内容正文:
第4讲 ☆ 生活中的分段计费
知识导航
知识点梳理
难易度
知识点 1:分段计费问题
知识点精讲
知识点 1:分段计费问题
1. 什么是分段计费?
分段计费是指在实际生活中,某些商品或服务的价格不是单一的固定单价,而是根据使用量(如用电量、用水量、行驶里程、通话时长等)的不同区间,采用不同的收费标准进行计算的方式。
2. 常见应用场景
(1)电力收费:居民阶梯电价(基础电量低价,超出部分高价)。
(2)出租车费:起步价(包含一定里程)+ 超出里程费 + 可能的等候费/远途费。
(3)邮政/快递费:首重费用 + 续重费用。
3. 关键术语
(1)分段点(临界点):收费标准发生变化的数量节点。例如:出租车3千米以内是一个标准,超过3千米是另一个标准,那么“3千米”就是分段点。
(2)基础段:通常指第一段,往往包含“起步价”或“最低消费”。
(3)超额段:超过基础段数量的部分,通常按更高的单价或不同的规则计费。
4. 标准解题四步法
(1)找节点:明确题目中的分段标准是多少(例如:10吨以内、10-20吨、20吨以上)。
(2)判区间:判断题目给出的总数量落在哪个区间,或者跨越了几个区间。
(3)分段算:
① 第一段:按规定的基础费用或第一阶梯单价计算。
② 第二段及以后:用(总数量 - 前一段累计数量)× 对应阶梯单价计算。
(4)求总和:将各段计算出的费用相加,得出总费用。
5. 通用公式模型
假设分为两段计费:
(1)规定量为 ,规定量内单价为 (或固定起步价 )。
(2)超过规定量的部分单价为 。
(3)实际用量为 。
情况一: (未超标)
(或直接等于起步价 ,视题目而定)
情况二: (超标)
注:若是出租车起步价模式,公式调整为:
【典型例题1】下面是某市的出租车的计价收费标准,东东从家乘出租车到距离约8.3千米的博物馆去参观,到达时应付多少车费?
计价收费标准
1千米以内(含1千米)
6元
超过1千米(不足1千米按1千米计算)
1.6元/千米
【答案】18.8元
【分析】根据题意,车费由两部分组成,一部分为1千米以内(含1千米)的费用,也就是起步价,为6元,另一部分是超过1千米的部分,这部分计费标准为每千米1.6元,且不足1千米按1千米计算。先用求出超过1千米的路程,并用“进一法”取整,再根据总价=单价×数量求出超过1千米部分的费用,最后将起步价和超过的费用相加求出应付的车费。
【详解】(千米)
7.3千米≈8千米
应付车费:
(元)
答:到达时应付18.8元车费。
【典型例题2】下表是某城市的水费收费方案。涛涛家六月份用水25吨,需缴水费多少元?
20吨及以内
超出20吨的部分
每吨2.1元
每吨3.6元
【答案】60元
【分析】根据收费方案,用水量分为20吨及以内和超出20吨两部分。涛涛家用水25吨,超过20吨,所以需要分段计算:先计算20吨以内的费用,再计算超出20吨部分的费用,最后将两部分费用相加,即可求出需缴水费多少元。
【详解】20×2.1+(25-20)×3.6
=20×2.1+5×3.6
=42+5×3.6
=42+18
=60(元)
答:需缴水费60元。
【对应练习1】某商场的停车场对新能源汽车的收费进行优惠。前2小时收费2元,超过2小时的部分每0.5小时收费1.5元(不足0.5小时按0.5小时算)。王阿姨家的新能源汽车在该停车场停车4.7小时,需要支付多少停车费?
【答案】11 元
【分析】4.7大于2小时,超过2小时2.7小时,分为两部分支付费用,前2小时一共收费2元,2.7小时按3小时计算,每0.5小时收费1.5元,用3小时除以0.5小时,表示3小时里有6个0.5小时,再用1.5乘6,最后加上前2小时的费用,计算总费用。
【详解】4.7-2=2.7(小时)
按3小时计算
3÷0.5×1.5+2
=6×1.5+2
=9+2
=11(元)
答:需要支付 11 元停车费。
【对应练习2】快递费用:某快递首重1千克内10元,续重每0.5千克加收2元(不足0.5千克按0.5千克计)。寄一件3.2千克的包裹需付多少元?
【答案】20元
【分析】总费用由首重费用和续重费用两部分组成。先计算出超出首重的重量,再根据“不足0.5千克按0.5千克计算”的规则,确定续重部分需要计费的质量,算出续重部分费用,最后把续重费用与首重费用相加即可。
【详解】3.2-1=2.2(千克)
因为不足0.5千克按0.5千克计算,所以
2.2千克≈2.5千克
续重费用:
2.5÷0.5×2
=5×2
=10(元)
总费用:10+10=20(元)
答:寄一件3.2千克的包裹需付20元。
【对应练习3】毕业照将儿童从稚嫩到少年的轮廓变化凝结为具象画面,成为个人成长史中可触摸的时间切片。通过对比不同学段照片,能直观感知身体发育与气质蜕变。六(4)班有56名学生与5位老师合影,定价32.5元(含8张照片),另外每加印一张2.8元,每人一张照片,一共需要多少元钱?
【答案】180.9元
【分析】用56+5=61人,求出需要照片的人数;再用61-8,求出需要加印照片的数量;再根据总价=单价×数量,求出需要加印照片的钱数,再加上定价,即可解答。
【详解】56+5=61(张)
2.8×(61-8)+32.5
=2.8×53+32.5
=148.4+32.5
=180.9(元)
答:一共需要180.9元钱。
巩固提升
一、选择题
1.为促进市民节约用水,某市实行居民生活用水阶段计费制度。每月用水量在11吨及以内的,每吨3.4元;超过11吨的部分,每吨4.45元。王奶奶家上月的用水量是14吨,算式“(14-11)×4.45”解决的问题是( )。
A.上月共付水费多少元 B.上月超过11吨部分的水是多少吨
C.11吨以内的水费是多少元 D.上月超过11吨部分的水费是多少元
【答案】D
【分析】根据阶梯计费规则,用水量14吨分为两部分:11吨及以内和超过11吨的部分。算式“(1411)”计算的是超过11吨的用水量(3吨),乘以单价4.45元/吨,得到的是超过部分的水费金额。
【详解】王奶奶家用水量14吨,其中11吨按每吨3.4元计费,超过部分(1411=3吨)按每吨4.45元计费。算式“(1411)×4.45”先计算超过的用水量(3吨),再乘以超过部分的单价(4.45元/吨),因此解决的问题是“上月超过11吨部分的水费是多少元”。
故答案为:D
2.下面是广州市出租车的计价标准。刘阿姨乘坐出租车行驶了8.5km,她应付出租车费( )元。
收费标准
3km以内12元,超过3km的部分,每千米2.6元(不足1km,按1km计算)。
A.27.6 B.25.3 C.25 D.15.6
【答案】A
【分析】先计算超过3km的部分(8.5-3=5.5km),因0.5km不足1km,按1km计算,故超过部分按6km计费。用超过3km的部分乘2.6求出超过3km的部分的费用,再加上12元即可解答。
【详解】8.5-3=5.5(千米)
5.5千米按6千米计费:
2.6×6+12
=15.6+12
=27.6(元)
所以她应付出租车费27.6元。
3.共享单车早已进入人们的生活。某品牌共享单车收费规则:前15分钟2元,之后每10分钟0.9元(不足10分钟按10分钟计)。若乐乐在景区内骑行了30分钟,应支付( )元。
A.4 B.6 C.3.45 D.3.8
【答案】D
【分析】先用骑行总时间减去前15分钟,求出剩余时间,再根据“不足10分钟按10分钟计”,看剩余时间按几个10分钟计算,接着求出超出部分的费用,再和前15分钟的基础费用相加,求出总费用。
【详解】30-15=15(分钟)
因为不足10分钟按10分钟计,15分钟按2个10分钟算。
2×0.9=1.8(元)
2+1.8=3.8(元)
应支付3.8元。
二、填空题
4.某市居民生活用电采用阶梯收费模式,收费标准如下:每月不超过30千瓦时,按照每千瓦时0.55元收费;超过30千瓦时,超出部分按照每千瓦时0.8元收费。六月份奇思家用电45千瓦时,这月他家应缴纳电费( )元。
【答案】28.5
【分析】先计算出30千瓦时以内的电费,再计算超出30千瓦时部分的电费,最后将两部分电费相加,即可得到总电费。
【详解】0.55×30=16.5(元)
(45-30)×0.8
=15×0.8
=12(元)
16.5+12=28.5(元)
5.某市出租车的收费标准是3千米及以内收费9元,3千米以外每增加1千米(不足1千米的按1千米计算)收费2.5元,另外每次加收燃油附加费2元。小明从车站乘出租车回家共付了36元,他家到车站最多有( )千米。
【答案】13
【分析】付的钱数-燃油附加费-3千米及以内收费=3千米以外的费用,3千米以外的费用÷收费标准=3千米以外的距离,3千米以外的距离+3千米=最多乘车距离。
【详解】(36-2-9)÷2.5+3
=25÷2.5+3
=10+3
=13(千米)
6.某市自来水公司为鼓励节约用水,采取按月分段计费的方法收取水费。12吨以内的每吨2.5元,超过12吨的部分,每吨3.8元。珂珂家上个月的用水量是18吨,应缴水费( )元。
【答案】52.8
【分析】用水量为18吨时,其中12吨按每吨2.5元收费,超过的(18-12)吨按每吨3.8元收费,根据“总价=单价×数量”分别求出这两部分各需水费多少元,最后相加求出总水费。
【详解】12×2.5+(18-12)×3.8
=12×2.5+6×3.8
=30+22.8
=52.8(元)
7.为了鼓励市民节约用电,某市实施分阶段计算电费的方法:每月用电量在100千瓦时及以内每千瓦时0.52元;超过100千瓦时的部分,每千瓦时0.6元。小明家上个月付了电费103.6元,他家上个月的用电量是( )千瓦时。
【答案】186
【分析】这是分段计费问题,先算100千瓦时以内的电费,再用总电费减去这部分,算出超出部分的电费,最后求出超出的电量,加100就是总用电量。
【详解】100×0.52=52(元)
103.6-52=51.6(元)
51.6÷0.6=86(千瓦时)
100+86=186(千瓦时)
8.某快递公司收费标准是首重1千克内(含1千克)12元,续重每千克(不足1千克按1千克算)2.5元。小明寄一个包裹重4.3千克,应付运费( )元;若运费花了24.5元,包裹最多重( )千克。
【答案】 22 6
【分析】(1)已知小明寄一个包裹重4.3千克,超过首重部分为4.3-1=3.3千克,因为不足1千克按1千克算,所以续重按4千克计算,续重每千克2.5元,根据“单价×数量=总价”求出续重费用,再加上首重费用,即是应付的运费。
(2)若运费花了24.5元,减去首重12元,剩余12.5元为续重费用,续重每千克2.5元,根据“总价÷单价=数量”求出续重,再加上首重,即是包裹最多的重量。
【详解】(1)4.3-1=3.3(千克)
3.3千克按4千克计算。
2.5×4+12
=10+12
=22(元)
(2)(24.5-12)÷2.5+1
=12.5÷2.5+1
=5+1
=6(千克)
填空如下:
小明寄一个包裹重4.3千克,应付运费(22)元;若运费花了24.5元,包裹最多重(6)千克。
三、解答题
9.人工智能是自动驾驶的核心,目前无人驾驶出租车已经投入市场。某次李阿姨乘坐无人驾驶出租车行驶了7.2千米,李阿姨本次乘车应付多少元?
计价标准
3千米及以内12元;
超过3千米的部分,每千米2.5元。
(不足1千米,按1千米算)。
【答案】元
【分析】根据计价标准,乘车费用分为两部分:3千米及以内的基础费用和超过3千米部分的费用。“不足1千米,按1千米算”意味着对超过部分的路程需要使用“进一法”保留整数。据此先求出超过千米的路程,再用超出的路程乘超出部分每千米的单价,求出超出部分的费用,最后根据“总价基础价超额价”计算出总价。
【详解】超过千米的路程:(千米)
根据“不足千米,按千米算”,即4.2千米应按5千米计算。
超出部分费用:5×2.5=12.5(元)
应付车费:12+12.5=24.5(元)
答:李阿姨本次乘车应付元。
10.菜市场租摊位收费实行分段计费:每月租金首5平方米按每平方米120元收费,超过5平方米的部分,每平方米按105元收费。王阿姨租了一个8.5平方米的摊位,每月应付租金多少元?
【答案】967.5元
【分析】用减法,求出超出5平方米的面积,再根据总价=单价×数量,求出5平方米摊位收费和超出5平方米部分面积摊位的收费,再相加,即可解答。
【详解】120×5+105×(8.5-5)
=120×5+105×3.5
=600+367.5
=967.5(元)
答:每月应付租金967.5元。
11.阳光小区跑团共有17名跑友,他们请照相馆拍了一张合影并打算每人一张照片留念。该付款多少元给照相馆?
合影价格表
照相:20元
(含3张照片)
加印一张2.5元
【答案】55元
【分析】根据题意,每人一张共需17张,总费用由基础费用和加印费用两部分组成,基础费用20元已包含3张照片,先用17-3求出超出部分的照片张数;最后根据“总价=单价×数量”求出加印费用,并与基础费用相加求出应付总金额。
【详解】20+(17-3)×2.5
=20+14×2.5
=20+35
=55(元)
答:该付款55元给照相馆。
12.政府为了鼓励居民节约用水,对自来水收费标准作了如下调整:
每月用水量
收费标准
不超过8吨的部分
每吨2.6元
超过8吨但不超过12吨的部分
每吨3.0元
超过12吨的部分
每吨4.2元
王老师家元月份用水量是11吨,元月份应缴纳多少元水费?
【答案】29.8元
【分析】先比较用水量与收费标准的临界值,11吨大于8吨且小于12吨,说明水费由两部分组成:第一部分是不超过8吨的基础用水量,按每吨2.6元计算;第二部分是超过8吨的用水量,按每吨3.0元计算。根据总价=单价×数量,分别求出两部分的费用,最后将两部分费用相加求出总水费。
【详解】2.6×8+(11-8)×3.0
=20.8+3×3.0
=20.8+9.0
=29.8(元)
答:元月份应缴纳29.8元水费。
13.某地固定电话的话费标准如下:前3分钟收费0.6元,超过3分钟的部分每分钟收费0.08元(不足1分钟按1分钟计算)。李老师今天一次打电话15分钟,应该收费多少元?
【答案】1.56元。
【分析】总费用由两部分组成:前3分钟的固定收费和超过3分钟部分的计时收费。先求出超过3分钟的通话时长,再乘超过部分每分钟的收费标准,最后加上前3分钟的基础费用即可。
【详解】(15-3)×0.08+0.6
=12×0.08+0.6
=0.96+0.6
=1.56(元)
答:应该收费1.56元。
14.光明小学环保社团的同学们还调查了关于饮用水的问题,我们的饮用水都是经过很多道工序的净化才使用,每一滴水来之不易,我们要节约用水。如表是市居民用水收费标准。
阶梯
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯
每月吨数
15吨以内(包括15吨)
15吨以上25吨以内
25吨以上部分
单价
3.95元
5.25元
7.95元
明明家六月份交水费69.75元,他家一共用了多少吨水?
【答案】17吨
【分析】先用乘法算出15吨水要花多少钱,再看明明家缴纳的69.75元有没有超过这个钱。如果超过了,多出来的钱就是超过15吨部分的水费,用多的钱除以超过部分的单价,就能算出超了多少吨,最后把15吨和超的吨数加起来就是总用水量。
【详解】15×3.95=59.25(元)
59.25<69.75
(69.75-59.25)÷5.25
=10.5÷5.25
=2(吨)
15+2=17(吨)
答:他家一共用了17吨水。
15.翡翠广场停车场按停车时长采取分段计费的方法收取停车费:停车2小时及以内,交停车费5元,超过2小时不超过12小时,每小时收费1.5元;超过12小时,每小时收费0.5元。(不足1小时,按1小时计算)
(1)李叔叔在此停车24小时,应交停车费多少元?
(2)王阿姨从此停车场出去时交了18.5元停车费,她最多停了多少小时?
【答案】(1)26元
(2)11小时
【分析】(1)需将 24 小时按照计费规则分为三段:2小时及以内、超过2小时不超过12小时、超过12小时。根据单价×数量=总价,分别计算各段费用后求和。
(2)先根据总费用判断停车时长所在的计费段,减去首段固定费用后,除以对应时段的单价求出超出时间,最后加上首段时长得出总时长。
【详解】(1)2小时及以内费用:5元
超过2小时不超过12小时的时长:12-2=10(小时)
超过 2小时不超过12小时的费用:10×1.5=15(元)
超过12小时的时长:24-12=12(小时)
超过12小时的费用:12×0.5=6(元)
总费用:5 +15+6=26(元)
答:应交停车费26元。
(2)判断停车时长范围:
若停车12小时,费用为:5+(12 - 2)×1.5
=5+10×1.5
=5+15
20(元)
因为18.5<20,所以停车时长超过2小时但不超过12小时。
超出2小时部分的费用:18.5-5=13.5(元)
超出2小时部分的时长:13.5÷1.5=9(小时)
总停车时长:2+9=11(小时)
答:她最多停了11小时。
试卷第1页,共3页
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第4讲 ☆ 生活中的分段计费
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知识点 1:分段计费问题
1. 什么是分段计费?
分段计费是指在实际生活中,某些商品或服务的价格不是单一的固定单价,而是根据使用量(如用电量、用水量、行驶里程、通话时长等)的不同区间,采用不同的收费标准进行计算的方式。
2. 常见应用场景
(1)电力收费:居民阶梯电价(基础电量低价,超出部分高价)。
(2)出租车费:起步价(包含一定里程)+ 超出里程费 + 可能的等候费/远途费。
(3)邮政/快递费:首重费用 + 续重费用。
3. 关键术语
(1)分段点(临界点):收费标准发生变化的数量节点。例如:出租车3千米以内是一个标准,超过3千米是另一个标准,那么“3千米”就是分段点。
(2)基础段:通常指第一段,往往包含“起步价”或“最低消费”。
(3)超额段:超过基础段数量的部分,通常按更高的单价或不同的规则计费。
4. 标准解题四步法
(1)找节点:明确题目中的分段标准是多少(例如:10吨以内、10-20吨、20吨以上)。
(2)判区间:判断题目给出的总数量落在哪个区间,或者跨越了几个区间。
(3)分段算:
① 第一段:按规定的基础费用或第一阶梯单价计算。
② 第二段及以后:用(总数量 - 前一段累计数量)× 对应阶梯单价计算。
(4)求总和:将各段计算出的费用相加,得出总费用。
5. 通用公式模型
假设分为两段计费:
(1)规定量为 ,规定量内单价为 (或固定起步价 )。
(2)超过规定量的部分单价为 。
(3)实际用量为 。
情况一: (未超标)
(或直接等于起步价 ,视题目而定)
情况二: (超标)
注:若是出租车起步价模式,公式调整为:
【典型例题1】下面是某市的出租车的计价收费标准,东东从家乘出租车到距离约8.3千米的博物馆去参观,到达时应付多少车费?
计价收费标准
1千米以内(含1千米)
6元
超过1千米(不足1千米按1千米计算)
1.6元/千米
【典型例题2】下表是某城市的水费收费方案。涛涛家六月份用水25吨,需缴水费多少元?
20吨及以内
超出20吨的部分
每吨2.1元
每吨3.6元
【对应练习1】某商场的停车场对新能源汽车的收费进行优惠。前2小时收费2元,超过2小时的部分每0.5小时收费1.5元(不足0.5小时按0.5小时算)。王阿姨家的新能源汽车在该停车场停车4.7小时,需要支付多少停车费?
【对应练习2】快递费用:某快递首重1千克内10元,续重每0.5千克加收2元(不足0.5千克按0.5千克计)。寄一件3.2千克的包裹需付多少元?
【对应练习3】毕业照将儿童从稚嫩到少年的轮廓变化凝结为具象画面,成为个人成长史中可触摸的时间切片。通过对比不同学段照片,能直观感知身体发育与气质蜕变。六(4)班有56名学生与5位老师合影,定价32.5元(含8张照片),另外每加印一张2.8元,每人一张照片,一共需要多少元钱?
巩固提升
一、选择题
1.为促进市民节约用水,某市实行居民生活用水阶段计费制度。每月用水量在11吨及以内的,每吨3.4元;超过11吨的部分,每吨4.45元。王奶奶家上月的用水量是14吨,算式“(14-11)×4.45”解决的问题是( )。
A.上月共付水费多少元 B.上月超过11吨部分的水是多少吨
C.11吨以内的水费是多少元 D.上月超过11吨部分的水费是多少元
2.下面是广州市出租车的计价标准。刘阿姨乘坐出租车行驶了8.5km,她应付出租车费( )元。
收费标准
3km以内12元,超过3km的部分,每千米2.6元(不足1km,按1km计算)。
A.27.6 B.25.3 C.25 D.15.6
3.共享单车早已进入人们的生活。某品牌共享单车收费规则:前15分钟2元,之后每10分钟0.9元(不足10分钟按10分钟计)。若乐乐在景区内骑行了30分钟,应支付( )元。
A.4 B.6 C.3.45 D.3.8
二、填空题
4.某市居民生活用电采用阶梯收费模式,收费标准如下:每月不超过30千瓦时,按照每千瓦时0.55元收费;超过30千瓦时,超出部分按照每千瓦时0.8元收费。六月份奇思家用电45千瓦时,这月他家应缴纳电费( )元。
5.某市出租车的收费标准是3千米及以内收费9元,3千米以外每增加1千米(不足1千米的按1千米计算)收费2.5元,另外每次加收燃油附加费2元。小明从车站乘出租车回家共付了36元,他家到车站最多有( )千米。
6.某市自来水公司为鼓励节约用水,采取按月分段计费的方法收取水费。12吨以内的每吨2.5元,超过12吨的部分,每吨3.8元。珂珂家上个月的用水量是18吨,应缴水费( )元。
7.为了鼓励市民节约用电,某市实施分阶段计算电费的方法:每月用电量在100千瓦时及以内每千瓦时0.52元;超过100千瓦时的部分,每千瓦时0.6元。小明家上个月付了电费103.6元,他家上个月的用电量是( )千瓦时。
8.某快递公司收费标准是首重1千克内(含1千克)12元,续重每千克(不足1千克按1千克算)2.5元。小明寄一个包裹重4.3千克,应付运费( )元;若运费花了24.5元,包裹最多重( )千克。
三、解答题
9.人工智能是自动驾驶的核心,目前无人驾驶出租车已经投入市场。某次李阿姨乘坐无人驾驶出租车行驶了7.2千米,李阿姨本次乘车应付多少元?
计价标准
3千米及以内12元;
超过3千米的部分,每千米2.5元。
(不足1千米,按1千米算)。
10.菜市场租摊位收费实行分段计费:每月租金首5平方米按每平方米120元收费,超过5平方米的部分,每平方米按105元收费。王阿姨租了一个8.5平方米的摊位,每月应付租金多少元?
11.阳光小区跑团共有17名跑友,他们请照相馆拍了一张合影并打算每人一张照片留念。该付款多少元给照相馆?
合影价格表
照相:20元
(含3张照片)
加印一张2.5元
12.政府为了鼓励居民节约用水,对自来水收费标准作了如下调整:
每月用水量
收费标准
不超过8吨的部分
每吨2.6元
超过8吨但不超过12吨的部分
每吨3.0元
超过12吨的部分
每吨4.2元
王老师家元月份用水量是11吨,元月份应缴纳多少元水费?
13.某地固定电话的话费标准如下:前3分钟收费0.6元,超过3分钟的部分每分钟收费0.08元(不足1分钟按1分钟计算)。李老师今天一次打电话15分钟,应该收费多少元?
14.光明小学环保社团的同学们还调查了关于饮用水的问题,我们的饮用水都是经过很多道工序的净化才使用,每一滴水来之不易,我们要节约用水。如表是市居民用水收费标准。
阶梯
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯
每月吨数
15吨以内(包括15吨)
15吨以上25吨以内
25吨以上部分
单价
3.95元
5.25元
7.95元
明明家六月份交水费69.75元,他家一共用了多少吨水?
15.翡翠广场停车场按停车时长采取分段计费的方法收取停车费:停车2小时及以内,交停车费5元,超过2小时不超过12小时,每小时收费1.5元;超过12小时,每小时收费0.5元。(不足1小时,按1小时计算)
(1)李叔叔在此停车24小时,应交停车费多少元?
(2)王阿姨从此停车场出去时交了18.5元停车费,她最多停了多少小时?
试卷第1页,共3页
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