期末重组精练卷-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦八年级下册核心知识，以随县香菇销售等现实情境为载体，通过新定义、动态几何等问题设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选题|10|二次根式、分式、一次函数、四边形判定|结合图像（一次函数）、新定义（符号min/max）考查几何直观与抽象能力| |填空题|6|因式分解、分式方程、三角形中位线、平行四边形性质|设置开放性问题（如分式方程解的范围），渗透运算能力| |解答题|11|几何证明、函数应用、动态探究、阅读材料|21题以地方特产销售构建函数模型，26题动态几何探究培养推理能力，27题阅读材料渗透整体思想|

期末重组精练卷-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若、均不为0，将下列分式中的和都变为原来的2倍，分式值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 3．已知一次函数的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 4．四边形中，若，则这个四边形是（     ） A．一般梯形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．平行四边形 5．如图，为的中位线，点F在上，且平分，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，在中，，，点在上（不与，重合），点在的延长线上，且，于．连接，．则下列为定值的是（    ） A． B． C． D． 7．对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如：，．若关于的函数为，则该函数的最小值是（     ） A．2 B．1 C．0 D． 8．如图，将两张边长为的正方形纸片和两张长、宽分别为，的矩形纸片拼成一个大的矩形．该过程所揭示的关于因式分解的等式是（     ） A． B． C． D． 9．九年级师生去距学校的某红色教育基地参观学习，一部分师生乘慢车先走，过了后，其余师生乘快车出发，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度．设慢车的速度为，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 10．现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，，使得四边形为平行四边形．甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（     ） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 二、填空题 11．因式分解：________． 12．若，，则的值等于_________． 13．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_________． 14．已知，，则代数式的值为______． 15．如图，点、、、分别是四边形四条边上的中点，，，则四边形的周长是________． 16．如图，平行四边形的对角线交于点O，且，过点A作，垂足为E．若，则的长为________． 三、解答题 17．因式分解： (1)； (2)． 18．解分式方程： (1) (2)． 19．解不等式组： (1)解不等式①得： ； (2)解不等式②得： ； (3)在数轴上表示： (4)原不等式组的解集为： . 20．已知：如图，在中，，，，与相交于点 (1)求证：． (2)若，，求的长． 21．随县是中国现代香菇产业的发源地，享有“中国香菇之乡”“中国花菇之乡”的美誉，闻名海内外．这里出产的香菇肉质厚实，香味浓郁，同时所产的黑木耳口感脆嫩，品质优良，二者均为深受欢迎的优质农特产品．某经销商计划从随县批发一批香菇和木耳进行销售，当月行情如下： 品名 批发进价（元） 市场零售价（元） 香菇 85 98 木耳 90 100 该经销商计划购进这两种特产共，其中香菇的购进量不少于，且不超过木耳购进量的3倍．设购进香菇，总进货费用为元． (1)求关于的函数解析式，并求出的取值范围； (2)若该经销商将购进的特产全部按市场零售价售出，求所获利润（元）关于的函数解析式； (3)在（2）的条件下，当香菇购进多少千克时，所获利润最大？最大利润是多少元？ 22．如图，平行四边形中，，分别平分和，交于点，交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若已知，，求平行四边形的周长． 23．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕点O顺时针旋转一定角度后，点A的对应点落在格点处，则旋转角为 度，并画出旋转后的； (2)将先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，请画出平移后的； (3)仅用无刻度的直尺，作中边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹） 24．在梯形中，，，，，动点从点出发向点运动，动点从点出发，以相同的速度向点运动． (1)如图1，连接、交于点，求证：； (2)过点作，垂足为，当最大时，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中作出线段（保留作图痕迹，不写作法），直接写出的最大值 ． 25．对于任意三个数a、b、c，平均数，最小的数和最大的数都可以给出符号来表示，我们规定表示这三个数的平均数，表示这三个数中的最小的数，表示这三个数中最大的数． 例如：，，，，． (1)请填空：______；若，则______． (2)若，求x的取值范围； (3)若，求满足条件的x的取值范围． 26．如图1，在中，，点是边上的动点，作，与边交于点． (1)如图1，若，，，求的长度； (2)若，，当时，求的长（用含有，的式子表示）； (3)如图2，在的平分线上截取，若，请探究，，的关系，并加以证明． 27．【阅读材料】 材料1：通过乘方的学习我们知道：任何数的平方都是非负数．利用平方结果的非负性可以确定一个代数式值的范围． 例如：∵， ∴． ∴当时，有最小值为2． 材料2：在数学的计算中，我们可以把相同的代数式看作一个整体，这种常见的思想方法称为“整体思想”． 例如：因式分解：． 解：∵， ∴将看成整体，令． 则原式． 将还原，则原式． 【数学理解】 (1)因式分解：； 【拓展探索】 (2)试说明：无论，取何值，代数式的值一定是正数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末重组精练卷-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C C B B D A C 1．A 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ， ∴被开方数需满足非负可得 ． 移项解得． 2．D 【分析】将分别替换为原来的倍，代入各选项化简后，与原分式对比，即可判断分式值是否改变． 【详解】解：将各选项中换为，换为，依次化简判断： A．， 分式值改变，不符合题意； B．， 分式值改变，不符合题意； C．， 分式值改变，不符合题意； D．， 替换后与原分式相等，分式值不变，符合题意． 3．D 【详解】解：根据图象可知：关于x的不等式的解集是． 4．C 【分析】先根据四边形内角和定理求出四个内角的度数，再利用同旁内角互补判断对边的平行关系，进而确定四边形的形状． 【详解】解：， ，，，， ， ， ， 不平行于， 四边形是梯形， ， 四边形是直角梯形． 5．C 【分析】由三角形中位线定理可得，，，则，结合角平分线的定义得出，从而可得，即可得出结果． 【详解】解：∵为的中位线， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．B 【分析】根据平行四边形性质及等腰三角形性质证得与均为等腰直角三角形，进而证得为等腰直角三角形，设，，利用勾股定理分别表示出与，即可发现二者倍数关系． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， 过点作于， ∴， ∵， ∴， 设，， 则，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 可知为定值的是． 7．B 【分析】根据新定义的规则，采用分类讨论思想，先求出两种情况的取值范围，再分别得到对应分段函数的的取值范围，最终得到函数的最小值. 【详解】解：当时， 解不等式得， 解得， 此时， 中随增大而增大， 当时，取得该段最小值，， 当时， 解不等式得， 此时， ， ， ，即， 综上，该函数的最小值是． 8．D 【分析】长方形的面积为，正方形的面积为，面积和为，整个长方形的面积表示为，根据同一个图形的面积相等，建立等式求解即可； 【详解】解：根据题意，得； 9．A 【分析】根据路程、速度、时间的关系，分别表示出慢车和快车走完全程的时间，再根据两车的时间差列出方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得． 10．C 【分析】据作图以及平行四边形的性质与判定分别分析甲，乙证明是平行四边形即可． 【详解】解：甲：由作图可知，，， 四边形是平行四边形， ，，， ∴， ∴， 即， ∵， 四边形是平行四边形； 乙：由作图可知，平分，平分， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ，， ， ，， 四边形是平行四边形； 综上，甲、乙都对． 11． 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 12． 【分析】先利用已知条件，，推导得到，再通过整体代入化简所求分式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 13． 且 【分析】解出分式方程后，根据解为非负数求出的范围，再根据分式方程分母不为零排除增根对应的值，即可得到答案． 【详解】去分母，方程两边同乘，得， 去括号得， 整理得， 分式方程的解为非负数， ， 解得， 又分式分母不能为，即， ，即， 的取值范围是且． 14．8 【分析】先利用完全平方公式将所求代数式因式分解，再代入，的值计算即可得到结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 15． 【分析】根据三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，分别求出四边形各边的长，进而求得周长即可． 【详解】点、、、分别是四边形四条边上的中点， ，分别是，的中位线，，分别是，的中位线， ，，，， ， 即四边形的周长是． 16． 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，求出平行四边形的面积，进而得到的面积，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交于点O， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．(1) (2) 【详解】（1）解：原方程整理为， 方程两边同时乘以，得， 展开得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是； （2）解：， 方程两边同时乘以，得， 展开得， 移项合并同类项得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 19．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先通过移项把常数项移到不等号右侧，再将的系数化为1，得到①的解集； （2）先给不等式两边同乘3消去分母，再通过移项合并同类项，最后将的系数化为1，得到②的解集； （3）在数轴上表示两个解集：如果是大于号就从对应点向右画，小于号就向左画，包含端点用实心点，不包含用空心点； （4）取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解： 移项得， 即， 两边同除以2得：． （2）解： 两边同乘3去分母得 ， 展开得 ， 移项合并得， 两边同除以5得：． （3）在数轴上，处画空心圆圈，向右画线；处画实心圆点，向左画线，数轴略． （4）取两个解集的公共部分，原不等式组的解集为：． 20．(1) 证明：∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据题意，可得，根据直角三角形两锐角互余得，根据等角对等边，可得，最后根据全等三角形的判定方法求证，即可； （2）由（1）得，推出，，根据勾股定理，可得，即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴，， 在中，， ∴， ∴． 21．(1)，的取值范围是 (2) (3)当香菇购进时，最大利润为元 【分析】（1）设购进香菇，则购进木耳，根据总进货费用香菇进货费用木耳进货费用，计算即可得出关于的函数解析式，根据“香菇的购进量不少于，且不超过木耳购进量的3倍”列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围； （2）根据总利润香菇的利润木耳的利润，计算即可得出关于的函数解析式； （3）根据一次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设购进香菇，则购进木耳， 由题意可得， ∵香菇的购进量不少于，且不超过木耳购进量的3倍， ∴， 解得； （2）解：由题意可得； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，为（元）， 故当香菇购进时，最大利润为元． 22．(1)∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，． 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． (2)平行四边形周长为． 【分析】（1）首先利用平行四边形的性质，得到对角相等、对边平行的关系，再结合角平分线的定义，推导和的关系，以及与的位置关系，结合与的平行关系，依据平行四边形的判定定理证明结论. （2）首先根据平行的性质，推导角的等量关系，得到，再结合（1）中平行四边形的性质，得到的长度，进而求出的长度，最后利用平行四边形周长公式计算即可. 【详解】（1）略． （2）解：∵， ， 又平分， ， ∴， ∴． 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∴平行四边形周长为：． 23．(1)90， (2) (3) 【分析】（1）证出，进而求得，即可判断为90度，再进行作图即可； （2）按要求作图即可； （3）先找到中点D，再连接即可． 【详解】（1）解：连接、，过点、分别作轴于点N，轴于点M， 由图可知， ∴， ∴， 即如图所示． （2）略 （3）解：取中点，取格点，作直线交于点D，连接，如图所示，即为所求． 图略 24．(1)证明：∵梯形， ∴， ∴， ∵动点从点出发向点运动，动点从点出发，以相同的速度向点运动， ∴， ∴． (2)解：如图：线段即为所求；的最大值为． 【分析】（1）由梯形的定义以及平行线的性质可得，由题意可知，利用“角边角”即可证明结论； （2）先说明必过的中点O，连接，运用尺规作出的中点O，连接，过O作交于P、Q，线段即为所求．如图：构建直角坐标系，易得，，再利用勾股定理求两点间的距离即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，, ∴必过的中点O， 如图：连接，过点作，则 ∴是的最大值，即点O和点E重合， ∴线段即为所求；作图略 如图：建立直角坐标系，则， ∵的中点O， ∴，即， ∴， ∴的最大值为． 25．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据新定义的计算方法分别进行计算； （2）根据M的计算方法求出M的值，然后根据的计算方法得出不等式组，从而求出 的取值范围； （3）先求出，再分中最大，最大，最大，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴中，最小的数是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴中，最大的数是， ∴； （2）解：∵ ， 又， ∴ ， 解得； （3）解：∵ ， ∴， 当中最大时，则，解得， ∴， ∴，符合题意； 当中最大时，则，解得， ∴，不等式不成立，舍去； 当中最大时，则，解得， ∴， ∴（矛盾，舍去）； 综上，x的取值范围为． 26．(1)； (2)； (3)结论：，证明如下： 连接， 平分，， ， ， 为等边三角形， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在与中 ， ， ， ． 【分析】（1）先利用平行四边形性质求出各内角，结合、推导角度，判定、为含的直角三角形，求出、，再用勾股定理求； （2）在上截取，结合用证，转化线段得到，代入边长求解； （3）连接，先由角平分线、证为等边三角形，得、，结合平行四边形与推出，通过角度等量代换证，再转化线段得到的数量关系． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）解：在上取点，使，连接 ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在与中 ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）略 27．(1) (2)证明：设， ∴ ， ∵， ∴， ∴代数式的值一定是正数． 【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）设，利用完全平方公式原式可变形为，根据平方的非负数的性质即可证明代数式的值一定是正数． 【详解】（1）解： ． （2）解：略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $