精品解析：云南省石屏县第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年高二下学期期末考试 数学试卷 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对于 ， 两变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数 （如下），则线性相关性最强的是（ ） A. －0.82 B. 0.78 C. －0.69 D. 0.87 3. 已知的方差为2，则的方差为（ ） A. 12 B. 18 C. 19 D. 36 4. 某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆交于 、 两点，则 （为圆的圆心）面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 在等比数列中，，，则的值为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 7. 已知（），则（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前 项和为，且，则的值为（ ） A. 300 B. C. 210 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数 满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 复数 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 的共轭复数为 10. 已知数列是等差数列，是等比数列，.（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 的极小值为 C. 在上单调递减 D. 函数 无零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知,则__________. 13. 直线与抛物线相交于 两点，则_________． 14. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_____． 四、解答题 15. 已知等差数列的前 项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 项和. 16. 为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是． （1）求比赛结束时恰好打了6局的概率； （2）若甲以的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列． 17. 在四棱锥中，底面 是正方形，若． （1）证明：平面平面 ； （2）求二面角的平面角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若直线交于 两点，且，求直线的方程． 19. 已知圆（为常数）． （1）当时，求直线被圆截得的弦长． （2）证明：圆经过两个定点． （3）设圆经过的两个定点为， ，若，且，求圆的标准方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二下学期期末考试 数学试卷 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】由题可得，，则. 故选:A. 2. 对于 ， 两变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数 （如下），则线性相关性最强的是（ ） A. －0.82 B. 0.78 C. －0.69 D. 0.87 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关系数与变量间相关性的关系，即可得答案. 【详解】由相关系数的绝对值越大，变量间的线性相关性越强知：各选项中的绝对值最大. 故选：D 3. 已知的方差为2，则的方差为（ ） A. 12 B. 18 C. 19 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的性质可求新数据的方差，故可得正确的选项. 【详解】因为的方差为2，故为， 故选：B. 4. 某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案. 【详解】这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为. 故选：A 5. 已知圆与圆交于 、 两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆的半径，从而可得，因为为锐角，所以要使的面积最大，只要取得最大值即可，此时，解出的面积，即可得解. 【详解】由题意得：，所以圆心，半径， 由两圆相交于 、 两点可知：， 所以的面积， 因为 是半径为 的圆，所以， 当时，， 又， 此时由，解得，，故可以取最大值 ， 所以当时，最大，且是锐角， 根据函数的单调性可知：当时，最大， 在中由余弦定理可得：， 所以，所以， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式表示面积之后，关键点在于利用圆的几何性质寻找的最大值，从而确定面积的的最大值. 6. 在等比数列中，，，则的值为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为q， 则，因为， 所以，解得， 所以. 故选：B 7. 已知（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方关系求出，即可求出、，再由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得（舍去）或， 所以，则， 则. 故选：A 8. 已知数列的前 项和为，且，则的值为（ ） A. 300 B. C. 210 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系得的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列，再利用分组转化求和以及等差数列的求和公式求解即可. 【详解】若 为奇数，则是偶数，是奇数， 则 ， ① ， ② ①②得：， 所以的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列； 所以 . 故选:A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数 满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 复数 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 的共轭复数为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数模、几何意义，以及共轭复数的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由复数，所以，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，复数在复平面内对应的点为位于第一象限，所以C正确； 对于D中，由复数的共轨复数为，所以D错误． 故选：AC． 10. 已知数列是等差数列，是等比数列，.（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列、利用等差数列的性质判断即可. 【详解】设等差数列的公差为 ， 当时，，故A正确； 当公差时，是常数列，，但与不一定相等，故B不正确； 设等比数列的公比为， 若“”，则，故C正确； 当公比 时，是常数列，，但与不一定相等，故D不正确. 故选：AC. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 的极小值为 C. 在上单调递减 D. 函数 无零点 【答案】BD 【解析】 【分析】由题得出，求得，令 得出极值点，极值，单调区间即可得出判断． 【详解】 定义域为， ，令 ，得 或（舍去）， 当时， ，所以 在 上单调递减， 当时， ，所以 在 上单调递增， 所以 是 的极小值点，极小值为，故B正确，A错误，C错误； ，即函数 无零点，故D正确； 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知,则__________. 【答案】 【解析】 【分析】对两边分别求导,再利用赋值法令 即可求解. 【详解】对两边分别求导得: , 令 得:. 故答案为:. 13. 直线与抛物线相交于 两点，则_________． 【答案】0 【解析】 【分析】联立直线方程和抛物线方程利用设出 ， 的坐标，利用根与系数之间的关系，利用数量积的坐标公式计算的大小． 【详解】解：设，，则， 由，解得或， 所以，， 所以． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，将直线和抛物线方程联立，利用消元法将方程转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系进行整体代换． 14. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由正四棱锥外接球的球心在正四棱锥的高上，可求出球的半径，可得球的表面积. 【详解】解：如图， 由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的球心为 ,半径为，正四棱锥底面中心为 ,则 垂直棱锥底面，且,, 在中，,可得：,可得, 可得该球的表面积为：, 故答案为：. 【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题及球的表面积，考查计算能力，是基础题. 四、解答题 15. 已知等差数列的前 项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出等差数列的首项和公差，从而求得. （2）利用错位相减求和法求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为 ， 依题意，， ，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 ， 两式相减得 ， 所以. 16. 为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是． （1）求比赛结束时恰好打了6局的概率； （2）若甲以的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列． 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）比赛恰好打了6局的情况有两种：甲胜或乙胜，即可求解； （2）分析可知X的可能取值为2，3，4，5，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列. 【小问1详解】 比赛结束时， 恰好打了6局，甲获胜的概率为， 恰好打了6局，乙获胜的概率为， 所以比赛结束时恰好打了6局的概率为； 【小问2详解】 X的可能取值为2，3，4，5， ， ， ， ， 所以X的分布列如下： 2 3 4 5 17. 在四棱锥中，底面 是正方形，若． （1）证明：平面平面 ； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取 的中点为 ，连接. 因为，，则 ， 而，故. 在正方形 中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面 ， 因为平面，故平面平面 . （2）. 【解析】 【分析】（1）取 的中点为 ，连接，可证平面 ，从而得到面面 . （2）在平面 内，过 作，交 于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）在平面 内，过 作，交 于，则， 结合（1）中的平面 ，故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量， 则即，取 ，则， 故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若直线交于 两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线定义可得，即可求得的方程为； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理由弦长公式计算即可求得，可得直线的方程. 【小问1详解】 根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为； 【小问2详解】 如下图所示： 依题意设， 联立与的方程， 消去 整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得，满足，符合题意； 所以直线的方程为. 19. 已知圆（为常数）． （1）当时，求直线被圆截得的弦长． （2）证明：圆经过两个定点． （3）设圆经过的两个定点为， ，若，且，求圆的标准方程． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时利用配方求出圆的圆心、半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 ，再由可得答案； （2）由令与联立解方程组可得答案； （3）（方法一）设的中点为 ，由得求出可得答案．（方法二）由利用两点间的距离公式求出可得答案． 【小问1详解】 当时，圆， 此时，圆的圆心为，半径． 则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长 为； 【小问2详解】 由，得， 令，因为为常数 所以得，由 解得或， 所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为； 【小问3详解】 （方法一）设的中点为 ， 不妨设，则点 的坐标为． 因为，所以， 所以， 解得， 所以圆的标准方程为． （方法二）不妨设，因为， 所以， 解得， 所以圆的标准方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $