1.1.3 集合的基本运算讲义-2026年暑假新高一预习数学人教B版必修第一册

1.1.3 集合的基本运算 知识点一　交集 1.交集的表示 2.交集的运算性质 (1)A∩B＝B∩A. (2)A∩A＝A. (3)A∩∅＝∅∩A＝∅. (4)如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立. 【注意】如果两个集合A，B没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅． 知识点二　并集 1.并集 2.并集的运算性质 (1)A∪B＝B∪A. (2)A∪A＝A. (3)A∪∅＝∅∪A＝A. (4)如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立. 知识点三　全集与补集 1.全集 (1)定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集. (2)记法：全集通常记作U. 2.补集 自然语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 3.补集运算的性质 (1)A∪(∁UA)＝U； (2)A∩(∁UA)＝∅； (3)∁U(∁UA)＝A. 特殊结论：∁R(A∪B)与(∁RA)∩(∁RB)及∁R(A∩B)与(∁RA)∪(∁RB)的关系 (1)∁R(A∪B)＝(∁RA)∩(∁RB)． (2)∁R(A∩B)＝(∁RA)∪(∁RB)． 考点一　交集的概念及运算 考点二　根据交集结果求集合或参数 考点三　并集的概念及运算 考点四　根据并集结果求集合或参数 考点五　补集的概念及运算 考点六　根据补集运算确定集合或参数 考点七　交并补混合运算 考点八　根据交并补混合运算确定集合或参数 考点九　利用Venn图的解题（容斥原理的应用） 考点十　集合新定义 考点一　交集的概念及运算 1．（2026·上海·模拟预测）已知集合，，则________． 【答案】 {4,5} 【详解】由题意，. 2．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 集合，是自然数集， 所以，又因为， 因此. 3．（2026·湖南株洲·模拟预测）集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设. 4．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以， 由，得，所以， 所以. 考点二　根据交集结果求集合或参数 5．（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以或， 当时，与集合元素的互异性矛盾； 当时，可得，此时,满足 故. 6．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，， 所以，即，解得. 7．（2026·重庆·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用交集的性质可知点同时属于集合A和B，将该点代入两个集合对应的方程求解即可得到b的值. 【详解】由可得，点同时满足集合、的对应函数方程， 将代入的方程，得，解得； 将和代入的方程， 得，解得， 因此. 8．（25-26高一上·河北·期中）（多选）已知集合，若集合中有三个元素，则实数可以是（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，得到，求得，结合选项，即可求解. 【详解】由集合， 若集合中有三个元素，则， 可得，结合选项，可得A正确，B不正确，C正确，D正确． 故选：ACD. 9．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，然后根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 10．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知集合，或． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合B后，再求两者交集即可； （2）根据可得，解出即可． 【详解】（1）当时，或， 故． （2）由，有，解得， 所以实数的取值范围为． 考点三　并集的概念及运算 11．（2026·辽宁锦州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用并集定义计算求解. 【详解】因为集合，，则 12．（2026·北京·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 13．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设及并集定义可得答案. 【详解】由并集定义可得： 14．（2026·江西赣州·二模）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以 所以， 所以 考点四　根据并集结果求集合或参数 15．（2026高一·全国·专题练习）（多选）(多选题)下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据集合交集和并集的运算性质进行求解即可. 【详解】当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项A不正确，选项B正确. 当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项C不正确，选项D正确． 16．（2026·上海·三模）若，，且，则实数取值的集合是____________. 【答案】 【分析】根据并集的定义可得是集合中的元素，再结合集合元素的互异性排除，即可得到实数的取值集合. 【详解】因为，，且，则， 所以且由互异性知， 则有或或， 所以实数取值的集合是. 17．（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 当时，此时，不合题意. 当时，此时，要使，则. 综上. 18．（25-26高一上·湖南张家界·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的运算性质进行求解即可； （2）根据并集的运算性质进行求解即可. 【详解】（1），，且， ， 故实数的取值范围为 （2）由，得， ， 故实数的取值范围为. 19．（25-26高一上·江西鹰潭·阶段检测）已知集合.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据，分和两种情况，列不等式求解. 【详解】因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，方程组无解. 综上所述，实数的取值范围为. 20．（25-26高一上·北京·期中）已知集合． (1)若，且，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由题设是的两个根，利用韦达定理及已知条件求参数值，注意验证，即可得； （2）由题设求出集合且，结合集合中的不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设是的两个根，则， 由， 则，可得或， 又，则，显然或均满足， 综上，或； （2）由题设，， 又，即，故. 考点五　补集的概念及运算 21．（2026·北京大兴·三模）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 所以． 22．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）设全集 ，集合 ，则中元素的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知全集 ，集合 ， 则共6个元素. 23．（25-26高三下·湖南株洲·阶段检测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集、补集运算的定义，即可得答案. 【详解】由题意得，所以. 24．（2026·天津滨海新区·三模）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得， 又，所以． 考点六　根据补集运算确定集合或参数 25．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】已知全集，， 则，又，所以，解得． 26．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知集合，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据补集的定义及集合的特性计算即可. 【详解】因为集合，，又， 所以,解得或. 当时，集合A互异性不成立舍去； 当时，符合题意； 所以. 故选：C. 27．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据补集的定义求出，从而求出、的值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 又，所以，所以. 故选：C 28．（2026·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合，， 因为，可得. 故选：B. 29．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)当时，求； (2)若存在集合，使得，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集概念求出答案； （2）根据补集的概念求出，结合，从而得到，得到答案. 【详解】（1）当时，，所以． （2）因为集合，所以， 又，所以，解得． 30．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）设集合，，，若，则_____. 【答案】 【分析】根据补集的运算可得，即可列等式求解. 【详解】由可得，由于，所以，所以，解得， 故答案为： 考点七　交并补混合运算 31．（2026·福建厦门·模拟预测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以. 32．（2026·安徽·模拟预测）若全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全集与补集、交集的概念计算即可. 【详解】全集，集合，， 即全集，则， 所以． 33．（2026·四川广安·模拟预测）若全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，所以， ，所以. 34．（2026·山东德州·三模）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， 所以. 考点八　根据交并补混合运算确定集合或参数 35．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则， 而，则， 若，则，，此时，不满足题意，故， 同理可得，又，则. 36．（25-26高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 37．（2026高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】由补集和交集的概念可得出答案. 【详解】已知，则， ，且， 所以. 故答案为： 38．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 39．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 40．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知集合，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】确定，结合，即可求解. 【详解】， 所以或，又 所以， 故答案为： 考点九　利用Venn图的解题（容斥原理的应用） 41．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2026年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 【答案】18 【分析】假设只参加集体项目比赛的有人，根据题设及容斥原理列方程求值即可. 【详解】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目， 因此参加比赛项目的总人数为, 因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人， 设只参加集体项目比赛一项的有人， 则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人. 故答案为：18. 42．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训3类拓展课程．高一某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为________． 【答案】8 【分析】利用韦恩图来求解即可. 【详解】设3类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和AI技术培训的有人， 列出韦恩图如下，则， 可得，则只参加AI技术培训的人数为人. 故答案为：8.    43．（25-26高一上·重庆渝中·阶段检测）刚刚过去的十一国庆节，某旅行团共有人来重庆旅游，每人至少要去洪崖洞、仙女山、白公馆中的一个地方游玩，其中去洪崖洞的有人，去仙女山的有人，去白公馆的有人，三个地方都去的有人，则至少去其中两个地方的有（   ）人． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设去了洪崖洞的同学组成集合，去了仙女山的同学组成集合，去了白公馆的同学组成集合，作出韦恩图，可求得结果. 【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合，去了仙女山的同学组成集合，去了白公馆的同学组成集合， 设只去洪崖洞、仙女山的人数为，只去洪崖洞、白公馆的人数为，只去仙女山、白公馆的人数为， 如下图所示： 由题意可得， 即，解得. 所以至少去其中两个地方的人数为人. 故选：B. 44．（25-26高一上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得阴影部分为，再进行求解即可. 【详解】由图可得阴影部分可表示为. 故选：D 45．（25-26高一上·安徽六安·期中）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、书法社团和围棋社团，若高一（10）班共有45名学生，每个学生至少参加一个社团，其中有29人参加篮球社团，26人参加书法社团，24人参加围棋社团，三个社团均参加的有4人，则恰好参加一个社团的学生有（   ） A．8人 B．10人 C．13人 D．15人 【答案】D 【分析】利用Venn图求解即可. 【详解】如图所示： 设恰好参加一个社团的人数为，恰好参加两个社团的人数为，则①， 又②， 联立①②得，. 故选：D. 46．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）下列集合表示图中阴影部分的为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据韦恩图及集合的交并补的意义判断即可. 【详解】由题意可知阴影部分表示在集合中且不是集合中的元素， 所以阴影部分表示，故B正确； 对于A，因为中含有集合中的元素，与题意不符，故A错误； 对于C，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故C正确； 对于D，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故D正确. 故选：BCD. 考点十　集合新定义 47．（2026·湖南·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得a可能取1，3，5，23，b可能取1，3，5，23， 则可能取2，4，6，24，4，6，8，26，6，8，10，28，24，26，28，46， 由集合的互异性去掉重复的元素，则，则． 48．（25-26高二下·北京怀柔·期末）设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【详解】 根据笛卡尔积的定义逐一分析：①和③可举反例判定为假；②可通过证明集合相等判定为真；④可根据定义确定元素个数即可. 【解答】 解：对于①，根据新定义，设，， 根据定义且， 则 ，而，显然，所以①错误． 对于②， 对于任意的，根据定义可知且， 即或者．若，则； 若，则．所以， 即 ． 反之，对于任意的， 则或者， 若，则且， 若，则且， 所以且，即， 所以． 综上，，②正确． 对于③， 设，，， 则，， ，， 所以，所以③错误． 对于④， 已知集合中有个元素，集合中有个元素． 对于且，从中取一个元素有种取法， 从中取一个元素有种取法．所以中元素的个数为，所以④正确． 综上，正确的命题有②④. 49．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 50．（25-26高一上·四川凉山·期末）（多选）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 1．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，， 所以. 2．（2026·北京丰台·三模）已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义，由集合在全集下的补集直接求解集合. 【详解】已知，，则不属于的实数满足，即. 3．（2026·湖南怀化·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合，再由集合交集的定义可得. 【详解】由集合，所以，且，所以. 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【分析】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 5．（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】全集，集合，， ，，故选项D正确. 6．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）已知集合，若，则实数的值为（ ） A． B．0 C．2 D．2或 【答案】C 【分析】由题意，进而有或求参数，注意验证元素的互异性. 【详解】由，即，则或，可得或， 当，在集合中，不满足集合元素的互异性， 当，则，满足题设. 故选：C 7．（2026·湖北·三模）已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的补集、交集以及子集的相关概念来确定参数的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 即的取值范围是. 8．（25-26高一上·湖北·阶段检测）（多选）设，若，则实数的取值可以是 （    ） A．0 B． C．1 D．3 【答案】ABC 【分析】根据题意，求得，且， 分和，两种情况讨论，列出方程，即可求解. 【详解】由集合，因为，所以， 当时，即方程无实根，可得； 当时，可得， 若，解得，此时，满足； 若，解得，此时，满足， 综上可得，实数的值可以是或或. 故选：ABC. 9．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）（多选）设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则显然任意，则，则，故，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，不等式无解，故D错误. 故选：ABC. 10．（25-26高一上·河南信阳·期中）（多选）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用并集补集定义求解，再分为空集与非空集情况讨论，列出参数不等式求解即可. 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 11．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知全集，，，，则_____. 【答案】 【分析】根据题意，结合集合的交并补运算讨论求解即可. 【详解】解：已知全集，即， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 12．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知集合，且，则实数的值为_______. 【答案】或或 【分析】计算出集合后，分及进行讨论即可得. 【详解】，解得或，则， 当时，，则，符合要求； 当时，由，则有或，即或； 综上所述：的值为或或. 故答案为：或或. 13．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解． 【详解】（1）当时，， 又集合 ，则； （2）由得，所以， 即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即. 当时，有或，解得， 综上，实数的取值范围为． 14．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）求得集合，由分类讨论可得值； （2）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值． 【详解】（1）若，可得，因为，所以． 当，则；当，则；当，． 综上，可得实数a组成的集合为． （2）因为，， 且，，所以，，所以， 解得，解，得或，所以， 所以，所以，解得． 15．（25-26高一上·上海·期中）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或． (2) (3) 【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可； （3）根据集合元素情况分类求解即可． 【详解】（1）由题意得，因为，所以， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，,，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，，所以方程有两个根， 所以且，， 所以． （3）因为，且， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当,时，则，无解， 综上，的范围为． 16．（25-26高一上·山东·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由集合先得到，结合集合和得到不等式组，即可得到答案； （2）分和两种情况讨论，结合子集定义可求解 【详解】（1）因为，所以或， 又且， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）若，则， 当时，，解得； 当时，，即， 要使，则，解得， 此时； 综上，实数a的取值范围为 17．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)21. 【分析】（1）根据“同形点”定义直接写出答案即可； （2）分、、以及讨论即可； （3）讨论存在和恒成立的情况即可. 【详解】（1）， 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0， 故其“同形点”为. （2）的＂同形点＂的个数为．证明如下： 设，由题：取集合． 若为的＂同形点＂，应有，且． ①当时，若且，取为， 则与的交集元素个数为0， 此时为的＂同形点＂，共有个； ②当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ③当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ④当时，同理可得中除外，其余元素都是的＂同形点＂，共有个． 综上可得的＂同形点＂的个数为． （3）的最小值为21． 证明如下： 首先当时，，由对称性不妨设中元素个数不少于11， 对于，设的元素个数为， 若存在，因为，所以存在，有， 不妨设，则中至少一个是的＂同形点＂； 若恒成立，因为，所以存在， 有，因为， 所以存在，使得，不妨设，则为的＂同形点＂． 其次当时，不妨设； ①若，则，取可得其无＂同形点＂； ②若，则， 取， 可得其无＂同形点＂； 综上的最小值为21． 18．（25-26高一上·北京西城·期末）设整数集合，其中，且对，，若，则有． (1)直接写出一个满足条件的集合A； (2)证明：，； (3)求满足条件的集合A的个数． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题目条件，令，即可写出一个集合； （2）由反证法即可证明； （3）因为，，所以集合中至多4个元素.设，先通过判断集合中前个元素的最大值可以推出，故集合的个数与集合的子集个数相同，即可求出． 【详解】（1）令，满足， 当，时，若满足，则成立， 即可写出一个满足条件的集合. （2）假设存在一个使得， 令，其中且， 由题意，由于，得， 由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾， 所以任意，． （3）设集合中有个元素，， 由题意，得，， 由（2）知，． 假设，则． 因为， 由题设条件，得， 因为， 所以由（2）可得， 这与为中不超过的最大元素矛盾， 所以， 又因为，， 所以． 任给集合的元子集，令， 以下证明集合符合题意： 对于任意，则． 若，则有， 假设，因为，所以， 这与矛盾； 因此必有， 又因为，所以和都不大于， 根据集合的构造，所以，，从而． 故集合符合题意， 所以满足条件的集合的个数与集合的子集个数相同， 故满足条件的集合有个． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.3 集合的基本运算 知识点一　交集 1.交集的表示 2.交集的运算性质 (1)A∩B＝B∩A. (2)A∩A＝A. (3)A∩∅＝∅∩A＝∅. (4)如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立. 【注意】如果两个集合A，B没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅． 知识点二　并集 1.并集 2.并集的运算性质 (1)A∪B＝B∪A. (2)A∪A＝A. (3)A∪∅＝∅∪A＝A. (4)如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立. 知识点三　全集与补集 1.全集 (1)定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集. (2)记法：全集通常记作U. 2.补集 自然语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 3.补集运算的性质 (1)A∪(∁UA)＝U； (2)A∩(∁UA)＝∅； (3)∁U(∁UA)＝A. 特殊结论：∁R(A∪B)与(∁RA)∩(∁RB)及∁R(A∩B)与(∁RA)∪(∁RB)的关系 (1)∁R(A∪B)＝(∁RA)∩(∁RB)． (2)∁R(A∩B)＝(∁RA)∪(∁RB)． 考点一　交集的概念及运算 考点二　根据交集结果求集合或参数 考点三　并集的概念及运算 考点四　根据并集结果求集合或参数 考点五　补集的概念及运算 考点六　根据补集运算确定集合或参数 考点七　交并补混合运算 考点八　根据交并补混合运算确定集合或参数 考点九　利用Venn图的解题（容斥原理的应用） 考点十　集合新定义 考点一　交集的概念及运算 1．（2026·上海·模拟预测）已知集合，，则________． 2．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南株洲·模拟预测）集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）若集合 ，则（    ） A． B． C． D． 考点二　根据交集结果求集合或参数 5．（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 6．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 7．（2026·重庆·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D．1 8．（25-26高一上·河北·期中）（多选）已知集合，若集合中有三个元素，则实数可以是（　　） A．2 B．3 C． D． 9．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知集合，或． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 考点三　并集的概念及运算 11．（2026·辽宁锦州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·北京·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 14．（2026·江西赣州·二模）若集合，则（   ） A． B． C． D． 考点四　根据并集结果求集合或参数 15．（2026高一·全国·专题练习）（多选）(多选题)下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 16．（2026·上海·三模）若，，且，则实数取值的集合是____________. 17．（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·湖南张家界·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·江西鹰潭·阶段检测）已知集合.若，求实数m的取值范围. 20．（25-26高一上·北京·期中）已知集合． (1)若，且，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 考点五　补集的概念及运算 21．（2026·北京大兴·三模）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 22．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）设全集 ，集合 ，则中元素的个数为（ ） A． B． C． D． 23．（25-26高三下·湖南株洲·阶段检测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 24．（2026·天津滨海新区·三模）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 考点六　根据补集运算确定集合或参数 25．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 26．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知集合，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 28．（2026·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)当时，求； (2)若存在集合，使得，求． 30．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）设集合，，，若，则_____. 考点七　交并补混合运算 31．（2026·福建厦门·模拟预测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 32．（2026·安徽·模拟预测）若全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 33．（2026·四川广安·模拟预测）若全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 34．（2026·山东德州·三模）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 考点八　根据交并补混合运算确定集合或参数 35．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 36．（25-26高二下·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 37．（2026高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 38．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 39．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 40．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知集合，若，则的取值范围是__________. 考点九　利用Venn图的解题（容斥原理的应用） 41．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2026年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 42．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训3类拓展课程．高一某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为________． 43．（25-26高一上·重庆渝中·阶段检测）刚刚过去的十一国庆节，某旅行团共有人来重庆旅游，每人至少要去洪崖洞、仙女山、白公馆中的一个地方游玩，其中去洪崖洞的有人，去仙女山的有人，去白公馆的有人，三个地方都去的有人，则至少去其中两个地方的有（   ）人． A． B． C． D． 44．（25-26高一上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 45．（25-26高一上·安徽六安·期中）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、书法社团和围棋社团，若高一（10）班共有45名学生，每个学生至少参加一个社团，其中有29人参加篮球社团，26人参加书法社团，24人参加围棋社团，三个社团均参加的有4人，则恰好参加一个社团的学生有（   ） A．8人 B．10人 C．13人 D．15人 46．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）下列集合表示图中阴影部分的为（   ） A． B． C． D． 考点十　集合新定义 47．（2026·湖南·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高二下·北京怀柔·期末）设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 49．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 50．（25-26高一上·四川凉山·期末）（多选）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京丰台·三模）已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南怀化·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 5．（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）已知集合，若，则实数的值为（ ） A． B．0 C．2 D．2或 7．（2026·湖北·三模）已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖北·阶段检测）（多选）设，若，则实数的取值可以是 （    ） A．0 B． C．1 D．3 9．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）（多选）设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高一上·河南信阳·期中）（多选）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知全集，，，，则_____. 12．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知集合，且，则实数的值为_______. 13．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 14．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 15．（25-26高一上·上海·期中）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 16．（25-26高一上·山东·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 17．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 18．（25-26高一上·北京西城·期末）设整数集合，其中，且对，，若，则有． (1)直接写出一个满足条件的集合A； (2)证明：，； (3)求满足条件的集合A的个数． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $