（新课预习）第6讲 圆的认识（二）（讲义）-2026-2027学年六年级数学暑假衔接培优讲义（北师大版·新教材）

第6讲 圆的认识（二） 知识导航 知识点梳理 难易度 知识点 1：圆的轴对称性 知识点 2：与圆相关的轴对称图形 知识点精讲 知识点 1：圆的轴对称性 1. 圆是轴对称图形 圆具有完美的对称性。将圆沿任意一条通过圆心的直线对折，两边都能完全重合。因此，圆是轴对称图形。 2. 圆的对称轴是什么？ (1)定义关联：圆的每一条直径所在的直线，都是它的对称轴。 (2)关键辨析（易错点）： ❌ 错误说法：“圆的直径是圆的对称轴。” ✅ 正确说法：“圆的直径所在的直线是圆的对称轴。” 理由：直径是一条线段，有长度；而对称轴是一条直线，无限延伸。两者概念不同，但位置重合。 3. 圆有多少条对称轴？ (1)结论：圆有无数条对称轴。 (2)推导：因为通过圆心可以画无数条直径，每一条直径所在的直线都是对称轴，所以圆有无数条对称轴。 (3)操作技巧：在纸上画圆时，只要找到圆心，过圆心画任意直线即为对称轴。 4. 利用对称性找圆心 如果一个圆形物体（如硬币、光盘）没有标出圆心，可以利用轴对称性找到它： (1)将圆形纸片对折一次，得到一条折痕（直径）。 (2)换个方向再对折一次，得到另一条折痕（直径）。 (3)两条折痕的交点即为圆心。 【典型例题】圆的对称轴有（    ）条。 A．1 B．2 C．无数 D．3 【答案】C 【分析】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，直线叫做对称轴。圆是轴对称图形，圆有无数条直径，每条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴，据此解答。 【详解】根据分析可知，圆的对称轴有无数条。 故答案为：C 【对应练习1】下列图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A．正方形 B．等边三角形 C．圆 D．梯形 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 【详解】 A．正方形有四条对称轴； B．等边三角形有三条对称轴； C．圆有无数条对称轴； D．普通梯形没有对称轴，等腰梯形有1条对称轴。 所以，对称轴条数最多的是圆。 【对应练习2】一张圆形的纸，至少要对折( )次，才能看到圆心。 【答案】2 【分析】直径是圆内最长的线段，它经过圆心，两条直径的交点就是圆心。一个圆形纸片对折1次，折出它的1条直径，对折2次，折出它2条直径（互相垂直）。 【详解】一张圆形的纸，至少要对折2次，才能看到圆心。 知识点 2：与圆相关的轴对称图形 1. 常见基本图形的对称性复习 图形名称 是否轴对称 对称轴数量 对称轴特征 半圆 是 1条 垂直平分直径的直线 圆环 是 无数条 过圆心的任意直线 扇形 是 1条 圆心角的角平分线所在直线 正方形 是 4条 2条对角线 + 2组对边中点连线 长方形 是 2条 2组对边中点连线 等边三角形 是 3条 3个顶点到对边中点的连线 2. 组合图形的对称轴判断方法 案例 A：圆内接正方形 / 外切正方形 (1)图形描述：一个圆里面有一个最大的正方形，或一个正方形外面有一个最小的圆。 (2)分析： ①　圆有无数条对称轴。 ②　正方形有4条对称轴。 ③　公共部分：正方形的4条对称轴也都经过圆心，因此也是圆的对称轴。 (3)结论：该组合图形有 4条 对称轴。 案例 B：圆内接长方形 / 外切长方形 (1)图形描述：圆与长方形组合（非正方形）。 (2)分析： ①　长方形只有2条对称轴（对边中点连线）。 ②　这2条直线也经过圆心，是圆的对称轴。 (3)结论：该组合图形有 2条 对称轴。 案例 C：同心圆（圆环） (1)图形描述：两个圆心重合的大小不同的圆。 (2)分析：两个圆的圆心相同，所有过圆心的直线既是小圆的对称轴，也是大圆的对称轴。 (3)结论：圆环有 无数条 对称轴。 3. 作图规范与考试要点 (1)画对称轴：必须使用直尺和铅笔，画出虚线，并超出图形边界少许，表示直线无限延伸。 (2)标注：若题目要求，可用字母 或文字“对称轴”标注。 (3)判断步骤： ①　第一步：看形状，想象对折。 ②　第二步：找关键点（如圆心、顶点、中点）。 ③　第三步：验证对折后是否完全重合（不仅轮廓重合，内部线条也要重合）。 【典型例题】下面的四个图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义，分别找出四个选项中图形的对称轴条数，再进行比较。如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这条直线就是它的对称轴。 【详解】 A．有3条对称轴； B．同心圆有无数条对称轴； C．有3条对称轴； D．有4条对称轴。 【对应练习】画出下面各图形的所有对称轴。 【答案】见详解 【分析】对称轴定义：沿一条直线对折图形，折叠后两侧能完全重合，这条直线就是该图形的对称轴，两个图形的对称轴情况如下： 左图（1个大圆＋左右两个相等小圆） 一共有条对称轴： ① 经过三个圆的圆心的水平直线； ② 过中间大圆的圆心、垂直于上述水平连线的竖直直线。 右图（圆内接正方形） 一共有条对称轴： 分别是正方形对边中点连线所在的水平直线、竖直直线（都过圆心），以及正方形的两条对角线所在直线，共4条。 【详解】 巩固提升 一、填空题 1．将圆沿( )对折，正好完全( )，所以圆是( )图形，( )所在的直线是它的对称轴。 【答案】 直径 重合 轴对称 直径 【分析】将一个图形沿着某条直线对折，左右两边能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线是这个图形的对称轴；根据题意可知，沿着圆的一条直径对折，直径两边的半圆完全重合，说明它是轴对称图形，因为圆有无数条直径，所以每条直径所在的直线都是圆的对称轴，据此分析。 【详解】根据分析，将圆沿直径对折，正好完全重合，所以圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。 2．圆有( )条对称轴，任意两条对称轴的交点是它的( )。 【答案】 无数 圆心 【详解】经过圆心并且两端都在圆上的线段叫圆的直径，直径所在直线就是圆的对称轴，圆有无数条直径，所以对称轴也是无数条。在一个圆中两条不同对称轴，它们都经过圆心，所以它们的交点就是这个圆的圆心。 3．填一填。 图形 正方形 长方形 平行四边形 圆 等腰三角形 等边三角形 有几条对称轴 【答案】4；2；0；无数；1；3 【分析】根据对称轴的定义进行解答，如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做该图形的对称轴； 正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴；平行四边形不是轴对称图形，没有对称轴； 圆有无数条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴。 【详解】正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，平行四边形有0条对称轴，圆有无数条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴。 4．用两个大小不同的圆组成的所有图形中，对称轴最少有( )条，最多有( )条。 【答案】 1/一 无数 【分析】大小不同的圆可以组成很多种不同的图形，对称轴的条数也不一样，其中最少的一种是圆心的位置不同时，这时对称轴是经过两个圆的圆心的直线，最多的一种是两个圆的圆心相同时，这时对称轴就是经过圆心的直径，有无数条。 【详解】用两个大小不同的圆组成的所有图形中，两个大小不同的圆的圆心的位置不同时； 两个圆的圆心相同时，这时对称轴就是经过圆心的直径，有无数条，即最多有无数条。 5．填一填。 (1)如图所示的是一个圆形瓶盖，它的直径是( )cm。 (2)照样子测一测铅笔的直径，测得的是( )cm。 【答案】(1)2.5 (2)0.7 【分析】直尺测量物体长度的方法，通过读取物体两端对应的刻度值，计算差值即为圆形物体直径。 （1）测量圆形瓶盖直径时，利用两个三角板辅助测量，读取圆形瓶盖两端对应的刻度值， 用末端刻度减去起始刻度得到直径。 （2）要测量铅笔直径，可采用与测量圆形瓶盖相同的方法，即借助两个三角板将铅笔卡住，使铅笔处于水平且与直尺平行状态，读取铅笔两端对应的刻度，再用末端刻度减去起始刻度，得到的差值就是铅笔的直径。 【详解】（1）圆形瓶盖左端对齐刻度3.0cm，右端对齐刻度5.5cm，直径为：。 （2）照样子测，测得铅笔的直径为0.7cm。 6．如下图：圆的半径是( )cm，直径是( )cm，这个图形有( )条对称轴。 【答案】 3 6 1 【分析】观察图形可知，圆的半径等于长方形的宽，再根据直径＝半径×2，代入数据，求出直径；轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。直线叫做对称轴；据此解答。 【详解】圆的半径是3cm； 3×2＝6（cm） 这个图形有1条对称轴。 圆的半径是3cm，直径是6cm，这个图形有1条对称轴。 二、判断题 7．长方形、正方形、平行四边形、圆等图形都是轴对称图形。( ) 【答案】× 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折，左右两边能够完全重合，那么它是轴对称图形。据此一一分析长方形、正方形、平行四边形、圆是否是轴对称图形即可。 【详解】长方形是轴对称图形，它有2条对称轴； 正方形是轴对称图形，它有4条对称轴； 平行四边形不是轴对称图形； 圆是轴对称图形，它有无数条对称轴； 所以，长方形、正方形、平行四边形、圆等图形不都是轴对称图形。原题干说法错误。 故答案为：× 8．圆、圆环和半圆都有无数条对称轴。( ) 【答案】× 【分析】依据轴对称图形的定义，在同一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形，这条直线叫对称轴。我们分别逐个分析圆、圆环、半圆三个图形的对称轴数量，据此即可进行判断。 【详解】圆：圆心是圆的中心点，只要直线经过圆心，沿这条直线对折，圆左右两边一定完全重合。经过圆心可以画出无数条直线，因此圆有无数条对称轴。 圆环：圆环由两个同心圆形构成，所有经过共同圆心的直线，对折后内外圆环两边都能完全重合，同理，过圆心的直线数量无限，圆环也有无数条对称轴。 半圆：半圆是圆形沿一条直径分割后的一半图形，只有垂直于半圆直径、过半圆圆心的唯一一条直线，对折后两边能完全重合，因此半圆只有1条对称轴，没有无数条。 所以说圆、圆环、半圆是轴对称图形，并且有无数条对称轴说法错误。 故答案为：× 9．如图有3条对称轴。( ) 【答案】√ 【分析】如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线就是其对称轴。 图中外面是圆，里面是等边三角形，圆的对称轴是过圆心的直线，等边三角形本身有3条对称轴，而等边三角形的3条对称轴均过圆心，因此该组合图形的对称轴与等边三角形的对称轴一致。据此解答。 【详解】 如图有3条对称轴，所以原题说法正确。 故答案为：√ 三、选择题 10．下列图形中，对称轴条数最少的是（    ）。 A．等腰三角形 B．正方形 C．圆 D．长方形 【答案】A 【分析】在同一平面内，如果一个图形沿一条直线对折后两部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 【详解】A．等腰三角形有1条对称轴； B．正方形有4条对称轴； C．圆有无数条对称轴； D．长方形有2条对称轴； 因为1＜2＜4＜无数，所以对称轴条数最少的是等腰三角形。 11．下列图案中，是轴对称图形的是（       ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】 A．没有对称轴，不是轴对称图形； B．没有对称轴，不是轴对称图形； C．没有对称轴，不是轴对称图形； D．有对称轴，是轴对称图形。 12．下列图形中，（    ）有无数条对称轴。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解答。 【详解】 A．，有无数条对称轴。 B．，有1条对称轴。 C．，有3条对称轴。 D．，有4条对称轴。 有无数条对称轴。 四、作图题 13．画一个半径是1cm的圆，并画出这个圆的一条对称轴。 【答案】画图见详解 【分析】根据画圆的方法：先把圆规的两脚分开，定好距离，也就是半径的长度，把有针尖的一点固定在一点上，也就是圆心，带有铅笔的那只脚绕圆心旋转一周，就画成了一个圆；通过圆心的任意一条直径所在的直线都是圆的一条对称轴，据此作图。 【详解】画图如下： （对称轴画法不唯一） 14．在下面的长方形中，画一个最大的圆，并画出其中一条对称轴。 【答案】见详解 【分析】长方形内最大的圆，直径等于长方形的宽，圆心在长方形的中心（连接长方形两条对角线，交点就是圆心），再以交点为圆心、宽的一半为半径画圆，就得到最大的圆；经过圆心，沿长方形任意一条对称轴画直线即可。（答案不唯一） 【详解】 （答案不唯一） 15．请画出轴对称图形的2条对称轴。 【答案】见详解 【分析】轴对称的定义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。据此解答。 【详解】如图：（画法不唯一） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 圆的认识（二） 知识导航 知识点梳理 难易度 知识点 1：圆的轴对称性 知识点 2：与圆相关的轴对称图形 知识点精讲 知识点 1：圆的轴对称性 1. 圆是轴对称图形 圆具有完美的对称性。将圆沿任意一条通过圆心的直线对折，两边都能完全重合。因此，圆是轴对称图形。 2. 圆的对称轴是什么？ (1)定义关联：圆的每一条直径所在的直线，都是它的对称轴。 (2)关键辨析（易错点）： ❌ 错误说法：“圆的直径是圆的对称轴。” ✅ 正确说法：“圆的直径所在的直线是圆的对称轴。” 理由：直径是一条线段，有长度；而对称轴是一条直线，无限延伸。两者概念不同，但位置重合。 3. 圆有多少条对称轴？ (1)结论：圆有无数条对称轴。 (2)推导：因为通过圆心可以画无数条直径，每一条直径所在的直线都是对称轴，所以圆有无数条对称轴。 (3)操作技巧：在纸上画圆时，只要找到圆心，过圆心画任意直线即为对称轴。 4. 利用对称性找圆心 如果一个圆形物体（如硬币、光盘）没有标出圆心，可以利用轴对称性找到它： (1)将圆形纸片对折一次，得到一条折痕（直径）。 (2)换个方向再对折一次，得到另一条折痕（直径）。 (3)两条折痕的交点即为圆心。 【典型例题】圆的对称轴有（    ）条。 A．1 B．2 C．无数 D．3 【对应练习1】下列图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A．正方形 B．等边三角形 C．圆 D．梯形 【对应练习2】一张圆形的纸，至少要对折( )次，才能看到圆心。 知识点 2：与圆相关的轴对称图形 1. 常见基本图形的对称性复习 图形名称 是否轴对称 对称轴数量 对称轴特征 半圆 是 1条 垂直平分直径的直线 圆环 是 无数条 过圆心的任意直线 扇形 是 1条 圆心角的角平分线所在直线 正方形 是 4条 2条对角线 + 2组对边中点连线 长方形 是 2条 2组对边中点连线 等边三角形 是 3条 3个顶点到对边中点的连线 2. 组合图形的对称轴判断方法 案例 A：圆内接正方形 / 外切正方形 (1)图形描述：一个圆里面有一个最大的正方形，或一个正方形外面有一个最小的圆。 (2)分析： ①　圆有无数条对称轴。 ②　正方形有4条对称轴。 ③　公共部分：正方形的4条对称轴也都经过圆心，因此也是圆的对称轴。 (3)结论：该组合图形有 4条 对称轴。 案例 B：圆内接长方形 / 外切长方形 (1)图形描述：圆与长方形组合（非正方形）。 (2)分析： ①　长方形只有2条对称轴（对边中点连线）。 ②　这2条直线也经过圆心，是圆的对称轴。 (3)结论：该组合图形有 2条 对称轴。 案例 C：同心圆（圆环） (1)图形描述：两个圆心重合的大小不同的圆。 (2)分析：两个圆的圆心相同，所有过圆心的直线既是小圆的对称轴，也是大圆的对称轴。 (3)结论：圆环有 无数条 对称轴。 3. 作图规范与考试要点 (1)画对称轴：必须使用直尺和铅笔，画出虚线，并超出图形边界少许，表示直线无限延伸。 (2)标注：若题目要求，可用字母 或文字“对称轴”标注。 (3)判断步骤： ①　第一步：看形状，想象对折。 ②　第二步：找关键点（如圆心、顶点、中点）。 ③　第三步：验证对折后是否完全重合（不仅轮廓重合，内部线条也要重合）。 【典型例题】下面的四个图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【对应练习】画出下面各图形的所有对称轴。 巩固提升 一、填空题 1．将圆沿( )对折，正好完全( )，所以圆是( )图形，( )所在的直线是它的对称轴。 2．圆有( )条对称轴，任意两条对称轴的交点是它的( )。 3．填一填。 图形 正方形 长方形 平行四边形 圆 等腰三角形 等边三角形 有几条对称轴 4．用两个大小不同的圆组成的所有图形中，对称轴最少有( )条，最多有( )条。 5．填一填。 (1)如图所示的是一个圆形瓶盖，它的直径是( )cm。 (2)照样子测一测铅笔的直径，测得的是( )cm。 6．如下图：圆的半径是( )cm，直径是( )cm，这个图形有( )条对称轴。 二、判断题 7．长方形、正方形、平行四边形、圆等图形都是轴对称图形。( ) 8．圆、圆环和半圆都有无数条对称轴。( ) 9．如图有3条对称轴。( ) 三、选择题 10．下列图形中，对称轴条数最少的是（    ）。 A．等腰三角形 B．正方形 C．圆 D．长方形 11．下列图案中，是轴对称图形的是（       ）。 A． B． C． D． 12．下列图形中，（    ）有无数条对称轴。 A． B． C． D． 四、作图题 13．画一个半径是1cm的圆，并画出这个圆的一条对称轴。 14．在下面的长方形中，画一个最大的圆，并画出其中一条对称轴。 15．请画出轴对称图形的2条对称轴。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $