（新课预习）第10讲 圆周率的历史（讲义）-2026-2027学年六年级数学暑假衔接培优讲义（北师大版·新教材）

第10讲 圆周率的历史 知识导航 知识点梳理 难易度 知识点 1：圆周率的历史 知识点精讲 知识点 1：圆周率的历史 1.圆周率的定义：任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用希腊字母 表示。 (1)公式表达： （其中 为周长， 为直径） 2.圆周率的性质： (1) 是一个无限不循环小数（无理数）。 (2)在小学阶段，通常取近似值 。 (3)注意： ，而是 3.圆周率的历史演变脉络 (1)早期萌芽：经验估算时期 ①　古埃及与古巴比伦：早在公元前2000年左右，古埃及人通过测量发现圆周率约为 ，古巴比伦人估算为 。这些数值虽然粗糙，但标志着人类开始尝试量化圆的性质。 ②　《圣经》记载：在古代希伯来文献中，隐含的圆周率值为 。这说明早期文明多采用“径一周三”的粗略估算。 (2)中国古典数学的突破：从“径一周三”到科学计算 ①　《周髀算经》：中国最早的天文学和数学著作之一，其中记载了“径一周三”，即 。这在当时满足了简单的工程需求，但随着精度要求提高，误差逐渐显现。 ②　刘徽与“割圆术”（魏晋时期）： 方法：刘徽首创“割圆术”。他提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。” 原理：利用圆内接正多边形逼近圆。当正多边形的边数无限增加时，其周长无限接近圆的周长。这是极限思想的早期体现。 成果：刘徽计算出 （徽率），将圆周率精度提高到小数点后4位。 (3)巅峰时刻：祖冲之与“祖率” ①　人物：南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之（公元429-500年）。 ②　成就：祖冲之在刘徽的基础上，继续运用割圆术，将正多边形边数增加至24576边。他得出圆周率在 3.1415926 和 3.1415927 之间。提出了两个分数近似值： 约率： 密率： ③　历史地位：祖冲之将圆周率精确到小数点后7位，这一纪录保持了近1000年，直到15世纪才被阿拉伯数学家阿尔·卡西打破。这是中国古代数学在世界数学史上的最高成就之一。 (4)近代与现代：符号确立与计算机计算 ①　符号确立：1706年，英国数学家威廉·琼斯首次使用希腊字母 代表圆周率；1737年，大数学家欧拉推广使用该符号，从此 成为国际通用符号。 ②　现代计算：随着微积分的发展和计算机技术的出现，圆周率的计算位数呈指数级增长。截至2020年代， 已被计算至小数点后数十万亿位。 【典型例题】圆的周长除以直径的商叫做( )，用字母( )表示，世界上最早计算出它的值在3.1415926和3.1415927之间的是我国( )朝时期著名的数学家( )。 【对应练习】圆周率是( )的比值，用( )表示，是一个( )小数，在计算是通常取近似值为( )。 巩固提升 一、填空题 1．圆周率表示一个圆的( )和( )的倍数关系。( )年以后开始用字母π表示圆周率。 2．1500多年前，我国著名数学家祖冲之继承并发展自刘徽的“割圆术”，将圆周率推算至小数点后7位，即( )——( )之间，该圆周率近似值被称为“祖率”。 3．( )国的著名数学家( )把圆周率精确到3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率精确到小数点后第七位的人。 4．我国古代的数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的记载，指同一个圆中，圆的周长大约是( )的3倍。 5．我国南北朝时期的数学家( )得到了π的两个分数形式的近似值：约率为( )，密率为( )，并且算出π的值在( )和( )之间。 二、判断题 6．圆周率是一个固定的数，用字母π表示，π＝3.14。( ) 7．圆周率是一个循环小数。( ) 8．半径是5厘米的圆的圆周率比直径是5厘米的圆的圆周率大。( ) 三、选择题 9．古希腊数学家（    ）发现：当正多边形的边数增加时，它的形状就越来越接近圆。 A．祖冲之 B．阿基米德 C．爱迪生 D．牛顿 10．我国魏晋时期的数学家（    ），采用“割圆术”得到圆周率的近似值是3.14。 A．墨子 B．祖冲之 C．刘徽 D．华罗庚 11．1500年前，我国南北朝时期著名的数学家（    ）算出圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，得到约率为，密率为。 A．刘徽 B．祖冲之 C．杨辉 D．阿基米德 12．下面关于圆周率π的说法正确的是（    ）。 A．π是圆的周长与这个圆的直径的商 B．π是循环小数 C．π＝3.14 D．π是圆的周长与这个圆的半径的商 13．我国古代数学家祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后第7位的人。通常圆周率保留两位小数约是（    ）。 A．3.13 B．3.14 C．3.15 D．3.16 四、解答题 14．简述刘徽所生活的朝代、代表著作以及在数学上的主要成就。 15．在《九章算术》第一章“方田”中有这样的叙述：“今有圆田，周①三十步②，径③十步。”当时圆周率的精确度并不高，试根据条件推算出当时圆周率的取值。 ①周：周长。 ②步：旧制长度单位。 ③径：直径。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 圆周率的历史 知识导航 知识点梳理 难易度 知识点 1：圆周率的历史 知识点精讲 知识点 1：圆周率的历史 1.圆周率的定义：任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用希腊字母 表示。 (1)公式表达： （其中 为周长， 为直径） 2.圆周率的性质： (1) 是一个无限不循环小数（无理数）。 (2)在小学阶段，通常取近似值 。 (3)注意： ，而是 3.圆周率的历史演变脉络 (1)早期萌芽：经验估算时期 ①　古埃及与古巴比伦：早在公元前2000年左右，古埃及人通过测量发现圆周率约为 ，古巴比伦人估算为 。这些数值虽然粗糙，但标志着人类开始尝试量化圆的性质。 ②　《圣经》记载：在古代希伯来文献中，隐含的圆周率值为 。这说明早期文明多采用“径一周三”的粗略估算。 (2)中国古典数学的突破：从“径一周三”到科学计算 ①　《周髀算经》：中国最早的天文学和数学著作之一，其中记载了“径一周三”，即 。这在当时满足了简单的工程需求，但随着精度要求提高，误差逐渐显现。 ②　刘徽与“割圆术”（魏晋时期）： 方法：刘徽首创“割圆术”。他提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。” 原理：利用圆内接正多边形逼近圆。当正多边形的边数无限增加时，其周长无限接近圆的周长。这是极限思想的早期体现。 成果：刘徽计算出 （徽率），将圆周率精度提高到小数点后4位。 (3)巅峰时刻：祖冲之与“祖率” ①　人物：南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之（公元429-500年）。 ②　成就：祖冲之在刘徽的基础上，继续运用割圆术，将正多边形边数增加至24576边。他得出圆周率在 3.1415926 和 3.1415927 之间。提出了两个分数近似值： 约率： 密率： ③　历史地位：祖冲之将圆周率精确到小数点后7位，这一纪录保持了近1000年，直到15世纪才被阿拉伯数学家阿尔·卡西打破。这是中国古代数学在世界数学史上的最高成就之一。 (4)近代与现代：符号确立与计算机计算 ①　符号确立：1706年，英国数学家威廉·琼斯首次使用希腊字母 代表圆周率；1737年，大数学家欧拉推广使用该符号，从此 成为国际通用符号。 ②　现代计算：随着微积分的发展和计算机技术的出现，圆周率的计算位数呈指数级增长。截至2020年代， 已被计算至小数点后数十万亿位。 【典型例题】圆的周长除以直径的商叫做( )，用字母( )表示，世界上最早计算出它的值在3.1415926和3.1415927之间的是我国( )朝时期著名的数学家( )。 【答案】 圆周率 π 南北 祖冲之 【分析】圆的周长除以直径的商叫做圆周率，是圆周率的定义，用字母π表示。世界上最早精确计算圆周率的人是我国南北朝时期的数学家祖冲之。 【详解】圆的周长除以直径的商叫做（圆周率），用字母（π）表示，世界上最早计算出它的值在3.1415926和3.1415927之间的是我国（南北朝）朝时期著名的数学家（祖冲之）。 【对应练习】圆周率是( )的比值，用( )表示，是一个( )小数，在计算是通常取近似值为( )。 【答案】 周长与直径 π 无限不循环 3.14 【详解】圆周率是周长与直径的比值，用π表示，是一个无限不循环小数，在计算时通常取近似值为3.14。 巩固提升 一、填空题 1．圆周率表示一个圆的( )和( )的倍数关系。( )年以后开始用字母π表示圆周率。 【答案】 周长 直径 1736 【分析】根据教材中关于圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率；1736年后开始用字母“π”表示，据此解答。 【详解】圆周率表示一个圆的周长和直径的倍数关系，1736年以后开始用字母π表示圆周率。 2．1500多年前，我国著名数学家祖冲之继承并发展自刘徽的“割圆术”，将圆周率推算至小数点后7位，即( )——( )之间，该圆周率近似值被称为“祖率”。 【答案】 3.1415926 3.1415927 【详解】圆周率是一个无限不循环小数，它是3.14159265…，由此可知，小数点后的第七位是6，第八位还有数，那么这个数是比3.1415926大，并且比3.1415927小。 3．( )国的著名数学家( )把圆周率精确到3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率精确到小数点后第七位的人。 【答案】 中国 祖冲之 【详解】根据关于圆周率的历史，中国的著名数学家祖冲之把圆周率精确到3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后第七位的人。 4．我国古代的数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的记载，指同一个圆中，圆的周长大约是( )的3倍。 【答案】直径 【分析】“周三径一”是我国古代对圆的周长与直径关系的近似描述，意思是在同一个圆里，周长大约是直径的3倍，这也是古代对圆周率π的早期近似值。 【详解】我国古代的数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的记载，指同一个圆中，圆的周长大约是直径的3倍。 5．我国南北朝时期的数学家( )得到了π的两个分数形式的近似值：约率为( )，密率为( )，并且算出π的值在( )和( )之间。 【答案】 祖冲之 3.1415926 3.1415927 【分析】根据对我国圆周率历史的深刻了解以及对圆周率的了解即可解答。 【详解】我国古代科学家祖冲之早在1500年前就精确地推算出圆周率π的值在3.1415926和3.1415927之间，并用分数给出了π的两个近似值：约率和密率。 二、判断题 6．圆周率是一个固定的数，用字母π表示，π＝3.14。( ) 【答案】× 【分析】根据题意，圆周率π是一个无限不循环小数，3.14只是它的近似值，并非精确等于3.14，据此解答。 【详解】圆周率π是无限不循环小数，π≈3.14，并非π＝3.14，故该说法错误。 故答案为：× 7．圆周率是一个循环小数。( ) 【答案】× 【分析】圆周率是圆的周长与直径的比值，用π表示，它是一个无限不循环小数。循环小数的定义是小数部分有无限重复的数字序列，而π的小数部分既不循环也不终止，因此不是循环小数。 【详解】根据圆周率的定义，π是一个无限不循环小数，而循环小数必须有无限重复的循环节。由于π的小数部分没有重复的循环节，因此原题说法错误。 故答案为：× 8．半径是5厘米的圆的圆周率比直径是5厘米的圆的圆周率大。( ) 【答案】× 【分析】根据圆周率的含义“圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率”可知：圆周率是定值，不随圆的大小的变化而变化；进而解答即可。 【详解】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率”可知：圆周率是固定的值。 半径是5厘米的圆的圆周率比直径是5厘米的圆的圆周率大此说法是错误的。 故答案为：× 三、选择题 9．古希腊数学家（    ）发现：当正多边形的边数增加时，它的形状就越来越接近圆。 A．祖冲之 B．阿基米德 C．爱迪生 D．牛顿 【答案】B 【分析】由题可知，找出发现“当正多边形的边数增加时，它的形状就越来越接近圆”的古希腊数学家。 【详解】A．祖冲之是中国古代数学家，不符合题意； B．阿基米德是古希腊数学家，在《圆的度量》中用正多边形逼近圆的方法计算圆周率，符合题意； C．爱迪生是美国发明家，与该数学发现无关，不符合题意； D．牛顿是英国物理学家、数学家，与该数学发现无关，不符合题意。 10．我国魏晋时期的数学家（    ），采用“割圆术”得到圆周率的近似值是3.14。 A．墨子 B．祖冲之 C．刘徽 D．华罗庚 【答案】C 【分析】根据常识，我国魏晋时期的数学家刘徽采用割圆术得到圆周率的近似值是3.14。 【详解】我国魏晋时期的数学家刘徽，采用“割圆术”得到圆周率的近似值是3.14。 11．1500年前，我国南北朝时期著名的数学家（    ）算出圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，得到约率为，密率为。 A．刘徽 B．祖冲之 C．杨辉 D．阿基米德 【答案】B 【分析】问题指定了“我国”，所以应该关注中国数学家，并且注意求出的圆周率的精度即可选择。 【详解】A．刘徽是魏晋时期数学家，他计算过圆周率，但精度较低（约3.1416），不满足题意。 B．祖冲之是南北朝时期的著名数学家，他首次将圆周率精确计算到小数点后七位（3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927），并提出了约率和密率，满足题意。 C．杨辉是宋代数学家，主要研究组合数学（如杨辉三角），与圆周率无关，不满足题意。 D．阿基米德是古希腊数学家，非中国数学家，不符合“我国”要求；他计算过圆周率，但精度不足（约3.1408 ＜ π ＜ 3.1429），不满足题意。 故答案为：B 12．下面关于圆周率π的说法正确的是（    ）。 A．π是圆的周长与这个圆的直径的商 B．π是循环小数 C．π＝3.14 D．π是圆的周长与这个圆的半径的商 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式（C表示圆的周长，d表示圆的直径），可得，即是圆的周长与这个圆的直径的商，然后分析选项。 【详解】A.是圆的周长与这个圆的直径的商，说法正确。 B.是无限不循环小数，不是循环小数，说法错误。   C.但，说法错误。   D.是圆的周长与直径的商，不是与半径的商，说法错误。 故答案为：A 13．我国古代数学家祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后第7位的人。通常圆周率保留两位小数约是（    ）。 A．3.13 B．3.14 C．3.15 D．3.16 【答案】B 【分析】圆的周长除以直径的商是个固定的数，我们把它叫作圆周率，用希腊字母π表示，约为3.1415926……，保留两位小数需要看第三位小数进行四舍五入。 【详解】因为圆周率约为3.1415926……，第三位小数是1，小于5应舍去。所以保留两位小数约是3.14。 故答案为：B 四、解答题 14．简述刘徽所生活的朝代、代表著作以及在数学上的主要成就。 【答案】见详解 【分析】根据刘徽的生平以及数学历史，作答即可。 【详解】答：刘徽生活在三国时代； 代表著作有《九章算术注》； 主要成就：算术上给出了系统的分数算法、各种比例算法、求最大公约数的方法，代数上有方程术、正负数加减法则的建立和开平方或开立方方法，在几何上有割圆术及徽率。 【点睛】本题考查了数学历史，掌握刘徽在数学上的成就是解题的关键。 15．在《九章算术》第一章“方田”中有这样的叙述：“今有圆田，周①三十步②，径③十步。”当时圆周率的精确度并不高，试根据条件推算出当时圆周率的取值。 ①周：周长。 ②步：旧制长度单位。 ③径：直径。 【答案】30÷10＝3 【分析】圆周率等于周长除以直径，根据题意，周长相当于30步，直径相当于10步，依此列式计算即可。 【详解】 答：当时圆周率的取值是3。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $