（新课预习）第7讲 修复铜镜（讲义）-2026-2027学年六年级数学暑假衔接培优讲义（北师大版·新教材）

第7讲 修复铜镜 知识导航 知识点梳理 难易度 知识点 1：确定圆的圆心与半径（残破圆形复原核心） 知识点 2：圆与正方形的位置关系（铜镜外接正方形） 知识点 3：生活中圆的实际应用 知识点 4：圆的对称性总结 知识点精讲 知识点 1：确定圆的圆心与半径（残破圆形复原核心） 1.圆的基础特征：圆有无数条对称轴，每条直径所在直线都是圆的对称轴；同一个圆内所有半径长度相等，所有直径长度相等，直径 = 2× 半径。 2.残破圆形找圆心方法（铜镜复原实操） 方法 1：对折法 取圆形残片，沿圆弧任意两处对折，两条折痕都是直径，两条直径的交点就是圆心；圆心到圆弧边缘的线段就是半径。 方法 2：旋转补全法 以圆弧上任意一点为参照，旋转残片补齐完整圆形，完整圆形中心即为圆心。 3.复原圆形条件：残片必须包含一段完整圆弧（能找到 2 条及以上直径），只有零星碎片、无连续圆弧无法复原。 【典型例题】仅有零星无圆弧的铜镜碎片，能否复原完整圆形？为什么？ 【答案】不能，无连续完整圆弧，无法确定圆心和半径。 【分析】复原完整圆形的核心条件是残片带有连续圆弧，无圆弧则无法找点作弦、找圆心。 【详解】复原残破圆形需要依托圆弧取点，绘制弦与垂直平分线确定圆心、半径。零星碎片没有连续圆弧，无法找到有效点位作图，因此不能复原完整圆形。 【对应练习】任意一块铜镜残片都能复原出完整圆形。（ ） 【答案】× 【分析】复原圆形的前提是残片带有连续圆弧，能作出两条相交的直径；如果残片只有零散碎片、没有连续圆弧，无法找到圆心，不能复原。 【详解】只有包含一段连续圆弧的残片，才能通过弦的垂直平分线找到圆心；像图片里第④块星形碎片，无完整圆弧，不能复原完整圆形。 知识点 2：圆与正方形的位置关系（铜镜外接正方形） 1.圆形铜镜外接正方形：正方形四条边都与圆相切，此时正方形的边长 = 圆的直径。 2.已知残圆画外接正方形步骤：先确定圆心、画出完整圆形，再过圆上下、左右四个切点作垂直直线，围成正方形。 【典型例题】一个圆形铜镜的外接正方形边长20厘米，这个铜镜的直径是多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】圆形外接正方形的边长与圆的直径长度相等，可直接对应得出数据。 【详解】根据圆与外接正方形的位置关系，正方形四边与圆相切，边长等于圆的直径，因此铜镜直径=20厘米。 【对应练习】画圆形的外接正方形，需要借助圆的几个切点？ 【答案】4个 【分析】圆形上下、左右各有1个切点，共4个切点，是绘制外接正方形的关键点位。 【详解】绘制圆的外接正方形时，需找到圆最上、最下、最左、最右4个切点，过切点作垂直直线，四条直线相交即可围成外接正方形。 知识点 3：生活中圆的实际应用 制作和圆形桌面大小一致的保护垫，需要测量圆的直径（或半径），依据直径 / 半径计算圆的大小，裁剪对应圆形软垫。 【典型例题】要裁剪一张和圆形脸盆完全贴合的圆形垫片，只需测量脸盆的半径对吗？ 【答案】对 【分析】圆的大小由半径或直径唯一确定，知道半径即可确定圆的整体尺寸。 【详解】圆的大小由半径决定，测量出圆形脸盆的半径，即可按照相同半径裁剪垫片，保证垫片与脸盆大小完全贴合，因此说法正确。 【对应练习】已知圆形茶几半径40cm，制作同款保护垫，茶几直径是多少？ 【答案】80cm 【分析】同圆中直径是半径的2倍，代入数据即可计算。 【详解】根据圆的基本公式d=2r，直径=2×40=80（cm），即茶几直径为80cm。 知识点 4：圆的对称性总结 圆是轴对称图形，对称轴是直径所在直线，有无数条；利用对称性可以补全残缺圆形。 【典型例题】同一个圆中，半径的长度是直径的（ ）。 【答案】一半 【分析】根据圆的基础特征，同一个圆内直径长度=2×半径，可推出半径是直径的一半。 【详解】在同圆或等圆中，直径由两条等长的半径组成，公式表示为d=2r，因此r=d÷2，即半径长度是直径的。 【对应练习】利用圆的对称性补全残破铜镜，依据的是圆的什么特性？ 【答案】圆是轴对称图形，直径所在直线是圆的对称轴。 【分析】圆的轴对称性是残缺圆形补全的核心依据，沿对称轴对折可还原完整圆形轮廓。 【详解】圆有无数条对称轴，任意一条直径所在直线都能将圆分成完全相同的两部分，依托该对称特性，可通过对折、补画对称轮廓的方式修复残破铜镜。 巩固提升 一、填空题 1.圆有（ ）条对称轴，每条对称轴都是（ ）所在的直线。 【答案】无数；直径 【分析】圆沿任意一条直径对折，两边完全重合，因此直径所在直线都是对称轴，直径有无数条。 【详解】将圆沿直径对折，两侧图形完全重合，说明直径所在直线是对称轴；圆内可画出无数条直径，故有无数条对称轴。 2.复原残破铜镜时，两条直径的交点是圆的（ ），圆心到圆弧的线段是圆的（ ）。 【答案】圆心；半径 【分析】直径都经过圆心，交点就是圆心；圆心到圆上任意一点的线段定义为半径。 【详解】直径的定义是经过圆心、两端在圆上的线段，多条直径相交于圆心；圆心到圆弧（圆上点）的线段长度为半径。 3.圆形铜镜外接正方形，正方形的边长等于圆的（ ）。 【答案】直径 【分析】外接正方形四边与圆相切，横向、纵向最大长度都是圆的直径。 【详解】圆左右最远两点距离为直径，对应正方形水平边长；上下最远两点距离为直径，对应正方形竖直边长，边长等于直径。 4.要制作和圆形桌面一样大的保护垫，需要测量桌面的（ ）或（ ）。 【答案】直径；半径 【分析】圆的大小由半径 / 直径决定，知道其一就能确定圆整体大小。 【详解】直径 ÷2 = 半径，只要测出直径或半径，就能确定圆的尺寸，裁剪匹配的保护垫。 5.同一个圆内，直径长度是半径的（ ）倍。 【答案】2 【分析】直径由两条半径首尾相连组成，基础圆的数量关系。 【详解】直径 = 圆心到左端点半径 + 圆心到右端点半径，所以直径 = 2× 半径。 6.如图是一面圆形铜镜残片。如果想画一个和铜镜大小一样的圆，圆规两脚之间张开的距离是( )cm。 【答案】4 【分析】根据圆的画法可知：圆规两脚之间张开的距离是圆的半径；已知铜镜的直径，求圆的半径，由d＝2r，代入数值计算，据此解答。 【详解】8÷2＝4（cm） 所以，圆规两脚之间张开的距离是4cm。 二、判断题 7.只要是铜镜碎片，都能复原完整圆形。（ ） 【答案】× 【分析】无连续圆弧的碎片无法作弦、找圆心，不能复原。 【详解】复原圆形必须有一段连续圆弧，若碎片只有尖角、无圆弧，无法确定圆心半径，不能复原。 8.圆的一条直径可以把圆分成完全相同的两部分。（ ） 【答案】√ 【分析】直径是圆的对称轴，沿直径对折两边完全重合。 【详解】沿直径对折，圆左右两侧图形完全重合，两部分大小、形状完全相同。 三、选择题 9.下列哪种残片可以复原完整圆形（ ） A. 只有尖角无圆弧碎片 B. 带有大半段连续圆弧的残片 C. 星形零散碎片 D. 极小一点铜渣 【答案】B 【分析】只有带连续圆弧的残片能取点作弦，找到圆心。 【详解】A、C、D 均无连续圆弧，无法画出两条弦，找不到圆心；B 有连续圆弧，可取 3 个点作垂直平分线确定圆心。 10.圆的对称轴有多少条（ ） A.1 条 B.2 条 C.10 条 D. 无数条 【答案】D 【分析】圆有无数条直径，每条直径都是对称轴。 【详解】过圆心可以画出无数条直径，每条直径所在直线都是对称轴，因此有无数条。 11.圆形铜镜外接正方形边长 18cm，铜镜的直径是（ ） A.9cm B.18cm C.36cm D. 无法确定 【答案】B 【分析】外接正方形边长等于圆直径。 【详解】正方形边长 = 圆直径，题目边长 18cm，因此铜镜直径 18cm。 12.给圆形餐桌做保护垫，不需要测量的数据是（ ） A. 桌面半径 B. 桌面直径 C. 桌面周长 D. 桌子高度 【答案】D 【分析】桌子高度和圆形桌面大小无关，不影响软垫尺寸。 【详解】半径、直径、周长都能计算圆的大小；桌子高度只代表桌子高矮，和圆形软垫尺寸无关。 四、解答题 13.一块圆形铜镜外接正方形边长 14.6cm，铜镜的半径是多少厘米？ 【答案】7.3 厘米 【分析】正方形边长 = 圆直径，半径 = 直径 ÷2。 【详解】 直径 = 正方形边长 = 14.6cm 半径 = 14.6÷2=7.3（cm） 答：铜镜半径 7.3 厘米。 14.一张圆形圆桌直径 120cm，要铺和桌面一样大的圆形保护垫，保护垫的半径是多少？ 【答案】60 厘米 【分析】半径 = 直径 ÷2，软垫和桌面大小一致，半径相同。 【详解】 120÷2=60（cm） 答：保护垫半径为 60 厘米。 15.铜镜是我国古代青铜艺术文化遗产中的瑰宝。工作人员考古时发现一面龙纹铜镜残片，为修复这面圆形铜镜，需要画出样稿，请你在图上试一试。 （1）画一画。先找出铜镜的圆心，再画一画，将铜镜的轮廓补充完整。 （2）写一写。你是怎么找到圆心的？注意保留找圆心的痕迹，并简要写出过程。 【答案】见详解 【分析】（1）（2）在圆弧上任意找两点，连接这两点，再画一条经过两点中点的垂线，用同样的方法再画一条垂线，两垂线的交点就是圆心；确定圆心后，圆心到圆上的距离即为半径，用圆规确定半径将圆补充完整即可。 【详解】（1）如图： （2）在圆弧上任意找两点AB，连接AB，利用圆规和直尺经过AB中点作垂线；再在圆弧上找一点C，连接BC，利用圆规和直尺经过BC的中点作垂线，两垂线的交点即是圆心。（合理即可） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 修复铜镜 知识导航 知识点梳理 难易度 知识点 1：确定圆的圆心与半径（残破圆形复原核心） 知识点 2：圆与正方形的位置关系（铜镜外接正方形） 知识点 3：生活中圆的实际应用 知识点 4：圆的对称性总结 知识点精讲 知识点 1：确定圆的圆心与半径（残破圆形复原核心） 1.圆的基础特征：圆有无数条对称轴，每条直径所在直线都是圆的对称轴；同一个圆内所有半径长度相等，所有直径长度相等，直径 = 2× 半径。 2.残破圆形找圆心方法（铜镜复原实操） 方法 1：对折法 取圆形残片，沿圆弧任意两处对折，两条折痕都是直径，两条直径的交点就是圆心；圆心到圆弧边缘的线段就是半径。 方法 2：旋转补全法 以圆弧上任意一点为参照，旋转残片补齐完整圆形，完整圆形中心即为圆心。 3.复原圆形条件：残片必须包含一段完整圆弧（能找到 2 条及以上直径），只有零星碎片、无连续圆弧无法复原。 【典型例题】仅有零星无圆弧的铜镜碎片，能否复原完整圆形？为什么？ 【对应练习】任意一块铜镜残片都能复原出完整圆形。（ ） 知识点 2：圆与正方形的位置关系（铜镜外接正方形） 1.圆形铜镜外接正方形：正方形四条边都与圆相切，此时正方形的边长 = 圆的直径。 2.已知残圆画外接正方形步骤：先确定圆心、画出完整圆形，再过圆上下、左右四个切点作垂直直线，围成正方形。 【典型例题】一个圆形铜镜的外接正方形边长20厘米，这个铜镜的直径是多少厘米？ 【对应练习】画圆形的外接正方形，需要借助圆的几个切点？ 知识点 3：生活中圆的实际应用 制作和圆形桌面大小一致的保护垫，需要测量圆的直径（或半径），依据直径 / 半径计算圆的大小，裁剪对应圆形软垫。 【典型例题】要裁剪一张和圆形脸盆完全贴合的圆形垫片，只需测量脸盆的半径对吗？ 【对应练习】已知圆形茶几半径40cm，制作同款保护垫，茶几直径是多少？ 知识点 4：圆的对称性总结 圆是轴对称图形，对称轴是直径所在直线，有无数条；利用对称性可以补全残缺圆形。 【典型例题】同一个圆中，半径的长度是直径的（ ）。 【对应练习】利用圆的对称性补全残破铜镜，依据的是圆的什么特性？ 巩固提升 一、填空题 1.圆有（ ）条对称轴，每条对称轴都是（ ）所在的直线。 2.复原残破铜镜时，两条直径的交点是圆的（ ），圆心到圆弧的线段是圆的（ ）。 3.圆形铜镜外接正方形，正方形的边长等于圆的（ ）。 4.要制作和圆形桌面一样大的保护垫，需要测量桌面的（ ）或（ ）。 5.同一个圆内，直径长度是半径的（ ）倍。 6.如图是一面圆形铜镜残片。如果想画一个和铜镜大小一样的圆，圆规两脚之间张开的距离是( )cm。 二、判断题 7.只要是铜镜碎片，都能复原完整圆形。（ ） 8.圆的一条直径可以把圆分成完全相同的两部分。（ ） 三、选择题 9.下列哪种残片可以复原完整圆形（ ） A. 只有尖角无圆弧碎片 B. 带有大半段连续圆弧的残片 C. 星形零散碎片 D. 极小一点铜渣 10.圆的对称轴有多少条（ ） A.1 条 B.2 条 C.10 条 D. 无数条 11.圆形铜镜外接正方形边长 18cm，铜镜的直径是（ ） A.9cm B.18cm C.36cm D. 无法确定 12.给圆形餐桌做保护垫，不需要测量的数据是（ ） A. 桌面半径 B. 桌面直径 C. 桌面周长 D. 桌子高度 四、解答题 13.一块圆形铜镜外接正方形边长 14.6cm，铜镜的半径是多少厘米？ 14.一张圆形圆桌直径 120cm，要铺和桌面一样大的圆形保护垫，保护垫的半径是多少？ 15.铜镜是我国古代青铜艺术文化遗产中的瑰宝。工作人员考古时发现一面龙纹铜镜残片，为修复这面圆形铜镜，需要画出样稿，请你在图上试一试。 （1）画一画。先找出铜镜的圆心，再画一画，将铜镜的轮廓补充完整。 （2）写一写。你是怎么找到圆心的？注意保留找圆心的痕迹，并简要写出过程。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $