（新课预习）第5讲 圆的认识（一）（讲义）-2026-2027学年六年级数学暑假衔接培优讲义（北师大版·新教材）

第5讲 圆的认识（一） 知识导航 知识点梳理 难易度 知识点 1：圆的概念及特点 知识点 2：画圆 知识点精讲 知识点 1：圆的概念及特点 1. 圆的定义 (1)直观理解：圆是由到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。 (2)对比区别：以前学过的长方形、正方形、三角形等都是由线段围成的直线图形，而圆是由曲线围成的曲线图形。 2. 圆的基本要素 在认识圆时，需要掌握以下三个关键概念： 名称 符号表示 定义 特点 圆心 圆中心的一点叫做圆心。 圆心确定圆的位置。 半径 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 半径决定圆的大小。在同一圆内，有无数条半径，长度都相等。 直径 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 在同一圆内，有无数条直径，长度都相等。直径是圆内最长的线段。 注意：判断一条线段是否为直径，必须同时满足两个条件：① 经过圆心；② 两端都在圆上。 3. 同圆或等圆中半径与直径的关系 (1)所有的半径长度相等，所有的直径长度相等。 (2)直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 (3)字母公式表示： 【典型例题1】在下边的图形中，点O是( )，线段OA是( )，线段BC是( )。 【答案】 圆心 半径 直径 【分析】圆心决定圆的位置。 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 通过圆心并且两端都在圆上的线段都叫做直径。 【详解】点O是（圆心），线段OA是（半径），线段BC是（直径）。 【典型例题2】圆之所以被选作车轮的形状，是因为圆心到圆上任意一点的距离都( )，这个距离就是圆的( )。 【答案】 相等 半径 【详解】根据圆的定义，圆心到圆上任意一点的距离都相等，这个距离就是圆的半径。车轮选用圆形正是利用了这个性质，车轮滚动时，作为圆心位置的车轴，高度始终保持不变，车辆行驶才会平稳。 【对应练习1】如图，圆的直径是( )厘米，长方形的宽是( )厘米。 【答案】 12 12 【分析】由题意可知：长方形的长即圆直径的2倍，长方形的宽即圆的直径，根据题图可知长方形的长为24厘米，由此解答即可。 【详解】由题图可知圆的直径是24÷2＝12（厘米），长方形的宽是圆的直径即12厘米。 【对应练习2】家里的圆形餐桌，它的位置由( )决定，桌面的大小由( )决定。半径和直径的关系用字母表示是( )。 【答案】 圆心 半径 d＝2r 【分析】圆的基本性质，圆心决定圆的位置，所以圆形餐桌的位置由圆心决定；圆的大小由半径决定，半径越长，桌面的面积就越大；最后根据半径和直径的定义，直径是通过圆心且两端在圆上的线段，长度是半径的2倍，因此用字母表示为d＝2r或r＝。 【详解】家里的圆形餐桌，它的位置由圆心决定，桌面的大小由半径决定。半径和直径的关系用字母表示是d＝2r。 知识点 2：画圆 1. 常用工具：圆规 画圆最标准、最常用的工具是圆规。使用圆规画圆体现了“一中同长”的几何原理（即圆心固定，半径长度不变）。 2. 画圆步骤（三步法） 使用圆规画圆时，请遵循以下规范步骤： (1)定圆心（定点）： ①　把圆规带有针尖的一脚固定在纸上的一点，这个点就是圆心（通常标记为 ）。 ②　作用：确定圆的位置。 (2)定半径（定长）： ①　调整圆规两脚之间的距离，使其等于所需的半径长度。 ②　作用：确定圆的大小。 ③　提示：若题目要求画直径为 的圆，需先计算半径 ，再调整圆规开度。 (3)旋转一周： ①　手握圆规顶端手柄，将装有铅笔芯的一脚紧贴纸面，围绕圆心旋转一周。 ②　注意：旋转时，针尖脚不能移动，两脚间的距离（半径）保持不变，身体可略微倾斜以便顺畅旋转。 【典型例题】画一个直径为4厘米的圆，并标出圆心、半径和直径。 【答案】 （以实际测量为准） 【分析】画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【详解】直径4厘米的圆，半径为厘米，先以任意一点为圆心，用圆规有针尖的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为厘米进行旋转一周，得到的图形就是我们要画的圆，最后标注圆心，画出半径和直径。 【对应练习】请用圆规画一个半径为2cm的圆，标出圆心和半径，并说明圆心和半径的作用。 【答案】见详解； 圆心的作用：圆心确定了圆的位置； 半径的作用：半径决定了圆的大小。半径越大，画出的圆就越大；半径越小，画出的圆就越小。 【分析】用圆规画一个半径为2cm的圆的步骤如下：把圆规的两脚分开，定好两脚之间的距离为2厘米，这个距离就是圆规两脚间的跨度，也就是要画圆的半径。把有针尖的一只脚固定在一点上，这个点就是圆心，用字母O表示。把装有铅笔尖的一只脚绕圆心旋转一周，就画出一个半径为2厘米的圆。在圆上用字母r标注出半径，并在圆心处标上字母O。 圆心和半径的作用：圆心：圆心确定了圆的位置。半径：半径决定了圆的大小。半径越大，画出的圆就越大；半径越小，画出的圆就越小。 【详解】 圆心的作用：圆心确定了圆的位置。 半径的作用：半径决定了圆的大小。半径越大，画出的圆就越大；半径越小，画出的圆就越小。 巩固提升 一、选择题 1．观察下图，下面说法错误的是（    ）。 A．线段OC是半径 B．点O是圆心 C．线段AB是直径 D．线段OC与线段OA的长度不相等 【答案】D 【分析】画圆时，针尖固定的一点是圆心；连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径，半径决定圆的大小，在同一个圆内有无数条半径，所有的半径都相等；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，直径是圆中最长的线段，在同一个圆内有无数条直径，据此解答。 【详解】A．分析可知，点C在圆上，点O是圆心，所以线段OC是半径，该选项说法正确； B．分析可知，点O是圆心，该选项说法正确； C．分析可知，线段AB通过圆心并且两端都在圆上，所以线段AB是直径，该选项说法正确； D．分析可知，线段OC与线段OA都是半径，所以线段OC与线段OA的长度相等，该选项说法错误。 故答案为：D 2．（    ）决定圆的位置。 A．圆心 B．半径 C．直径 D．无法确定 【答案】A 【分析】圆有圆心、半径、直径、周长等要素。其中，圆心是圆的中心，它在平面中的位置确定了圆所在的位置；半径是从圆心到圆上任意一点的线段长度，它决定圆的大小；直径是通过圆心且两端在圆上的线段，长度为半径的两倍，同样决定圆的大小；周长是围绕圆一周的长度，其数值由半径决定。 【详解】A．根据圆的定义，圆心的位置确定了圆在平面内的位置，所以该选项正确。 B．半径的长度决定了圆的大小，而不是位置，所以该选项错误。 C．直径的长度同样决定了圆的大小，而不是位置，所以该选项错误。 D．圆的位置是可以确定的，由圆心决定，所以该选项错误。 故答案为：A 3．用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是3厘米，画出的圆的半径是（    ）厘米。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】用圆规画圆，两脚之间的距离就是所画圆的半径，题目距离为3厘米，半径就是3厘米。 【详解】用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是3厘米，画出的圆的半径是3厘米。 4．如图，放学后淘气和笑笑以同样的速度沿直线回家，他们俩（    ）。 A．笑笑先到家 B．淘气先到家 C．同时到家 D．无法确定谁先到家 【答案】A 【分析】由题意可知，淘气和笑笑的速度相同，比较他们走的路程，谁走的路程少谁先到家，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，直径是圆中最长的线段，据此解答。 【详解】分析可知，直径是圆中最长的线段，则学校到淘气家的路程比学校到笑笑家的路程多，所以放学后淘气和笑笑以同样的速度沿直线回家，他们俩笑笑先到家。 故答案为：A 5．在一个长8厘米、宽6厘米的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的半径是（    ）。 A．3厘米 B．4厘米 C．6厘米 D．8厘米 【答案】B 【分析】在一个长8厘米、宽6厘米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的直径以长方形的长边画图；半径是直径的一半，据此解答。 【详解】（厘米） 因此，在一个长8厘米、宽6厘米的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的半径是4厘米。 故选：B。 二、判断题 6．把一个圆形纸片上下对折并完全重合，打开后得到的折痕不一定通过圆心。( ) 【答案】× 【分析】把圆形纸片对折并完全重合，说明折痕两侧的图形能够完全重合，折痕所在的直线即为圆的对称轴。圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线，而直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，据此判断。 【详解】由题意可知折痕将圆分成了两个完全相同的半圆。此时，折痕所在的直线是圆的对称轴。 根据圆的特征，圆的对称轴是直径所在的直线，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段。所以，打开后得到的折痕一定通过圆心。 原题说法错误。 故答案为：× 7．圆心和半径都能决定圆的大小。( ) 【答案】× 【分析】圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。因此，圆心不能决定圆的大小。 【详解】圆心是圆的中心点，它决定了圆在平面上的位置。半径是圆心到圆上任意一点的距离，它决定了圆的尺寸。所以，圆心只能决定圆的位置，不能决定圆的大小；半径决定圆的大小。原题说法错误。 故答案为：× 8．圆的半径长度是直径的一半，直径长度是半径的2倍。( ) 【答案】× 【分析】在同圆或等圆中，半径的长度是直径的一半，直径的长度是半径的2倍，如果不是相同或者半径相等的圆，它们的直径和半径不存在直接的数量关系，据此解答。 【详解】由圆的特征可知，在同圆或等圆中，圆的半径长度是直径的一半，直径长度是半径的2倍，题目中没有说明前提条件“同圆或者等圆中”，所以题目说法错误。 故答案为：× 9．正方形内画一个最大的圆，圆的直径等于正方形对角线的长度。( ) 【答案】× 【分析】根据题意，作图如下： 从图中即可判断圆的直径与正方形的边长相等。据此解答。 【详解】根据分析可得： 正方形内画一个最大的圆，圆的直径等于正方形边长的长度。原题说法错误。 故答案为：× 三、填空题 10．下图中，点O是圆的( )，它确定了这个圆的( )；线段OC是圆的( )，它确定了这个圆的( )；线段( )是圆的直径。如果线段OC长3cm，那么线段AB长( )cm。 【答案】 圆心 位置 半径 大小 AB 6 【分析】根据圆的相关概念进行解答即可； 圆心确定圆的位置；半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，半径决定圆的大小；直径是通过圆心，且两端都在圆上的线段，同一个圆内，直径是半径的2倍。 【详解】点O是圆的圆心，它确定了这个圆的位置； 线段OC是圆的半径，它确定了这个圆的大小； 线段AB是圆的直径，如果线段OC长3cm，，那么线段AB长6cm。 11．在同一个圆中，半径都( )，直径有( )条。 【答案】 相等 无数 【详解】 如图，连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，在同一个圆中，半径都相等，直径有无数条。 12．填表。 半径/cm 4.6 0.75 直径/cm 12 9.8 【答案】6；4.9； 9.2；1.5 【分析】圆的半径＝直径÷2；圆的直径＝半径×2。据此分别求出直径半径。 【详解】 半径/cm 4.6 6 4.9 0.75 直径/cm 9.2 12 9.8 1.5 13．用圆规画圆时，如果圆规两脚间的距离是1cm，那么圆的半径是( )cm；如果圆规两脚间的距离是2cm，那么圆的直径是( )cm。 【答案】 1 4 【分析】圆规两脚间的距离等于圆的半径，据此求出圆的半径；直径＝半径×2，据此求出圆的直径。 【详解】圆规两脚间的距离是1cm，圆的半径是1cm。 2×2＝4（cm） 用圆规画圆时，如果圆规两脚间的距离是1cm，那么圆的半径是1cm；如果圆规两脚间的距离是2cm，那么圆的直径是4cm。 14．如图，一个长方形中有两个大小一样的圆，则每个圆的半径是( )厘米，长方形的宽是( )厘米。 【答案】 5 10 【分析】观察图形可知：长方形的长是圆的半径的3倍，长方形的宽是圆的半径的2倍。且长方形的长是15厘米，据此分析即可。 【详解】15÷3＝5（厘米） 5×2＝10（厘米） 所以图中一个长方形中有两个大小一样的圆，则每个圆的半径是5厘米，长方形的宽是10厘米。 15．如图，长方形的长是( )cm，宽是( )cm。 【答案】 15 10 【分析】观察图形可知，圆的半径是5cm，长方形的长等于圆半径的3倍，长方形的宽等于圆半径的2倍，据此求出长方形的长和宽。 【详解】5×3＝15（cm） 5×2＝10（cm） 长方形的长是（15）cm，宽是（10）cm。 四、作图题 16．画出一个以点O为圆心，OA为半径的圆。 【答案】见详解 【分析】画圆时，圆规针尖的一端在点O处，笔芯的一端在点A处，绕点O旋转一周即可。 【详解】 17．画出一个直径为5厘米的圆，再在圆内画出最大正方形。 【答案】见详解 【分析】先确定一点为圆的圆心，以2.5厘米（5÷2＝2.5厘米）为半径画圆；要在圆内画最大正方形，该正方形的对角线需等于圆的直径，先画出圆的两条互相垂直的直径，再依次连接直径与圆的四个交点，即可得到圆内最大正方形。 【详解】5÷2＝2.5（厘米） 如图： 五、解答题 18．一个长方形内有三个相同的圆（如下图所示），这个长方形长18厘米，它的面积是多少平方厘米？ 【答案】108平方厘米 【分析】由题意可知，长方形的长等于三个圆的直径之和，所以用18÷3即可计算出圆的直径，也就是长方形的宽，根据长方形面积＝长×宽进行计算。 【详解】18÷3＝6（厘米） 18×6＝108（平方厘米） 答：它的面积是108平方厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 圆的认识（一） 知识导航 知识点梳理 难易度 知识点 1：圆的概念及特点 知识点 2：画圆 知识点精讲 知识点 1：圆的概念及特点 1. 圆的定义 (1)直观理解：圆是由到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。 (2)对比区别：以前学过的长方形、正方形、三角形等都是由线段围成的直线图形，而圆是由曲线围成的曲线图形。 2. 圆的基本要素 在认识圆时，需要掌握以下三个关键概念： 名称 符号表示 定义 特点 圆心 圆中心的一点叫做圆心。 圆心确定圆的位置。 半径 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 半径决定圆的大小。在同一圆内，有无数条半径，长度都相等。 直径 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 在同一圆内，有无数条直径，长度都相等。直径是圆内最长的线段。 注意：判断一条线段是否为直径，必须同时满足两个条件：① 经过圆心；② 两端都在圆上。 3. 同圆或等圆中半径与直径的关系 (1)所有的半径长度相等，所有的直径长度相等。 (2)直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 (3)字母公式表示： 【典型例题1】在下边的图形中，点O是( )，线段OA是( )，线段BC是( )。 【典型例题2】圆之所以被选作车轮的形状，是因为圆心到圆上任意一点的距离都( )，这个距离就是圆的( )。 【对应练习1】如图，圆的直径是( )厘米，长方形的宽是( )厘米。 【对应练习2】家里的圆形餐桌，它的位置由( )决定，桌面的大小由( )决定。半径和直径的关系用字母表示是( )。 知识点 2：画圆 1. 常用工具：圆规 画圆最标准、最常用的工具是圆规。使用圆规画圆体现了“一中同长”的几何原理（即圆心固定，半径长度不变）。 2. 画圆步骤（三步法） 使用圆规画圆时，请遵循以下规范步骤： (1)定圆心（定点）： ①　把圆规带有针尖的一脚固定在纸上的一点，这个点就是圆心（通常标记为 ）。 ②　作用：确定圆的位置。 (2)定半径（定长）： ①　调整圆规两脚之间的距离，使其等于所需的半径长度。 ②　作用：确定圆的大小。 ③　提示：若题目要求画直径为 的圆，需先计算半径 ，再调整圆规开度。 (3)旋转一周： ①　手握圆规顶端手柄，将装有铅笔芯的一脚紧贴纸面，围绕圆心旋转一周。 ②　注意：旋转时，针尖脚不能移动，两脚间的距离（半径）保持不变，身体可略微倾斜以便顺畅旋转。 【典型例题】画一个直径为4厘米的圆，并标出圆心、半径和直径。 【对应练习】请用圆规画一个半径为2cm的圆，标出圆心和半径，并说明圆心和半径的作用。 巩固提升 一、选择题 1．观察下图，下面说法错误的是（    ）。 A．线段OC是半径 B．点O是圆心 C．线段AB是直径 D．线段OC与线段OA的长度不相等 2．（    ）决定圆的位置。 A．圆心 B．半径 C．直径 D．无法确定 3．用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是3厘米，画出的圆的半径是（    ）厘米。 A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，放学后淘气和笑笑以同样的速度沿直线回家，他们俩（    ）。 A．笑笑先到家 B．淘气先到家 C．同时到家 D．无法确定谁先到家 5．在一个长8厘米、宽6厘米的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的半径是（    ）。 A．3厘米 B．4厘米 C．6厘米 D．8厘米 二、判断题 6．把一个圆形纸片上下对折并完全重合，打开后得到的折痕不一定通过圆心。( ) 7．圆心和半径都能决定圆的大小。( ) 8．圆的半径长度是直径的一半，直径长度是半径的2倍。( ) 9．正方形内画一个最大的圆，圆的直径等于正方形对角线的长度。( ) 三、填空题 10．下图中，点O是圆的( )，它确定了这个圆的( )；线段OC是圆的( )，它确定了这个圆的( )；线段( )是圆的直径。如果线段OC长3cm，那么线段AB长( )cm。 11．在同一个圆中，半径都( )，直径有( )条。 12．填表。 半径/cm 4.6 0.75 直径/cm 12 9.8 13．用圆规画圆时，如果圆规两脚间的距离是1cm，那么圆的半径是( )cm；如果圆规两脚间的距离是2cm，那么圆的直径是( )cm。 14．如图，一个长方形中有两个大小一样的圆，则每个圆的半径是( )厘米，长方形的宽是( )厘米。 15．如图，长方形的长是( )cm，宽是( )cm。 四、作图题 16．画出一个以点O为圆心，OA为半径的圆。 17．画出一个直径为5厘米的圆，再在圆内画出最大正方形。 五、解答题 18．一个长方形内有三个相同的圆（如下图所示），这个长方形长18厘米，它的面积是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $