云南红河州2025-2026学年高二下学期期末学业水平质量检测数学试卷

**基本信息** 红河州2027届高二下学期期末数学试卷，聚焦学业水平检测，通过函数、几何、统计等模块综合考查，体现用数学眼光观察现实（如读书节排列、成绩统计）、数学思维分析问题（如导数单调性、立体几何证明）、数学语言表达规律（如双曲线存在性问题）的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题|集合、二项式定理、三角函数等|基础巩固，梯度合理| |多选|3题|等比数列、圆与抛物线、正方体几何|能力提升，多选项区分度| |填空|4题|向量、等差数列、函数不动点|创新应用，如“不动点”新定义| |解答题|5题|统计（频率分布直方图）、立体几何（线线垂直、夹角）、导数（单调性、恒成立）、双曲线（轨迹、定点）|综合应用，统计结合分布列，导数与不等式融合，贴近高考命题趋势|

红河州2027届高二下学期期末学业水平质量检测 数学参考答案及评分参考 评分说明： 1．本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数，单项选择题不给中间分。 一、单项选择题（本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D 【解析】． 故选D． 2．【答案】B 【解析】联立，解得或， 即，故的元素个数为． 故选B． 3．【答案】A 【解析】在的展开式中， 通项， 令，得，所以的系数为． 故选A． 4．【答案】C 【解析】因为， 又，解得， 所以． 故选C． 5．【答案】B 【解析】如图， 设圆台的上底面半径为，高为，母线长为， 由题可知，下底面半径，， 又由圆台的侧面积公式：， 解得， 则， 故圆台的体积． 故选B． 6．【答案】C 【解析】第一步：将甲、乙全排列有种不同的排法； 第二步：将甲、乙看成一个整体再与丙、丁全排列有种不同的排法； 由分步计数原理得，共有种不同的排法． 故选C． 7．【答案】B 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以且， 又结合，可知， 所以周期为， 故， 由得， 故． 故选B． 8．【答案】D 【解析】因为可化为，即， 即， 所以是由对称中心为的椭圆向右平移个单位得到的， 故的对称中心是． 故选D． 二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9．【答案】ABD 【解析】 对于A，由题得，则， 解得或（舍去），故A正确； 对于B，由A选项可知，又， 解得，则，故B正确； 对于C，由B选项可知，得，， 故，故C错误； 对于D，因为，，则， 所以是与的等差中项，故D正确． 故选ABD． 10．【答案】AC 【解析】 对于A，由圆：可知圆的圆心坐标为，故A正确； 对于B，当时，圆：，又抛物线的焦点为， 由，可知抛物线的焦点不在圆上，故B错误； 对于C，当时，圆：，圆：， 作差可得：圆和圆的公共弦所在直线方程为，故C正确； 对于D，当时，如图， 设圆半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切， 所以则又， 故的轨迹不是双曲线，故D错误． 故选AC． 11．【答案】BCD 【解析】如图， 对于A，由可知，平面截此正方体所得的截面为四边形， 故A错误； 对于B，由，，可知平面平面， 又平面，则平面，又平面， 且平面平面，则， 所以即为的轨迹，故B正确； 对于C，由B选项可知为点的轨迹，又因为， 则，所以三棱锥体积为定值，故C正确； 对于D，由平面，得， 所以，则若使取最小值只需取最小值， 又因为当时，取最小值，故此时点为所求． 设，则， 由的面积， 解得，则， 又，则是线段的一个五等分点，故D正确． 故选BCD． 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分． 12．【答案】 【解析】由，得，解得． 13．【答案】 【解析】由题知，． 因为，所以，则， 又因为当为奇数时，；当为偶数时，， 令，此时，，，， 则数列的前项和为． 14．【答案】 【解析】由，，得． 由是函数的不动点，得，即， 所以，． 令，， 则，令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又，，， 所以， 故． 由，得， 又，故整数的值是． 四、解答题：本题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 【解析】 （1）依题意，不低于分的人数为， 所以这名学生中数学成绩为优秀的人数为； ……3分 （2）由频率分布直方图知前组的频率之和为， 所以这名学生的数学成绩的上四分位数（即分位数）为分； （注：直接写出结果也给满分） ……6分 （3）由频率分布直方图知数学成绩在内的有人， 数学成绩在内的有人， 故采取分层抽样的方法从数学成绩在内的学生中抽取的名， 数学成绩在内的有人，在内的有人， 由题可知，， 所以的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为 故． ……13分 16．（本小题满分15分） 【解析】 （1）连接， 因为分别为的中点，所以， 因为底面是正方形，所以， 所以， 因为底面，底面， 所以， 又平面，且， 所以平面， 又平面， 所以； ……6分 （2）以为原点，所在直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 因为平面， 所以是平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为． ……15分 17．（本小题满分15分） 【解析】 （1）因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以，即，， 因为，所以， 得，即； ……5分 （2）由正弦定理得，（是的外接圆的半径） 解得， 所以的外接圆的面积为； ……9分 （3）由余弦定理得， 解得或（舍去）， 因为为的中点，则， 所以， 即， 则，故的长为． ……15分 18．（本小题满分17分） 【解析】 （1）当时，， 因为，所以切点为， 又斜率， 故切线方程为：， 即； ……4分 （2），的定义域为， 当时，，，所以在上单调递增， 当时， 时，，，所以在上单调递减， 时，，，所以在上单调递增； ……10分 （3）由题可知在上恒成立， 即在上恒成立， 则有在上恒成立， 令，由可得在上单调递增， 故可化为，即， 解得， 故取值范围为． ……17分 19．（本小题满分17分） 【解析】 （1）由双曲线：经过点，， 得，解得， 所以曲线的方程为； ……3分 （2）（i）设直线的方程为：，联立， 整理得， 因为直线与双曲线的右支相交于两点，设，， 所以，解得或， 故斜率的取值范围为； ……9分 （ii）由轴平分可知， 由（i）可得， 又，， 则，， 假设在轴上存在定点，则， 因为，即， 展开可得， 即， 因为或，所以， 即， 即， 即， 即，得， 所以轴上存在定点符合条件，且． ……17分 数学答案·第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 红河州2027届高二下学期期末学业水平质量检测 数学试卷 本试卷共页，共题，全卷满分分，考试用时分钟。 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． A． B． C． D． 2．设集合，，则的元素个数是 A． B． C． D． 3．的展开式中的系数为 A． B． C． D． 4．已知，，则 A． B． C． D． 5．已知圆台的下底面半径是上底面半径的倍，侧面积为，母线长为，则圆台的体积为 A． B． C． D． 6．某学校读书节活动中，甲、乙、丙、丁位同学获奖．现将人排成一排照相，则甲、乙两人相邻的不同排法有 A．种 B．种 C．种 D．种 7．若是定义在上的奇函数，且，则 A． B． C． D． 8．曲线：的对称中心是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9．已知正项等比数列的公比为，是其前项和，若，且，则下列说法正确的是 A． B． C． D．是与的等差中项 10．已知圆：，圆：，则下列说法正确的是 A．圆的圆心坐标为 B．当时，抛物线的焦点在圆上 C．当时，圆和圆相交的公共弦所在直线方程为 D．当时，若动圆与圆外切，与圆内切，则圆心的轨迹为双曲线的一支 11．正方体中，分别为棱的中点，为平面上一点，且平面，则下列说法正确的是 A．平面截此正方体所得的截面为五边形 B．的轨迹为线段 C．三棱锥的体积为定值 D．线段取最小值时，是线段的一个五等分点 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分． 12．已知向量，，且，则实数的值是________． 13．已知公差为的等差数列满足，则数列的前项和是________． 14．对于函数，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点，简称不动点．已知函数，若曲线（为自然对数的底数）上存在，使得是的不动点，则整数的值是________． 四、解答题：本题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某中学教师对该校高二年级学生期中考试的数学成绩（总分分）进行统计分析．在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩，将数学成绩分为，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于分为优秀． （1）求这名学生中数学成绩为优秀的人数； （2）求这名学生的数学成绩的上四分位数； （3）在样本中，采取分层抽样的方法从数学成绩在内的学生中抽取名，再从这名学生中随机抽取名，记这名学生中数学成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望． 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别为的中点，． （1）求证：； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值． 17. （本小题满分15分） 在中，角的对边分别为，且满足． （1）求； （2）若， （i）求的外接圆的面积； （ii）设，且为的中点，求的长． 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）若，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知双曲线：经过点，． （1）求的方程； （2）过点且斜率为的直线与的右支相交于两点， （i）求斜率的取值范围； （ii）在轴上是否存在定点，使得无论绕怎样旋转，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由． 数学试卷·第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $