第04讲命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否定（思维导图+4知识点+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第一册）

第04讲 命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解命题与量词，凸显数学抽象的核心素养. 2.掌握全称量词命题与存在量词命题的否定，凸显数学抽象的核心素养. 3.与方程、不等式、数轴、平面几何等相结合考查量词命题的应用，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 知识点 1 命题 1.命题：可供真假判断的陈述语句就是命题． 2.判断为真的语句称为真命题；判断为假的语句称为假命题. 知识点 2 量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词． （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词． （3）常见量词： 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 知识点3 全称命题与特称命题 1．全称命题 （1）含有全称量词的命题，叫做全称命题． （2）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． 2．特称命题 （1）含有存在量词的命题，叫做特称命题． （2）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． 知识点4 全称命题与特称命题的否定 1.命题的否定对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定” 2.全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． 3.含有一个量词的命题的否定 （1）全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，¬p(x). （2）存在量词（特称）命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x) 考点一：判断命题的真假 例1．（多选）（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．存在两个偶数，他们的商是奇数 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．所有实数的绝对值都是正数 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【变式1-1】1．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【变式1-2】（多选）（23-24高一上·西藏林芝·期中）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为(    ) A．4 B．2 C．3 D．5 【变式1-3】（多选）（23-24高一上·内蒙古·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．若，是任意实数，则 C．若是奇数，则是奇数 D．若，，则 【规律方法】 熟练掌握已有数学知识、有关结论． 考点二：根据命题的真假求参数（范围） 例2.（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【变式2-1】（多选）（22-23高一·江苏·假期作业）（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【变式2-2】（23-24高一上·上海普陀·期中）设，则命题“关于x的方程的解集为”是 命题（填“真”或“假”）. 【变式2-3】（22-23高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 考点三：全称命题及其真假的判断 例3.（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是； (2)所有的素数都是奇数； (3)对任意的无理数x，也是无理数； (4)，x都有平方根； (5)，有． 【变式3-1】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【变式3-2】（多选）（23-24高一上·陕西·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．， B．存在一个菱形是正方形 C．每个命题都可以判断真假 D．所有等边三角形的三条高都相等 【变式3-3】（多选）（23-24高一上·新疆喀什·阶段练习）下列命题中全称量词命题的有（    ） ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等；④有些不相似的三角形面积相等. A．① B．② C．③ D．④ 【总结提升】 判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤： 1．首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题． 2．若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题． 3．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质． 4．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会． 51.全称命题的真假判断 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可． 考点四：存在量词（特称）命题及其真假的判断 例4.（多选）（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）下列命题中正确的是（ ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．是无理数，是无理数 D．存在，使得 【变式4-1】（23-24高一上·广东广州·期中）下列命题中的假命题是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）下列命题中是全称量词命题且真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．， 【变式4-3】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习），使是存在量词命题，且是真命题.( )（填正确或错误） 【总结提升】 特称命题的真假判断 要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题． 考点五：根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 例5.（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【变式5-1】（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·辽宁·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【变式5-3】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A. （2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值. 【规律方法】 应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型 1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决． 2．存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 考点六：全称命题的否定及其真假的判断 例6.写出下列命题的否定，并判定真假． (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)有些实数的绝对值是正数； (3)某些平行四边形是菱形. 【变式6-1】（2023春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）命题“分数都是有理数”的否定是（    ） A．所有的分数都是有理数 B．所有的分数都不是有理数 C．存在一个分数不是有理数 D．存在一个分数是有理数 【变式6-2】（23-24高三下·重庆·阶段练习）命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 【规律方法】 含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 考点七：存在性命题的否定及其真假的判断 例7.（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【变式7-1】（多选）（23-24高一上·新疆·期中）下列四个命题是假命题的（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知命题，则是 . 【变式7-3】（23-24高一上·云南昭通·期末）命题“”的否定是 ． 考点八：根据命题否定的真假求参数 例8.（多选）（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【变式8-1】（2022秋·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知命题p：x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，若是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3 【变式8-2】（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【变式8-3】（多选）（21-22高一上·湖北黄冈·期末）已知∃x∈R，不等式不成立，则下列关于a的取值不正确的是（　　） A． B． C． D． 【总结提升】 应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型 1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决． 2．特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 1．（2016·浙江·高考真题）命题“，使得”的否定形式是（ ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 2.（23-24高一上·山东潍坊·期末）设，命题“存在，使有实根”的否定是（    ） A．任意，使无实根 B．任意，使有实根 C．存在，使无实根 D．存在，使有实根 3．（23-24高一上·云南红河·阶段练习）命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．不存在，使 C．，使 D．，使 4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．“，” B．“，” C．“，” D．“，” 5．（多选）（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围可能是（ ） A． B． C． D． 6．（多选）（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）下列四个命题中是假命题的为（    ） A．使 B．使 C． D． 7.（23-24高一上·上海·期中）已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是 . 8.（23-24高一下·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 9．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定. (1)，与3的和不等于0； (2)，. 10．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解命题与量词，凸显数学抽象的核心素养. 2.掌握全称量词命题与存在量词命题的否定，凸显数学抽象的核心素养. 3.与方程、不等式、数轴、平面几何等相结合考查量词命题的应用，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 知识点 1 命题 1.命题：可供真假判断的陈述语句就是命题． 2.判断为真的语句称为真命题；判断为假的语句称为假命题. 知识点 2 量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词． （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词． （3）常见量词： 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 知识点3 全称命题与特称命题 1．全称命题 （1）含有全称量词的命题，叫做全称命题． （2）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． 2．特称命题 （1）含有存在量词的命题，叫做特称命题． （2）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． 知识点4 全称命题与特称命题的否定 1.命题的否定对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定” 2.全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． 3.含有一个量词的命题的否定 （1）全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，¬p(x). （2）存在量词（特称）命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x) 考点一：判断命题的真假 例1．（多选）（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．存在两个偶数，他们的商是奇数 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．所有实数的绝对值都是正数 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】ABD 【分析】找值代入即可判断选项A；根据矩形的判定来判断B；0的绝对值是0即可判断C；根据正方形的判定来判断D. 【详解】若，则是奇数，故A是真命题. 对角线相等的平行四边形是矩形，故B是真命题. 0的绝对值是0，不是正数，故C是假命题. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D是真命题. 故选：ABD. 【变式1-1】1．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【分析】根据命题的真假即可判定. 【详解】p为假，q为真, 故选：B 【变式1-2】（多选）（23-24高一上·西藏林芝·期中）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为(    ) A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据常用数集的表示符合与各自的范围判断各命题，即可得出答案. 【详解】为无理数，有理数与无理数统称为实数，所以，所以①正确； 为无理数，不属于整数，所以，所以②错误； 0不是正整数，所以，所以③正确； 是正整数，属于自然数，所以，所以④错误； 是无理数，所以，所以⑤正确； 是正数，所以，所以⑥错误； 综上，共由3个正确命题， 故选：C. 【变式1-3】（多选）（23-24高一上·内蒙古·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．若，是任意实数，则 C．若是奇数，则是奇数 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】举反例得到B错误，根据定义判断AC正确，确定，，D正确，得到答案. 【详解】对选项A：对角线相等的平行四边形是矩形，则A是真命题． 对选项B：当时，，则B是假命题． 对选项C：x是奇数，所以x不能被2整除，所以不能被2整除，即是奇数， 则C是真命题． 对选项D：由，，得，则，则D是真命题． 故选：ACD. 【规律方法】 熟练掌握已有数学知识、有关结论． 考点二：根据命题的真假求参数（范围） 例2.（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【分析】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【详解】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 【变式2-1】（多选）（22-23高一·江苏·假期作业）（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】ABD 【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可. 【详解】因为方程有实数根，所以，解得或， 故当，，时符合条件. 故选：ABD. 【变式2-2】（23-24高一上·上海普陀·期中）设，则命题“关于x的方程的解集为”是 命题（填“真”或“假”）. 【答案】假 【分析】结合一次方程解的性质判断命题的真假即可. 【详解】当时，方程无解，当时，方程的解为， 所以命题“关于x的方程的解集为”是假命题. 故答案为：假. 【变式2-3】（22-23高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可． 【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 考点三：全称命题及其真假的判断 例3.（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是； (2)所有的素数都是奇数； (3)对任意的无理数x，也是无理数； (4)，x都有平方根； (5)，有． 【答案】(1)是，“每一个” (2)是，“所有” (3)是，“任意” (4)是，“” (5)是，“” 【分析】根据全称量词命题的判断即可. 【详解】（1）命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题． （2）命题中含有存在量词“所有”，是全称量词命题． （3）命题中含有全称量词“任意”，是全称量词命题． （4）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题． （5）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题． 【变式3-1】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项CD不合题意，再判断出命题真假即可得出结论. 【详解】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意； 故选：B 【变式3-2】（多选）（23-24高一上·陕西·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．， B．存在一个菱形是正方形 C．每个命题都可以判断真假 D．所有等边三角形的三条高都相等 【答案】ACD 【分析】根据全称量词及存在性量词的概念求解. 【详解】根据全称量词命题的概念，选项ACD都是全称量词命题，选项B是存在量词命题. 故选：ACD 【变式3-3】（多选）（23-24高一上·新疆喀什·阶段练习）下列命题中全称量词命题的有（    ） ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等；④有些不相似的三角形面积相等. A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【分析】根据各命题的描述，结合全称、特称命题的特征词判断是否为全称量词命题. 【详解】①可改写为任意平行四边形的对角线互相平分，是全称命题； ②可改写为任意梯形有两边平行，是全称命题； ③④含“存在”、“有些”表示特称命题的特征词，是特称命题. 故选：AB 【总结提升】 判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤： 1．首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题． 2．若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题． 3．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质． 4．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会． 51.全称命题的真假判断 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可． 考点四：存在量词（特称）命题及其真假的判断 例4.（多选）（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）下列命题中正确的是（ ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．是无理数，是无理数 D．存在，使得 【答案】ABC 【分析】利用存在量词命题、全称量词命题的真假判断方法逐项判断即得. 【详解】对于A，，，如，A正确； 对于B，至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，例如数1满足条件，B正确； 对于C，是无理数，是无理数，如，C正确； 对于D，恒成立，即不存在，使得成立，D错误. 故选：ABC 【变式4-1】（23-24高一上·广东广州·期中）下列命题中的假命题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题与存在量词命题真假性的判断即可得解. 【详解】对于A，当时，，为真命题，故A错误； 对于B，因为，所以，则，为真命题，故B错误； 对于C，当时，，为假命题，故C正确； 对于D，由，得，为真命题，故D错误. 故选：C. 【变式4-2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）下列命题中是全称量词命题且真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的概念，以及真假判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，因为是素数，不是奇数，命题所有的素数都是奇数是全称量词命题且是假命题； B中，该命题是存在量词命题且是真命题； C中，根据平行四边形的性质，可得该命题是全称量词命题且是真命题； D中，该命题是存在量词命题且是假命题. 故选：C. 【变式4-3】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习），使是存在量词命题，且是真命题.( )（填正确或错误） 【答案】错误 【分析】由存在量词定义及恒成立，即可判断. 【详解】由已知，原命题为存在量词命题，但恒成立，故为假命题. 故答案为：错误 【总结提升】 特称命题的真假判断 要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题． 考点五：根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 例5.（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【详解】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 【变式5-1】（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次方程判别式与存在量词命题的真假性即可得解. 【详解】因为为真命题， 所以，解得. 故选：A. 【变式5-2】（23-24高一上·辽宁·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出方程的解，即可判断. 【详解】由，解得或， 又“，”是假命题，所以. 故答案为： 【变式5-3】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A. （2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值. 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）讨论二次项系数是否为0，并结合判别式大于0求解； （2）分离参数即可求解. 【详解】（1）方程有两个不同的实数解， 则当为唯一解，不合题意舍去； 所以且，解得且， 故集合且 （2）命题“， ”为真命题， 则对恒成立，即， 故实数a的最小值为2. 【规律方法】 应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型 1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决． 2．存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 考点六：全称命题的否定及其真假的判断 例6.写出下列命题的否定，并判定真假． (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)有些实数的绝对值是正数； (3)某些平行四边形是菱形. 【答案】见解析. 【解析】分析：首先弄清楚是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式从量词和结论两个方面加以否定． (1)存在一个矩形不是平行四边形．假命题． (2)所有实数的绝对值都不是正数．假命题． (3)每一个平行四边形都不是菱形．假命题． 【变式6-1】（2023春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）命题“分数都是有理数”的否定是（    ） A．所有的分数都是有理数 B．所有的分数都不是有理数 C．存在一个分数不是有理数 D．存在一个分数是有理数 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】命题“分数都是有理数”的否定是“存在一个分数不是有理数”. 故选：C ”的否定为“”. 故选：B. 【变式6-2】（23-24高三下·重庆·阶段练习）命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，结合命题，直接求解即可. 【详解】命题的否定为：. 故选：A. 【变式6-3】（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定是特称命题得出答案. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“ 【规律方法】 含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 考点七：存在性命题的否定及其真假的判断 例7.（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 【变式7-1】（多选）（23-24高一上·新疆·期中）下列四个命题是假命题的（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对全称量词命题与存在量词命题的理解判断即可. 【详解】A项，由，得， 故不存在满足，故A是假命题； B项，由得，但， 故不存在满足，故B是假命题； C项，当时，， 故命题“”是假命题； D项，恒成立， 故命题“”是真命题. 故选：ABC. 【变式7-2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知命题，则是 . 【答案】. 【分析】对原命题“改写量词，否定结论”即可求得结果. 【详解】命题，故是：. 故答案为：. 【变式7-3】（23-24高一上·云南昭通·期末）命题“”的否定是 ． 【答案】 【分析】根据特称命题的否定形式求解即可． 【详解】命题“”的否定是：“”． 故答案为：． 考点八：根据命题否定的真假求参数 例8.（多选）（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论与结合二次函数的性质判断即可. 【详解】命题，为假命题，则，. 当时满足题意；当时，有，解得. 综上有 故选：ABC 【变式8-1】（2022秋·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知命题p：x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，若是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3 【答案】D 【分析】根据给定条件写出命题，再由全称量词命题是真命题即可得解. 【详解】因命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，则有命题：x∈{x|1<x<3}，x-a<0， 又是真命题，即x∈{x|1<x<3}，a>x恒成立，于是得a≥3， 所以实数a的取值范围是a≥3. 故选：D 【变式8-2】（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】是假命题，则为真命题，即有实数根，分类讨论与时的情况即可. 【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求； 当时，即有，解得且； 综上所述，. 故选：B. 【变式8-3】（多选）（21-22高一上·湖北黄冈·期末）已知∃x∈R，不等式不成立，则下列关于a的取值不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】转化为成立，利用判别式法求解. 【详解】解：因为∃x∈R，不等式不成立， 所以成立， 则， 解得. 故选：BCD 【总结提升】 应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型 1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决． 2．特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 1．（2016·浙江·高考真题）命题“，使得”的否定形式是（ ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】D 【详解】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D． 【考点】全称命题与特称命题的否定． 【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． 2.（23-24高一上·山东潍坊·期末）设，命题“存在，使有实根”的否定是（    ） A．任意，使无实根 B．任意，使有实根 C．存在，使无实根 D．存在，使有实根 【答案】A 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案. 【详解】由题意知命题“存在，使有实根”为存在量词命题， 其否定为：任意，使无实根， 故选：A 3．（23-24高一上·云南红河·阶段练习）命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．不存在，使 C．，使 D．，使 【答案】D 【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案. 【详解】命题“，使”的否定是，使. 故选：D. 4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．“，” B．“，” C．“，” D．“，” 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得答案. 【详解】解：命题“，”的否定为：，. 故选：B. 5．（多选）（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先根据命题是假命题得到对应的真命题，然后利用判别式完成计算，从而确定出的可能范围. 【详解】因为命题是假命题， 所以可知“,”为真命题， 所以，所以， 又因为“”可以推出“”， “”可以推出“”， 故选：BCD. 6．（多选）（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）下列四个命题中是假命题的为（    ） A．使 B．使 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据全称命题以及存在量词命题的性质结合选项即可逐一求解. 【详解】对于A. 由可得，故不存在，使，A错误， 对于B，由得，故不存在，使，B错误， 对于C，当时，，故C错误， 对于D,由于，故，D正确， 故选：ABC 7.（23-24高一上·上海·期中）已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由命题为真求解即可. 【详解】已知命题“如果，那么”是真命题， 则实数的取值范围是. 故答案为： 8.（23-24高一下·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据得到答案. 【详解】，，为真命题，故， 解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 9．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定. (1)，与3的和不等于0； (2)，. 【答案】(1)全称量词命题，其否定是：，与3的和等于0 (2)存在量词命题，其否定为: ， 【分析】先判断是全称还是特称命题，再利用“改量词否结论”直接求解. 【详解】（1）命题：，与3的和不等于0，是全称量词命题， 其否定是：，与3的和等于0， （2）命题: ，，为存在量词命题， 其否定为: ，. 10．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分类讨论和，根据条件列出不等式组求解m的取值范围； （2）将条件转化为，进而求出m的取值范围. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，解得. 综上，实数m的取值范围为 （2）由题意，所以即， 此时. 为使，需有，即. 故实数m的取值范围为 ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$