精品解析：云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期数学期末市统测模拟试卷一

云南师大附中2027届高二下学期数学期末市统测模拟试卷一 一、单选题 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 设，复平面内表示复数的点在直线上，则（ ） A. B. C. D. 3. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 4. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 5. 已知函数的一条对称轴为，且在区间上值域为，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，边长为，是边上的一点，，以为圆心，为半径画弧交于点，是弧上（包括边界点）任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设是双曲线的右焦点，双曲线两渐近线分别为，，过点作直线的垂线，分别交，于，两点，若，两点均在轴上方且，，则双曲线的离心率为 A. B. 2 C. D. 8. 三棱锥 的所有棱长均为2，O是的中心，在三棱锥 内放置一个以直线 为轴的圆柱，则圆柱的体积不能超过（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C. 样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D. 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 10. 如图，某池塘里的浮萍面积（单位：）与时间（单位：月）的关系式为且， ．则下列说法正确的是（ ） A. 浮萍每月增加的面积都相等 B. 第6个月时，浮萍的面积会超过 C. 浮萍面积从蔓延到只需经过5个月 D. 若浮萍面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则 11. 数字按如图形式随机排列，设第一行的数为，第二､三行中的最大数分别为，第二､三行中的最小数分别为，则（ ） A. 排列总数为720个 B. 的概率为 C. 满足的排列有120个 D. 的概率为 三、填空题 12. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______． 13. 已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则________ 14. 在四棱锥中，，且，，若该四棱锥存在半径为1的内切球，则_______. 四、解答题 15. 随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计，具体数据见下表： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 年销售量/十万辆 3 4 5 6 7 9 10 12 广告费投入/亿元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 （1）求广告费投入y（亿元）与年销售量x（十万辆）之间的线性回归方程（精确到0.01）； （2）若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.6；如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8，求这个人购买的是新能源汽车的概率. 参考数据：，. 附：回归直线中，，. 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． （1）若，求c的值； （2）求面积的最小值． 17. 如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，． （1）证明：； （2）求异面直线EF与BC所成角； （3）已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 18. 设函数，其中. （Ⅰ）若，讨论的单调性； （Ⅱ）若， （i）证明恰有两个零点 （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明. 19. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，过作于，线段交椭圆于点；过作，交椭圆于点. （1）设直线、的斜率分别为、，求的值； （2）求证：直线过定点； （3）设线段的垂直平分线交椭圆于、两点，若，求直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中2027届高二下学期数学期末市统测模拟试卷一 一、单选题 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断. 【详解】因为“”的否定是“”. 故选：C. 2. 设，复平面内表示复数的点在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数在复平面内的坐标表示，结合已知直线方程求出的值，进而得到复数 . 【详解】复数对应的点的坐标为， 因为该点在直线上，所以， 解得，则. 故选：B. 3. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C. 【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确； 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C. 【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于. 4. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 5. 已知函数的一条对称轴为，且在区间上值域为，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式以及二倍角的余弦公式化简计算得函数，利用整体法，代入对称轴计算得的值，然后利用整体法分析函数的值域，列关于的不等式计算即可得答案. 【详解】， ， ， ，因为函数的一条对称轴为， 所以，即， 又因为，所以，所以， 当时，， 因为函数在区间 上值域为， 所以，解得， 所以实数的最大值为. 故选：D 6. 如图，在正方形中，边长为，是边上的一点，，以为圆心，为半径画弧交于点，是弧上（包括边界点）任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量投影的概念把求的取值范围转化为求的取值范围. 【详解】过作 于点H，因为，，所以 ， ， 因为是弧上（包括边界点）任一点，所以, 又因为， 所以 ， 所以当点与点重合时，此时，最小，且最小为 ，所以，且最大为； 当点与点重合时，此时点与点重合，最大，且最大为 ，所以最小为， 所以的取值范围是. 故选：B. 7. 设是双曲线的右焦点，双曲线两渐近线分别为，，过点作直线的垂线，分别交，于，两点，若，两点均在轴上方且，，则双曲线的离心率为 A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：如下图所示， 从而可知，∴， 即，∴，故选C. 考点：双曲线的标准方程及其性质. 【名师点睛】1.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于，的齐次式，进而求解；2.要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征. 8. 三棱锥 的所有棱长均为2，O是的中心，在三棱锥 内放置一个以直线 为轴的圆柱，则圆柱的体积不能超过（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画图，求出各边长，设，结合三角形相似和柱体体积公式得到圆柱体积，，求导，得到其单调性，求出最值. 【详解】如图所示，圆柱的上底面内切于，分别为的中点， 则三点共线，三点共线， 因为三棱锥 的所有棱长均为， 所以，， 又O是的中心，故， 由勾股定理得， 其中∽，故， 设，则，故， 其中， 所以圆柱的体积，其中， 则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，圆柱的体积取得极大值，也是最大值， 最大值为， 故圆柱的体积不能超过. 故选：A. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C. 样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D. 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 【答案】BD 【解析】 【分析】应用线性相关系数、残差图与独立性检验的知识，决定系数一一检验即可. 【详解】利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，因此A错误； 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，因此B正确； 线性相关系数的范围在 到之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，因此C选项错误； 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，D选项正确； 故选：BD. 10. 如图，某池塘里的浮萍面积（单位：）与时间（单位：月）的关系式为且， ．则下列说法正确的是（ ） A. 浮萍每月增加的面积都相等 B. 第6个月时，浮萍的面积会超过 C. 浮萍面积从蔓延到只需经过5个月 D. 若浮萍面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意结合函数图象可得，进而可得；由函数图象的类型可判断A；代入可判断B；代入、可判断C；代入 、 、，结合对数的运算法则即可得判断D；即可得解. 【详解】由题意可知，函数过点 和点，则， 解得（负值舍去）， 函数关系式为， 对于A，由函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A错误； 对于B，当时，，故选项B正确； 对于C，令得 ；令得，所以浮萍面积从增加到需要5个月，故选项C正确； 对于D，令 得；令 得；令得； 所以，故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了函数解析式的确定及函数模型的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于基础题. 11. 数字按如图形式随机排列，设第一行的数为，第二､三行中的最大数分别为，第二､三行中的最小数分别为，则（ ） A. 排列总数为720个 B. 的概率为 C. 满足的排列有120个 D. 的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用全排列公式得到A正确；B选项，先求出的概率，利用对立事件求概率公式得到B正确；C选项，先得到，先从中随机选出2个数放在第三行并排序，再将剩下3个数中最大的数放第二行中的一个，并将剩余两个数进行排列，求出满足的排列个数，C错误；D选项，先得到的情况，分和 两种情况，进而得到. 【详解】A选项，1，2，3，4，5，6的任意排列方法总数为个，所以A正确； B选项，先得到的概率，即从1，2，3，4中随机选出2个数放在第二行， 其余任意排列，共有种不同的方法， 则，所以B正确； C选项，若，则， 先从中随机选出2个数放在第三行并排序，共有种不同的方法， 再将剩下3个数中最大的数放第二行中的一个，并将剩余两个数进行排列， 共有种不同的方法， 则满足的排列有个，所以C错误； D选项，若， 当时，则第三行为 ，第一行和第二行的数分别为 ，此时满足， 将两者均进行全排列，共有种不同的情况； 当 时，则，则第二行为1，2，并可以进行全排列， 此时满足共有种不同的情况； 所以，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______． 【答案】60 【解析】 【分析】先利用正态分布对称性求出的值，然后利用二项展开式求出常数项即可. 【详解】由随机变量，正态分布关于均值对称， 因为， 所以和关于2对称， 所以， 所以二项式为：， 又二项展开式的通项为：， 令解得：， 所以二项展开式中常数项为：， 故答案为：60. 13. 已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则________ 【答案】2 【解析】 【详解】由，若对于任意的第项等于的第项， 则，则 所以， 所以. 14. 在四棱锥中，，且，，若该四棱锥存在半径为1的内切球，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】如图,截取一个正四棱锥，结合已知得到，同时可证得 平面，设，四棱锥的体积可转化为，因为四棱锥存在半径为1的内切球，可得，联立得到的关系式，化简计算即可. 【详解】如图，，且， 可以在四棱锥上截取一个正四棱锥， 此时四边形为正方形，且边长为， ， ，， 设， ，且 ， ，，O为BD中点， ，， 又， 平面， ，，， 又因为四棱锥存在半径为1的内切球， ， 即， 即， ，解得， 因为四棱锥存在半径为1的内切球，直径为2，， 而，故， 故答案为： 四、解答题 15. 随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计，具体数据见下表： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 年销售量/十万辆 3 4 5 6 7 9 10 12 广告费投入/亿元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 （1）求广告费投入y（亿元）与年销售量x（十万辆）之间的线性回归方程（精确到0.01）； （2）若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.6；如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8，求这个人购买的是新能源汽车的概率. 参考数据：，. 附：回归直线中，，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数据求得回归方程系数，即可求解； （2）由全概率公式即可求解； 【小问1详解】 ，， 由参考数据 所以 故广告费投入y关于年销售量x的回归方程为. 【小问2详解】 设“在甲汽车店购买汽车”，“在乙汽车店购买汽车”， “购买的是新能源汽车”， ，，， 由全概率公式得，. 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． （1）若，求c的值； （2）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）72 【解析】 【分析】（1）由结合，求得，进而求得，结合，得解； （2）由正弦定理结合条件式可得，进而得，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 由， 则，又， 所以， 化简整理得，解得或， 又为钝角，故为锐角，所以，则， 由，解得， . 【小问2详解】 因为， 又，则，所以， 所以的面积 ， 又为锐角，所以，， ， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的面积的最小值为72. 17. 如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，． （1）证明：； （2）求异面直线EF与BC所成角； （3）已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 【答案】（1） 证明：在圆台中，由为该圆台的母线，得的延长线交于一点， 所以四点共面， 而平面平面，平面平面，平面平面， 所以.； （2）； （3）1. 【解析】 【分析】（1）利用圆台的结构特征，结合面面平行的性质推理得证. （2）根据给定条件证得，再以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积求得异面直线夹角. （3）求出平面 与平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由直线为圆台的轴，得的延长线交于一点， 由（1）同理得，由，得， 则，而，因此，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， ，则，即， 所以异面直线EF与BC所成角为. 【小问3详解】 由（2）得， 设平面 与平面的法向量分别为， 则，取 ，得， ，取，得， 由二面角的余弦值为， 得， 所以，所以圆台的高的长为1. 18. 设函数，其中. （Ⅰ）若，讨论的单调性； （Ⅱ）若， （i）证明恰有两个零点 （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明. 【答案】（I）在 内单调递增.； （II）（i）见解析；（ii）见解析. 【解析】 【分析】（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果； （II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果； （ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果. 【详解】（I）解：由已知，的定义域为 ， 且， 因此当时，，从而 ， 所以在 内单调递增. （II）证明：（i）由（I）知，， 令，由，可知在 内单调递减， 又，且， 故在 内有唯一解， 从而在 内有唯一解，不妨设为， 则，当时，， 所以在内单调递增； 当时，， 所以在内单调递减， 因此是的唯一极值点. 令，则当时，，故在 内单调递减， 从而当时，，所以 ， 从而， 又因为，所以在内有唯一零点， 又在内有唯一零点1，从而，在 内恰有两个零点. （ii）由题意，，即， 从而，即， 因为当时， ，又，故， 两边取对数，得， 于是，整理得， 【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力. 19. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，过作于，线段交椭圆于点；过作，交椭圆于点. （1）设直线、的斜率分别为、，求的值； （2）求证：直线过定点； （3）设线段的垂直平分线交椭圆于、两点，若，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设点，则，根据已知条件得出，可得出，结合斜率公式可求出的值； （2）设点、，设直线的方程为，设直线的方程为，则直线的方程为，分析可得，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，代入化简可求出的值，即可得出直线所过定点的坐标； （3）设线段的中点为，设直线的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出，进而可得出，可得出四点、、、共圆，由此得出，结合可得出的值，即为所求. 【小问1详解】 因为，则，故点的轨迹方程为， 设点，则，易知点、， 因为，，所以， 所以 . 【小问2详解】 设点、，设直线的方程为， 设直线的方程为，则， 则直线的方程为，则， 易知，则， 由得， 可得， 即①， 联立得， 由韦达定理可得，， 代入①式得，即， 解得（舍去）或，即直线的方程为， 故直线过定点. 【小问3详解】 易知直线、的斜率都存在，设线段的中点为， 设直线的方程为，设直线的方程为， 联立得， 由韦达定理可得，， 则 ， 同理可得， 因为为线段的中垂线，且，记， 在中，，所以， 所以四点、、、共圆，且， 则，化简得， 又因为，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $