2025-2026学年苏科版八年级下学期数学期末综合测试卷

**基本信息** 2025-2026学年苏科版八年级下数学期末卷，覆盖统计概率、代数变形、几何性质等核心知识，融入航天热点（第23题）与折叠实践（第24题），通过数据分析（第20、21题）和问题解决（第7、23题），体现数学眼光观察现实、思维分析问题、语言表达规律的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|全面调查判断、概率计算、因式分解、二次根式意义|基础概念辨析，如第1题结合生活场景考调查方式| |填空题|6题/18分|分式意义、样本容量、频数计算、因式分解（热门定理）|第14题引入数学史素材，渗透创新方法| |解答题|8题/52分|因式分解、分式方程、代数式化简求值、统计图表分析、平行四边形证明、航天利润问题、折叠实践操作|第23题以航天模型为背景，融合方程与不等式，体现模型意识；第24题折叠操作探究，培养空间观念与推理能力|

2025-2026学年苏科版八年级下数学期末综合测试卷 【新教材苏科版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列调查中，适宜用全面调查的是（     ） A．了解某城市的空气质量状况 B．了解某班学生的视力状况 C．了解某种水果的甜度情况 D．了解某批次汽车的抗撞击能力情况 【答案】B 【分析】根据调查对象的范围，调查是否具有破坏性，判断是否符合全面调查的要求，全面调查适合调查范围小，无破坏性，易操作的调查． 【详解】A、调查某城市空气质量范围较大，适合抽样调查，不符合要求； B、一个班级的学生数量少，便于对每位学生的视力情况进行调查，适宜用全面调查，符合要求； C、检测水果甜度具有破坏性，且调查对象数量多，适合抽样调查，不符合要求； D、检测汽车抗撞击能力具有破坏性，适合抽样调查，不符合要求． 2．下列说法中，正确的是（     ） A．经过红绿灯路口时，遇到绿灯概率为（红、黄、绿亮灯时间不等） B．连续掷同一枚硬币，前九次都是国徽面朝上，掷第十次国徽面朝上的概率是 C．班里的两名同学，他们的生日是同一天是不可能事件 D．对某批汽车的抗撞击能力调查适用全面调查 【答案】B 【分析】根据概率计算，事件分类和调查方式选择的相关概念逐一判断选项即可． 【详解】解：选项：红、黄、绿三种灯的亮灯时间不相等，三种灯出现的可能性不相等，遇到绿灯的概率不是，错误； 选项：抛掷硬币每次试验相互独立，国徽面朝上的概率始终为，故第十次抛掷国徽面朝上的概率仍为，正确； 选项：两名同学生日在同一天是可能发生的事件，该事件是随机事件，不是不可能事件，错误； 选项：调查汽车抗撞击能力具有破坏性，故该调查适用抽样调查，不适用全面调查，错误． 3．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是把多项式变形为几个整式乘积的形式，需满足左为多项式，右为几个整式的乘积，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、左边是乘积形式，右边是多项式，变形属于整式乘法，不符合因式分解要求； B、左边是多项式，右边是整式的乘积形式，变形正确，符合因式分解的定义； C、右边是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合定义； D、不是整式，因此右边不是几个整式的乘积，不符合定义． 4．下列各式，化简后能与合并的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把选项中的二次根式化简后，与是同类二次根式，即可合并． 【详解】解：，与不能合并，故选项A不符合题意； ，与能合并，故选项B符合题意； ，与不能合并，故选项C不符合题意； 与不能合并，故选项D不符合题意． 5．已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，交于点G，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质，三角形的内角和，逐个分析判断即可． 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴，，， ∴，，， ∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴， ∴，，， ∴，，，故A正确， ∴，故B正确， ， ∴，故D正确， 从已知条件，无法证明，故C错误． 6．若二次根式有意义，则正整数的值是（   ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件求的取值范围，再取正整数解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，解得， ∵为正整数， ∴． 7．小王乘公共汽车从甲地到相距60千米的乙地办事，然后乘出租车原路返回，出租车的平均速度是公共汽车的1.5倍，回来时路上所花时间比去时节省了半小时，设公共汽车的平均速度为千米/时，则下面列出的方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据路程、速度、时间的关系，分别表示出去程和回程的用时，再根据题目给出的时间差等量关系列方程即可． 【详解】解：设公共汽车的平均速度为千米/时，则出租车的平均速度为千米/时， 根据题意，得． 8．在平行四边形形状的花坛中，对角线，相交于点O，园艺师在边的中点E处安装喷灌设备，连接．已知花坛边长，则喷灌设备到中心O的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得出，再由三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴． 9．若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（     ） A．扩大倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，将和都替换为、，化简新分式后与原分式比较，即可得到结果． 【详解】解：∵把分式中和都扩大倍， ∴， ∴分式的值缩小到原来的． 10．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G．连结、．下列结论：①；②；③；④的面积为75．其中结论正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正方形性质和折叠性质可得，，利用HL证明，得出，设，在中利用勾股定理求出的值，从而判断的长及与的关系，利用等腰三角形性质和外角性质证明，从而判断平行；利用三角形面积公式及等高模型计算的面积． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵， ∴，． 由折叠可知：， ，． ∴． 在和中， ， ∴， 故①正确； ∴． 设，则， ， ． 在中，， 即， 解得， ∴， 故②正确； ∴， ∴ ． ∵， ∴． ∵． 又∵ ， ∴， ∴． ∴，即． ∴，故③正确； ∵， 且在上，，， ∴ ． 故④错误． 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若分式有意义，则需要满足的条件是__________． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：分式有意义， 分母， 即， ∴． 12．为了解某中学1500名学生的视力情况，从中随机抽取了200名学生进行调查．在此次调查中，样本容量是______． 【答案】 【分析】利用总体、个体、样本、样本容量的定义求解，样本容量是样本中包含的个体的数目，即可得到结果． 【详解】解：本次调查的考查对象是该中学名学生的视力情况，总体是该中学名学生的视力情况，样本是被抽取的名学生的视力情况，样本容量是样本中个体的数目即，因此样本容量为． 13．一个样本共有20个数据，分别落在4个组内．如果数据落在第一、二、三组的频数分别是3，6，7，那么数据落在第四组的频数为______． 【答案】 【分析】所有组的频数之和等于样本容量，用样本容量减去已知前三组的频数，即可求出第四组的频数． 【详解】解：已知样本容量为，第一、二、三组的频数分别为，，，因此第四组的频数为． 14．阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲热门是世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即：．人们为了纪念苏菲热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”请你依照苏菲热门的做法，对下列多项式进行因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用完全平方公式和平方差公式． 原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 15．已知，则______；______． 【答案】 【分析】先对等式右边通分，再根据分式相等时分母相同则分子相等，对应系数相等列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 解得． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，，，点E在边上．将沿折叠，点C的对应点F落在y轴上．若A，E，F三点共线，则点E的坐标为_____________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，，，，结合，，三点共线得出，证明得，由勾股定理求出，进而可得、、的值，再由求出，然后由勾股定理求出，进而得出点、、的坐标． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可知，， ，，，， ，，三点共线， ， 四边形是矩形， ，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴点E的横坐标为， ∴点的坐标为． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： . 18．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以得，， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． （2）解：， 方程两边同乘得，， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 19．先化简，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】先利用分式的混合运算法则化简，然后再从1，2，3中选择一个分式有意义的的值代入求值即可． 【详解】解： ； ∵分母不能为0， ， ∴当时，原式． 20．某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898 优等品的频率（精确到0.001） 0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 ______ (1)填写完成表格中的空格； (2)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)小明买这批次的乒乓球20个，小明说20个球中一定会有一个次等品，你同意小明的说法吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)不同意小明的说法，理由：概率是大量重复试验下的频率稳定值，只能说明单个乒乓球是优等品的概率约为、是次品的概率约为，买20个是随机事件，有可能全部都是优等品，不一定会出现次品． 【分析】（1）根据优等品的频率计算即可； （2）根据表中优等品的频率判定即可； （3）根据频率的定义即可判断； 【详解】（1）解：； （2）解：从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是； （3）略 21．为呵护学生身心健康，某校开展“规律作息，健康成长”科普宣传活动，引导学生养成早睡早起的良好作息习惯．为调查本校学生平日夜间睡眠时长，校团委随机抽取了部分学生开展问卷调查，将学生夜间睡眠时长（单位：小时）分为四组，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题： 学生夜间睡眠时长统计表 组别 睡眠时间 人数 A组 B组 C组 D组 学生夜间睡眠时长频数分布直方图 学生夜间睡眠时长扇形统计图 (1)本次抽样调查共抽取了____名学生；扇形统计图中D组对应的圆心角度数为____； (2)补全频数分布直方图； (3)健康指南建议初中生每晚睡眠不少于小时才算达标，若该校共有名学生，请估计该校睡眠达标的学生有多少人？ 【答案】(1)； (2) (3)（人） 【分析】（1）由B组人数与占比求出抽样总人数，再算出D组占比，乘以得到D组圆心角度数； （2）总人数减去A、B、D三组人数求出，补全频数分布直方图； （3）用样本中D组达标人数占抽样总人数的比例，乘以全校总人数900，估计全校达标学生数． 【详解】（1）解：已知B组15人，占比25%， 抽样总人数：（名）； D组有22人，D组占比：， 圆心角度数：． （2）解：， 即C组人数为18人，在频数分布直方图中横坐标7~8区间，纵坐标画高度为18的长方形即可完成补图． （3）解：达标为，即D组，样本达标比例， 全校达标人数： （人）． 22．如图，在中，是它的一条对角线，过点，分别作，，垂足分别为，． (1)若，，，求的周长（结果保留根号）； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)的周长为 (2)证明：四边形是平行四边形， ，且， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【分析】（1）利用平行四边形对边平行且相等的性质，可得，，且，可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得，由勾股定理，可得，由角所对直角边与斜边的关系，可得，再代入周长公式计算平行四边形周长； （2）借助平行四边形对边平行相等推出等角，结合垂直条件证明三角形全等得到一组对边平行且相等，依据判定定理证出四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，，且， ， ， ， 又， ， ， 在中，，， 解得， 在中，，， ， 平行四边形的周长为； （2）略． 23．“七秩问天路，携手探九霄”．今年4月24日是第11个中国航天日，恰逢中国航天事业创建70周年．5月24日23时08分，长征二号F遥二十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，随后将搭载的神舟二十三号载人飞船成功送入预定轨道．航天事业的蓬勃发展，带动了航天模型的热销．某商店计划购进A，B两款航天模型共100个进行销售．相关信息如下： 信息一 每个B款模型的进价比每个A款模型的进价贵20元． 信息二 用400元购进A款模型的数量和用500元购进B款模型的数量相等． 信息三 计划购进B款模型的数量不超过A款模型数量的． 信息四 实际销售时，A，B两款模型的利润率均为40%． （温馨提示：利润率） 请利用以上信息解决下列问题： (1)求A，B两款模型每个的进价分别是多少元． (2)要使销售完这批航天模型后的利润最大，请设计出利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】(1)A款模型每个的进价为80元，B款模型每个的进价为100元 (2)进货方案为购进A款模型60个，B款模型40个，最大利润为3520元 【分析】（1）设A款模型每个的进价为x元，则B款模型每个的进价为元，根据等量关系：用400元购进A款模型的数量和用500元购进B款模型的数量相等，列出分式方程并求解即可； （2）设A款模型购进m个，则B款模型购进个，根据题意中不等关系求出m的取值范围；设销售完这批航天模型后的利润为w元，得到关于m的一次函数，求出函数的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款模型每个的进价为x元，则B款模型每个的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 所以（元）； 答：A款模型每个的进价为80元，B款模型每个的进价为100元； （2）解：设A款模型购进m个，则B款模型购进个， 根据题意得：， 解得， 即； 设销售完这批航天模型后的利润为w元， 则，其中， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，且最大值为（元）， 此时（个）； 答：进货方案为购进A款模型60个，B款模型40个，最大利润为3520元． 24．【实践操作】 第一步：如图1，将正方形纸片沿，分别折叠，然后展平，得到折痕，．折痕，相交于点． 第二步：如图2，将正方形再次折叠，使点的对应点恰好落在上，然后展平，得到折痕（折痕交边于点），与相交于点，连接，． 第三步：如图3，将正方形三次折叠，使点与点重合，然后展平，点为点的对应点，折痕分别与，相交于点，，连接，． 【问题解决】 (1)如图2， 的度数是 ； 请判断四边形的形状，并说明理由； 【探索发现】 (2)如图3，若，求的值． 【答案】(1)； 四边形是菱形．理由如下： 四边形是正方形， ，， 由折叠可知，，． ． ． ， ， ， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由正方形的性质，折叠的性质在中利用三角形内角和即可求出答案；由正方形的性质，折叠的性质得出，且，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，又，一组邻边相等的平行四边形是菱形，就可判断得出答案； （2）作辅助线过点作于点，交于点，由正方形的性质，折叠的性质得出条件证明，全等三角形对应边相等，故，由等角对等边得出的长，最后根据勾股定理求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，，， 由折叠的性质得， 在中，． 略； （2）解：如图，过点作于点，交于点， 则． 四边形是正方形， ，． 四边形为矩形． ． 由折叠，得． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ． ，， ． ． ， ． 在中，由勾股定理，得． ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级下数学期末综合测试卷 【新教材苏科版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列调查中，适宜用全面调查的是（     ） A．了解某城市的空气质量状况 B．了解某班学生的视力状况 C．了解某种水果的甜度情况 D．了解某批次汽车的抗撞击能力情况 2．下列说法中，正确的是（     ） A．经过红绿灯路口时，遇到绿灯概率为（红、黄、绿亮灯时间不等） B．连续掷同一枚硬币，前九次都是国徽面朝上，掷第十次国徽面朝上的概率是 C．班里的两名同学，他们的生日是同一天是不可能事件 D．对某批汽车的抗撞击能力调查适用全面调查 3．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．下列各式，化简后能与合并的是（） A． B． C． D． 5．已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，交于点G，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 6．若二次根式有意义，则正整数的值是（   ） A．1 B．0 C．2 D．3 7．小王乘公共汽车从甲地到相距60千米的乙地办事，然后乘出租车原路返回，出租车的平均速度是公共汽车的1.5倍，回来时路上所花时间比去时节省了半小时，设公共汽车的平均速度为千米/时，则下面列出的方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 8．在平行四边形形状的花坛中，对角线，相交于点O，园艺师在边的中点E处安装喷灌设备，连接．已知花坛边长，则喷灌设备到中心O的距离为（     ） A． B． C． D． 9．若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（     ） A．扩大倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 10．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G．连结、．下列结论：①；②；③；④的面积为75．其中结论正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若分式有意义，则需要满足的条件是__________． 12．为了解某中学1500名学生的视力情况，从中随机抽取了200名学生进行调查．在此次调查中，样本容量是______． 13．一个样本共有20个数据，分别落在4个组内．如果数据落在第一、二、三组的频数分别是3，6，7，那么数据落在第四组的频数为______． 14．阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲热门是世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即：．人们为了纪念苏菲热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”请你依照苏菲热门的做法，对下列多项式进行因式分解：_____． 15．已知，则______；______． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，，，点E在边上．将沿折叠，点C的对应点F落在y轴上．若A，E，F三点共线，则点E的坐标为_____________． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．分解因式： (1)； (2) 18．解方程： (1)． (2)． 19．先化简，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 20．某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898 优等品的频率（精确到0.001） 0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 ______ (1)填写完成表格中的空格； (2)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)小明买这批次的乒乓球20个，小明说20个球中一定会有一个次等品，你同意小明的说法吗？为什么？ 21．为呵护学生身心健康，某校开展“规律作息，健康成长”科普宣传活动，引导学生养成早睡早起的良好作息习惯．为调查本校学生平日夜间睡眠时长，校团委随机抽取了部分学生开展问卷调查，将学生夜间睡眠时长（单位：小时）分为四组，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题： 学生夜间睡眠时长统计表 组别 睡眠时间 人数 A组 B组 C组 D组 学生夜间睡眠时长频数分布直方图 学生夜间睡眠时长扇形统计图 (1)本次抽样调查共抽取了____名学生；扇形统计图中D组对应的圆心角度数为____； (2)补全频数分布直方图； (3)健康指南建议初中生每晚睡眠不少于小时才算达标，若该校共有名学生，请估计该校睡眠达标的学生有多少人？ 22．如图，在中，是它的一条对角线，过点，分别作，，垂足分别为，． (1)若，，，求的周长（结果保留根号）； (2)求证：四边形是平行四边形． 23．“七秩问天路，携手探九霄”．今年4月24日是第11个中国航天日，恰逢中国航天事业创建70周年．5月24日23时08分，长征二号F遥二十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，随后将搭载的神舟二十三号载人飞船成功送入预定轨道．航天事业的蓬勃发展，带动了航天模型的热销．某商店计划购进A，B两款航天模型共100个进行销售．相关信息如下： 信息一 每个B款模型的进价比每个A款模型的进价贵20元． 信息二 用400元购进A款模型的数量和用500元购进B款模型的数量相等． 信息三 计划购进B款模型的数量不超过A款模型数量的． 信息四 实际销售时，A，B两款模型的利润率均为40%． （温馨提示：利润率） 请利用以上信息解决下列问题： (1)求A，B两款模型每个的进价分别是多少元． (2)要使销售完这批航天模型后的利润最大，请设计出利润最大的进货方案，并求出最大利润． 24．【实践操作】 第一步：如图1，将正方形纸片沿，分别折叠，然后展平，得到折痕，．折痕，相交于点． 第二步：如图2，将正方形再次折叠，使点的对应点恰好落在上，然后展平，得到折痕（折痕交边于点），与相交于点，连接，． 第三步：如图3，将正方形三次折叠，使点与点重合，然后展平，点为点的对应点，折痕分别与，相交于点，，连接，． 【问题解决】 (1)如图2， 的度数是 ； 请判断四边形的形状，并说明理由； 【探索发现】 (2)如图3，若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $