（新课预习）第11讲 圆的面积（一）（讲义）-2026-2027学年六年级数学暑假衔接培优讲义（北师大版·新教材）

第11讲 圆的面积（一） 知识导航 知识点梳理 难易度 知识点 1：圆面积公式的推导 知识点 2：圆的面积 知识点精讲 知识点 1：圆面积公式的推导 1. 推导过程步骤 (1)分割：将一个圆平均分成若干等份（例如8份、16份、32份……）。 (2)拼接：将这些扇形交错拼接，形成一个近似的平行四边形（当份数足够多时，近似于长方形）。 (3)观察对应关系： ①　底/长：拼成图形的底（或长）等于圆周长的一半。即： ②　高/宽：拼成图形的高（或宽）等于圆的半径。即： 2. 逻辑推导 因为： 所以： 3. 关键结论 (1)把圆转化成近似的平行四边形（或长方形）后，形状变了，但面积不变。 (2)分的份数越多，拼成的图形越接近标准的平行四边形（或长方形），误差越小。 【典型例题】如图，把一个圆平均分成若干等份，再拼成一个近似的平行四边形，这个平行四边形的周长比圆的周长多6厘米，圆的直径是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【对应练习】如图，将一个圆等分成16份，拼成一个近似的平行四边形，周长增加了10厘米。这个圆的半径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 知识点 2：圆的面积 1. 基本公式 圆的面积用字母 表示，半径用 表示，圆周率用 表示（通常取 3.14）。 2. 常见变式与应用场景 在实际解题中，已知条件可能不同，需灵活转换： 已知条件 计算步骤 公式表达 已知半径 直接代入公式 已知直径 先求半径 ，再求面积 已知周长 先求半径 ，再求面积 3. 易错点提示 (1)平方含义： 表示 ，而不是 。 例：若 ，则 ，而非 。 (2)运算顺序：先算平方，再乘 。 例： 。 (3)单位区分： ①　长度单位：米(m)、厘米(cm) ②　面积单位：平方米( )、平方厘米( ) ③　注意结果必须带上正确的面积单位。 【典型例题】计算圆的面积。 【对应练习】根据下面的条件，求圆的面积。 （1）d＝4dm （2）C＝9.42cm 巩固提升 一、填空题 1．已知一个圆的半径是2dm，这个圆的周长是( )dm，面积是( )。 2．如图，把一张圆形纸片分成若干等份后，拼成一个近似的平行四边形（如图），这个平行四边形的周长是82.8厘米，这张圆形纸片的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 3．画一个周长是18.84厘米的圆，圆规两脚间的距离应为( )厘米，画出的这个圆的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 4．手工课上，小雅在一张正方形彩纸上剪了一个最大的圆，这个圆的面积是78.5平方厘米。这张正方形彩纸的面积是( )平方厘米。 5．（如图）在长方形内裁去一个圆，用圆规操作两脚间的距离是3cm，圆的周长是( )cm，裁去圆形后剩余部分的面积是( )。 6．一个挂钟的分针长20厘米，经过30分钟后，分针尖端所走的路程是( )厘米。它扫过的面积是( )平方厘米。 7．如图，已知长方形的长是15厘米，这个长方形的周长是( )厘米，其中一个圆的面积是( )平方厘米。 二、选择题 8．在研究圆的面积计算方法时，小东把一个半径为5cm的圆，切拼成了一个近似的平行四边形，这个平行四边形的周长比圆的周长增加了（    ）。 A．5cm B．10cm C．15.7cm D．31.4cm 9．用一根长12.56m的绳子围成一个正方形或圆形，面积较大的是（    ）。 A．正方形 B．圆形 C．一样大 D．无法比较 10．圆的直径扩大到原来的2倍，它的面积扩大到原来的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 11．用圆规画了一个圆，如果圆规两脚之间的距离是6厘米，它的面积是（    ）。 A．18.84平方厘米 B．37.68平方厘米 C．94.2平方厘米 D．113.04平方厘米 12．割圆术。我国魏晋时期数学家刘徽采用“割圆术”首先得出了较精确的圆周率的值。他用圆内接正多边形从一个方向逐步逼近圆。当圆内接正多边形的边数增加时，下面说法正确的是（    ）。 A．正多边形的周长会减小 B．正多边形与圆的面积差会增加 C．正多边形的边长会增大 D．正多边形的面积越接近圆的面积 三、计算题 13．计算下面各圆的面积。      14．计算下面圆的面积和周长。 四、解答题 15．看一看，比一比，哪个圆的面积大？说说你是怎么比较的。 16． (1)如图，我们在推导圆的面积计算公式时，把圆分成若干等份，拼成了一个近似的平行四边形，平均分的份数越多，拼成的图形就越接近( )形。 (2)转化前后，图形的( )变了，( )没变。 (3)请你接着把圆面积计算公式的推导过程讲完。 （提示：讲清楚拼成的图形与原来的圆有什么关系？） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 圆的面积（一） 知识导航 知识点梳理 难易度 知识点 1：圆面积公式的推导 知识点 2：圆的面积 知识点精讲 知识点 1：圆面积公式的推导 1. 推导过程步骤 (1)分割：将一个圆平均分成若干等份（例如8份、16份、32份……）。 (2)拼接：将这些扇形交错拼接，形成一个近似的平行四边形（当份数足够多时，近似于长方形）。 (3)观察对应关系： ①　底/长：拼成图形的底（或长）等于圆周长的一半。即： ②　高/宽：拼成图形的高（或宽）等于圆的半径。即： 2. 逻辑推导 因为： 所以： 3. 关键结论 (1)把圆转化成近似的平行四边形（或长方形）后，形状变了，但面积不变。 (2)分的份数越多，拼成的图形越接近标准的平行四边形（或长方形），误差越小。 【典型例题】如图，把一个圆平均分成若干等份，再拼成一个近似的平行四边形，这个平行四边形的周长比圆的周长多6厘米，圆的直径是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 6 28.26 【分析】通过观察可知，拼成的平行四边形周长比圆周长多了2条半径的长度；已知这个平行四边形的周长比圆的周长多6厘米，据此可知圆的半径是（6÷2）厘米，直径就是6厘米；根据圆面积公式：S＝πr2，代入数据解答。 【详解】平行四边形周长比圆周长多了2条半径的长度； 6÷2＝3（厘米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 圆的直径是6厘米，圆的面积是28.26平方厘米。 【对应练习】如图，将一个圆等分成16份，拼成一个近似的平行四边形，周长增加了10厘米。这个圆的半径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 5 31.4 78.5 【分析】将圆切拼成一个近似的平行四边形，周长增加了2个圆的半径，用周长增加的长度除以2，即可求得圆的半径。根据圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2，代入计算即可填空。 【详解】10÷2＝5（厘米） 2×3.14×5＝6.28×5＝31.4（厘米） 3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米） 将一个圆等分成16份，拼成一个近似的平行四边形，周长增加了10厘米。这个圆的半径是5厘米，周长是31.4厘米，面积是78.5平方厘米。 知识点 2：圆的面积 1. 基本公式 圆的面积用字母 表示，半径用 表示，圆周率用 表示（通常取 3.14）。 2. 常见变式与应用场景 在实际解题中，已知条件可能不同，需灵活转换： 已知条件 计算步骤 公式表达 已知半径 直接代入公式 已知直径 先求半径 ，再求面积 已知周长 先求半径 ，再求面积 3. 易错点提示 (1)平方含义： 表示 ，而不是 。 例：若 ，则 ，而非 。 (2)运算顺序：先算平方，再乘 。 例： 。 (3)单位区分： ①　长度单位：米(m)、厘米(cm) ②　面积单位：平方米( )、平方厘米( ) ③　注意结果必须带上正确的面积单位。 【典型例题】计算圆的面积。 【答案】50.24平方米 【分析】要计算圆的面积，利用圆的面积公式S＝πr²计算，图中已知圆的直径是8米，先求出半径r＝8÷2＝4米，再代入面积公式计算。 【详解】r＝8÷2＝4（米） S＝πr² ＝3.14×4² ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 【对应练习】根据下面的条件，求圆的面积。 （1）d＝4dm （2）C＝9.42cm 【答案】（1）12.56dm2； （2）7.065cm2 【分析】圆的面积公式为（S表示面积，r表示半径），因此需要先根据已知条件求出半径r。对于（1）已知直径d，根据半径与直径的关系r＝d÷2可求半径；对于（2）已知周长C，根据周长公式，可推导得来求半径。 【详解】（1）已知d＝4dm ，求半径得r＝4÷2＝2（dm） ， 求面积得S＝3.14×2²＝3.14×4＝12.56（dm²） ，故圆的面积为12.56dm²。 （2）已知C ＝ 9.42cm ，求半径得r＝9.42÷（2×3.14）＝9.42÷6.28＝1.5（cm） ， 求面积得S＝3.14×1.5²＝3.14×2.25＝7.065（cm²），故圆的面积为7.065cm²。 巩固提升 一、填空题 1．已知一个圆的半径是2dm，这个圆的周长是( )dm，面积是( )。 【答案】 12.56 12.56 【分析】根据圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2，把数据代入计算即可。 【详解】圆的周长：2×3.14×2 ＝6.28×2 ＝12.56（dm） 圆的面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（dm2） 2．如图，把一张圆形纸片分成若干等份后，拼成一个近似的平行四边形（如图），这个平行四边形的周长是82.8厘米，这张圆形纸片的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 62.8 314 【分析】圆拼成近似平行四边形后，周长由“圆的周长（2πr）＋两条半径（2r）”组成，即平行四边形周长＝2πr＋2r＝2r（π＋1），变形可得：r＝平行四边形周长÷（2π＋2），代入数值求出圆的半径。利用圆的周长公式C＝2πr，代入r的数值，求出圆的周长。利用圆的面积公式S＝πr2，代入r的数值，求出圆的面积。据此解答（π取3.14）。 【详解】平行四边形周长＝2πr＋2r＝2r（π＋1） r＝平行四边形周长÷（2π＋2） 82.8÷（2×3.14＋2） ＝82.8÷（6.28＋2） ＝82.8÷8.28 ＝10（厘米） 2×3.14×10 ＝6.28×10 ＝62.8（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 所以这张圆形纸片的周长是62.8厘米，面积是314平方厘米。 【点睛】本题关键在于明确圆拼成近似平行四边形后，其周长是圆的周长与两条半径的和，据此推导出半径，再利用圆的周长和面积公式求解。 3．画一个周长是18.84厘米的圆，圆规两脚间的距离应为( )厘米，画出的这个圆的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【答案】 3 28.26 【分析】圆规两脚间的距离就是圆的半径，根据圆的周长公式C＝2πr，用已知的周长除以2π求出半径；求出半径后，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，将半径代入即可求出这个圆的面积。 【详解】半径：18.84÷（2×3.14） ＝18.84÷6.28 ＝3（厘米） 面积：3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 4．手工课上，小雅在一张正方形彩纸上剪了一个最大的圆，这个圆的面积是78.5平方厘米。这张正方形彩纸的面积是( )平方厘米。 【答案】100 【分析】已知圆的面积公式为表示圆的面积，表示圆的半径），这里圆的面积是平方厘米，取，可得，解得（厘米）。因为是从正方形彩纸上剪下一个最大的圆，所以这个圆的直径等于正方形的边长。根据正方形的面积公式，把数据代入计算即可。 【详解】78.5÷3.14＝25 r＝5厘米 2×5＝10（厘米） 10×10＝100（平方厘米） 5．（如图）在长方形内裁去一个圆，用圆规操作两脚间的距离是3cm，圆的周长是( )cm，裁去圆形后剩余部分的面积是( )。 【答案】 18.84 19.74 【分析】圆规两脚间的距离就是圆的半径，已知半径求周长，用公式 计算。先求出长方形的宽（等于圆的直径），用公式“长方形面积＝长×宽”和分别算出长方形和圆的面积，用长方形面积减去圆的面积，就是剩余部分的面积。 【详解】圆规两脚间距离为3cm，即圆的半径为3cm。 圆的周长： 2×3.14×3 ＝6.28×3 ＝18.84（cm） 圆的直径：2×3＝6（cm），所以长方形的宽为6cm，长为8cm。 剩余面积： 8×6－3.14×32 ＝48－3.14×9 ＝48－28.26 ＝19.74（cm2） 6．一个挂钟的分针长20厘米，经过30分钟后，分针尖端所走的路程是( )厘米。它扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】 62.8 628 【分析】经过30分钟后，分针的尖端走过圆周长的一半，分针扫过的面积＝半圆面积。圆周长的一半＝2πr÷2，半圆面积＝πr2÷2（r表示圆的半径即分针长）。 【详解】分针尖端所走的路程为： 2×3.14×20÷2 ＝3.14×20×2÷2 ＝3.14×20×（2÷2） ＝3.14×20×1 ＝62.8（厘米） 分针尖端扫过的面积为： 3.14×202÷2 ＝3.14×400÷2 ＝1256÷2 ＝628（平方厘米） 7．如图，已知长方形的长是15厘米，这个长方形的周长是( )厘米，其中一个圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 42 28.26 【分析】根据图示，长方形的长是5个半径的长度，算出半径的长度，再乘2算出长方形的宽；根据长方形的周长＝（长＋宽）×2计算周长；根据圆的面积S＝πr2计算面积。 【详解】15÷5＝3（厘米） 3×2＝6（厘米） 长方形的周长：（15＋6）×2 ＝21×2 ＝42（厘米） 圆的面积：3.14×3 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 二、选择题 8．在研究圆的面积计算方法时，小东把一个半径为5cm的圆，切拼成了一个近似的平行四边形，这个平行四边形的周长比圆的周长增加了（    ）。 A．5cm B．10cm C．15.7cm D．31.4cm 【答案】B 【分析】将圆拼成近似平行四边形后，平行四边形的底长近似于圆的周长的一半，平行四边形底长的相邻边近似于圆的半径，因此平行四边形的周长比圆的周长多了圆的两个半径的长度，据此计算。 【详解】5×2＝10（cm） 所以这个平行四边形的周长比圆的周长增加了10cm。 故答案为：B 9．用一根长12.56m的绳子围成一个正方形或圆形，面积较大的是（    ）。 A．正方形 B．圆形 C．一样大 D．无法比较 【答案】B 【分析】根据正方形的周长＝边长×4，用周长除以4算出边长。再根据正方形的面积＝边长×边长算出面积。根据圆的周长C＝2πr，用周长除以2除以π，算出圆的半径。再根据圆的面积S＝πr2，算出圆的面积，再比较它们的面积即可。 【详解】正方形边长：12.56÷4＝3.14（m），面积3.14×3.14＝9.8596（m2） 圆的半径：12.56÷2÷3.14＝2（m），面积3.14×22＝3.14×4＝12.56（m2） 12.56＞9.8596 所以，面积较大的是圆。 10．圆的直径扩大到原来的2倍，它的面积扩大到原来的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】假设原来圆的直径并求出圆的半径，根据S＝πr2计算出原来圆的面积和现在圆的面积，再计算圆的面积扩大的倍数，据此解答。 【详解】假设原来圆的直径为2厘米，现在圆的直径为2×2＝4厘米。 原来圆的面积：π×（2÷2）2＝π（平方厘米） 现在圆的面积：π×（4÷2）2＝4π（平方厘米） 4π÷π＝4 所以它的面积扩大到原来的4倍。 11．用圆规画了一个圆，如果圆规两脚之间的距离是6厘米，它的面积是（    ）。 A．18.84平方厘米 B．37.68平方厘米 C．94.2平方厘米 D．113.04平方厘米 【答案】D 【分析】根据题意，圆规两脚之间的距离是圆的半径，圆的面积公式是S＝πr2，代入半径6厘米计算即可，据此解答。 【详解】S＝3.14×62＝3.14×36＝113.04（平方厘米） 用圆规画了一个圆，如果圆规两脚之间的距离是6厘米，它的面积是113.04平方厘米。 故答案为：D 12．割圆术。我国魏晋时期数学家刘徽采用“割圆术”首先得出了较精确的圆周率的值。他用圆内接正多边形从一个方向逐步逼近圆。当圆内接正多边形的边数增加时，下面说法正确的是（    ）。 A．正多边形的周长会减小 B．正多边形与圆的面积差会增加 C．正多边形的边长会增大 D．正多边形的面积越接近圆的面积 【答案】D 【分析】在同一个圆中，内接正多边形的边数越多，其单条边长会越小，周长逐渐增大并无限逼近圆的周长，与圆的面积差逐渐减小，自身面积则越来越接近圆的面积，据此逐项判断。 【详解】A．正多边形的周长会增大（无限接近圆的周长），而非减小，错误。 B．正多边形与圆的面积差会减小（正多边形占圆的面积比例越来越大），而非增加，错误。 C．正多边形的边长会减小（边数越多，每条边对应的圆心角越小，边长越短），而非增大，错误。 D．边数越多，正多边形的形状越接近圆，面积也越接近圆的面积，符合割圆术原理，正确。 故答案为：D 三、计算题 13．计算下面各圆的面积。      【答案】78.5平方分米；314平方厘米 【分析】根据圆的面积＝，第一个圆的半径为5分米，第二个圆的直径为20厘米，则半径为10厘米，据此计算得出答案。 【详解】第一个圆的面积为： （平方分米） 圆的面积是78.5平方分米。 第二个圆面积为： （平方厘米） 圆的面积是314平方厘米。 14．计算下面圆的面积和周长。 【答案】周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米。 【分析】π×圆的直径＝圆的周长；π×半径的平方＝圆的面积。 【详解】圆的半径：6÷2＝8（厘米） 圆的周长：3.14×6＝18.84（厘米） 圆的面积： 3.14×3×3 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 圆的周长是18.84厘米，圆的面积是28.26平方厘米。 四、解答题 15．看一看，比一比，哪个圆的面积大？说说你是怎么比较的。 【答案】一样大 【分析】圆面积S＝πr2，r＝d÷2，所以圆的面积和半径的大小相关，半径又和直径相关。利用直尺去量出两个圆的直径，如果直径相等，则两个圆的半径相等，面积也相等。第一个圆的直径和大正方形的边长相等，第二个圆的直径和小正方形的对角线相等。据此解题。 【详解】量得两个圆的直径均是2厘米（以直尺实际测量为准），所以这两个圆的半径均为1厘米，那么这两个圆的面积一样大。 16． (1)如图，我们在推导圆的面积计算公式时，把圆分成若干等份，拼成了一个近似的平行四边形，平均分的份数越多，拼成的图形就越接近( )形。 (2)转化前后，图形的( )变了，( )没变。 (3)请你接着把圆面积计算公式的推导过程讲完。 （提示：讲清楚拼成的图形与原来的圆有什么关系？） 【答案】(1)长方 (2) 形状（或周长） 面积 (3)见详解 【分析】（1）根据观察，圆平均分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。 （2）观察拼接后的图形可以发现接近于长方形，形状和周长都发生了变化，拼接后的图形可以看成是一个长方形，长方形的长等于圆的周长的一半，长方形的宽近似于圆的半径，长方形的两条长之和就是圆的周长，所以再加上两条宽后周长要大于圆的周长，图形的占地面积没有变化，所以面积不变。 （3）圆的面积可以借助与长方形的面积来推导，圆的周长＝，长方形的长＝，长方形的宽是r，然后根据长方形面积＝长×宽进行计算出即可。 【详解】（1）如图，我们在推导圆的面积计算公式时，把圆分成若干等份，拼成了一个近似的平行四边形，平均分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。 （2）转化后，长方形的长等于圆周长的一半，宽是圆的半径，所以长方形周长比原来多了两个半径； 转化前后，图形的周长变了，面积没变。 （3）拼成的图形近似于长方形，长方形的长就是圆周长的一半： 长方形的宽是圆的半径r，长方形的面积＝长×宽，，所以圆的面积是。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $