2：根据集合内元素的个数求解参数 【典例2-1】（2026·高一·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【解析】当时，则需满足且，解得， 当中只有一个元素时，则或，解得， 综上可知：集合中至多有一个元素，则或， 故选：D 【典例2-2】（2026·高一·湖北·阶段检测）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的乘积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】C 【解析】当，即时，方程为有唯一解为，集合只有一个元素，则； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 得，解得， 因此或， 所以实数的所有可能值的乘积为3. 故选：C 【变式2-1】（2026·高一·河南信阳·开学考试）已知集合有且仅有2个子集，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由集合有且仅有2个子集，可得集合中有且只有一个元素， 所以方程有2个相等的实数解， 即，解得， 所以实数的取值集合为， 故选：B. 【变式2-2】已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合有且仅有1个真子集，可得集合中有且只有一个元素， 所以方程有2个相等的实数解， 即，解得， 所以实数的取值集合为， 故选：B. 【变式2-3】已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【解析】若，则，符合题意； 若，则变为，显然不成立， 则，不符合题意； 当，即时，则， 解得（舍）或， 所以的所有可能值为，故所有可能值的乘积为． 故选：D 题型 3：根据集合之间的相等关系求解参数 【典例3-1】（2026·甘肃·模拟预测）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【解析】∵集合，，若， ∴，得. 【典例3-2】（2026·高二·河北沧州·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【答案】C 【解析】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 【变式3-1】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 【变式3-2】（2026·高一·广东广州·阶段检测）已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【解析】由， 若，解得，此时中元素不满足互异性，舍去； 若，解得或， 当时，中元素不满足互异性，舍去； 当时，中元素满足互异性，所以. 故选：A 【变式3-3】（2026·高一·黑龙江鸡西·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由， 可得， 所以，即， 所以， 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时，符合题意， 所以. 故选：B 题型 4：根据集合之间的包含关系求解参数 【典例4-1】设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【解析】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【典例4-2】设 ，若 ，求 的值． 【解析】 ．因为，所以 ，则，； ①若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，不符合题意； ②若，代入，得，即或， 当时，①中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综上，． 【变式4-1】设 ．若 ，求 的取值范围． 【解析】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或. 【变式4-2】（2026·高一·天津·期末）记全集，已知集合． (1)若，求； (2)当时，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 不等式 所以 则或，或， 所以，或； （2）（2）若，则，且， 若，则，可得； 若，则，无解； 综上所述：实数的取值范围为． 【变式4-3】（2026·高一·山西吕梁·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； 【解析】（1）解不等式，得，则， 当时，，或， 所以或. （2）由，得， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以实数m的取值范围是. 题型 5：根据集合的并集运算结果求解参数 【典例5-1】已知集合,若,则的取值是___. 【答案】2或3 【解析】因为，且，所以. 由集合中元素的互异性可知，所以或. 【典例5-2】（2026·高一·江苏徐州·期末）已知，或，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为集合，或. 若，则， ∴或，即或. ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-1】（2026·高一·上海浦东新·期末）设集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为， 所以集合是集合的真子集， 所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式5-2】（2026·高一·广东·期末）集合，，若，则 __． 【答案】0或 【解析】集合， 因为，所以， 当时，，符合题意， 当时，，则， 解得， 综上所述，或． 故答案为：0或． 【变式5-3】（2026·高一·山东枣庄·期中）已知集合，若，则______ 【答案】2 【解析】由，得，则或， 当时，得，则，集合中元素不满足互异性，舍去； 当时，解得或， 若，则，，合题意； 若，则，集合中元素不满足互异性，舍去； 综上，. 故答案为：2. 题型 6：根据集合的交集运算结果求解参数 【典例6-1】（2026·高一·广东·阶段检测）已知集合，，若，则实数的所有取值组成的集合为_____． 【答案】 【解析】由，得，即， 或或， 实数的所有取值组成的集合为． 故答案为：． 【典例6-2】（2026·高一·上海·期中）已知集合，，且，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】，，等价于，解得， 集合， ，，解得， 集合， ， ， 实数a的取值范围是． 故答案为：． 【变式6-1】已知集合同时满足①，②，其中均为不等于零的实数，则的值分别为______. 【答案】或 【解析】设，则. 由，得， 所以，即集合中的元素互为倒数， 由①知，存在，使得且，解得； 由②知，或， 若，则，有，解得； 若，则，有，解得. 综上，或. 故答案为：或. 【变式6-2】（2026·高一·上海·期中）已知集合，记，若集合有且仅有8个子集，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】由题可知集合中有且仅有个元素. 所以A不能为空集，则，且有且仅有3个整数解. 当时，； 当时，； 当时，集合中至少有五个元素，不合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 题型 7：根据集合的补集运算结果求解参数 【典例7-1】设，，若，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【解析】由可得，，故， ，解得， 故选：C. 【典例7-2】（2026·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．不存在 【答案】B 【解析】由可得，若，则,故， 故选：B 【变式7-1】（2026·高三·北京海淀·期中）已知全集，集合，，则集合可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，故， 又，则，，故或. 故选：C. 【变式7-2】（2026·高一·湖北孝感·开学考试）设全集，且，若，则m的值等于（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．不存在 【答案】A 【解析】由全集，，得， 即1，4是方程的两个根，于是，解得， 所以m的值等于4. 故选：A 【变式7-3】（2026·高一·福建泉州·阶段检测）设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【解析】因为，集合，， 由补集的定义可知的可能取值为3或4， 当即时，不满足题意； 当即时，，此时满足题意， 综上， 故选：C 题型 8：根据集合交并补混合运算结果求解参数 【典例8-1】设全集，集合，已知集合有7个真子集，且集合中所有元素之和为10，求集合． 【解析】因为全集，集合， 所以，所以有， 因为集合中所有元素之和为10，所以集合中除了1和4以外剩余元素之和为5．所以集合中最多有4个元素. 若中有3个元素，则，集合的真子集为，共7个，符合题意. 若中有4个元素，则, 此时集合的真子集有15个，不符合题意. 故． 【典例8-2】已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【解析】（1）由于，所以解得． （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 【变式8-1】（2026·高一·湖南怀化·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由，即，解得， 所以， 当时，， 所以； （2）因为，所以， 又，， 所以，所以实数m的取值范围为. 【变式8-2】（2026·高一·安徽黄山·期末）已知全集为R，集合，集合或． (1)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集， 则或，解得或， 又因为所以或， 所以的取值范围为或； （2），且 ∴且，即 故的取值范围是． 【变式8-3】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）已知全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当时，，所以， 由解得，所以 所以 （2）当时，，得，此时满足 当时，由得， 或者解得或. 综上实数的取值范围为：或 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $