第12章定义 命题 证明 假期自主提升综合练习题 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦定义、命题、证明核心概念，通过分层题型构建“概念辨析-命题转化-逻辑推理”三阶训练体系，强化推理意识与数学表达。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-8、填空14|命题识别、定理与逆定理判定|从命题定义到定理性质，构建概念网络| |命题转化|填空9-11、解答17|“如果-那么”结构改写、逆命题构造|体现命题双向转化，强化数学语言表达| |真假判断|单选3-4、填空12-15、解答18-19|反例构造法、真假命题判定规则|通过反例与证明，深化逻辑思维| |推理证明|解答21-25|依据公理/定理推理、补全证明过程|从简单推理到综合证明，培养逻辑推理能力|

2025-2026学年苏科版七年级数学下册《第12章定义 命题 证明》 假期自主提升综合练习题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列语句是命题的是（   ） A．延长线段 B．垂线段最短 C．作直线 D．平行线与垂线 2．对命题“同位角相等”的描述正确的是（    ） A．题设：两个角是同旁内角 B．结论：同位角相等 C．是真命题 D．不是定理 3．下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同位角相等 C．垂线段最短 D．互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角 4．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（   ） A． B． C．0 D．1 5．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 6．关于定理和逆定理，下列说法正确的是（   ） A．定理的逆命题一定是定理 B．定理的逆命题如果正确，就是逆定理 C．每个真命题都有逆定理 D．所有定理都有逆定理 7．下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 8．下列命题中，真命题的个数是（   ） ①钝角大于直角；②对顶角相等；③同位角相等，两直线平行；④如果两条直线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（满分24分） 9．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果____________，那么____________”． 10．“邻补角互补”的逆命题是______，是______命题（填真或假）． 11．命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题______．（填写“成立”或“不成立”） 12．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．这个反例中的x可以为________． 13．命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 14．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 15．给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④如果，，那么．其中真命题有______．（填所有真命题的序号） 16．如图，已知题设：，下列结论中：①；②；③；④．与题设组成的命题是真命题的有______．（填序号） 三、解答题（满分72分） 17．（6分）把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，写出条件和结论，并判断真假． (1)偶数是4的倍数． (2)末位数字是5的整数能被5整除． (3)两负数之积为正数． 18．（6分）用举反例的方法说明下列命题是假命题： (1)如果，则； (2)相等的两个角一定是对顶角； (3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 19．（8分）判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果，那么； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果，那么，． 20．（8分）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 21．（8分）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 22．（8分）（1）已知：如图，直线被直线所截，．求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 23．（8分）已知：如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断下列命题是真命题还是假命题（在横线上直接填“真”或“假”）： ①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是 命题； ②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是 命题． 24．（10分）已知的两边与的两边分别平行，即，试探究：      (1)如图1，与的关系是 ___________ ； (2)如图2，写出与的关系，并说明理由； (3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 25．（10分）（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 参考答案 1．解：、“延长线段”是操作描述，没有对事情作出判断，不是命题； 、“垂线段最短”对线段长度的性质作出了判断，符合命题的定义，是命题； 、“作直线”是操作指令，没有对事情作出判断，不是命题； 、“平行线与垂线”是两个几何名词，没有对事情作出判断，不是命题． 2．解：将命题“同位角相等”改写为“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”由此可得题设为“两个角是同位角”，结论为“这两个角相等” ∵只有两直线平行时，同位角才相等，原命题未限定平行条件，因此原命题是假命题， 又∵定理是经过证明的真命题，原命题为假命题，因此它不是定理，再逐项判断选项： 、题设应为两个角是同位角，本选项错误； 、结论应为“这两个角相等”，本选项错误； 、原命题是假命题，本选项错误； 、原命题是假命题，因此不是定理，本选项正确． 3．解：A、相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不是对顶角，该选项的命题是假命题； B、只有两直线平行时，同位角才相等，该选项的命题是假命题； C、该选项的命题是真命题； D、互补的两个角可以都是直角，该选项的命题是假命题． 4．解：当时，满足，但是， 故A符合题意； 当n=时，满足＜1，但是， 故B不符合题意； 当时，满足，但是， 故C不符合题意； ∵1不符合条件， ∴D不符合题意； 故选A． 5．解：将原命题改写为“如果…那么…”的形式：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行． ∵“如果”引出的已知条件部分是命题的题设， ∴该命题的题设是“两条直线平行于同一条直线”． 6．解：∵定理的逆命题不一定为真，∴ A错误； ∵定理的逆命题如果为真，就是逆定理，∴ B正确； ∵真命题的逆命题不一定为真，∴ 不一定有逆定理，∴ C错误； ∵并不是所有的定理都有逆定理，∴ D错误， 故选B． 7．解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题； C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题； D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题； 故选：B． 8．解：①∵钝角是大于且小于的角，直角为，∴ 钝角大于直角，①是真命题． ②∵对顶角相等是对顶角的性质，∴ ②是真命题． ③ 同位角相等，两直线平行是平行线的判定定理，∴ ③是真命题． ④只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角互补，同旁内角的平分线才互相垂直，命题未说明被截的两条直线平行，∴ ④是假命题． 综上，真命题共有个． 9．解：命题“等角的余角相等”中，“等角的余角”是题设；“相等”是结论．因此改写成“如果两个角是相等的角的余角，那么这两个角相等”． 故答案为：两个角是相等的角的余角，这两个角相等． 10．解：命题“邻补角互补”，它的逆命题是“互补的角是邻补角”，这是一个假命题； 故答案为：互补的角是邻补角，假． 11．解：原命题的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”． 举反例，如，但，所以逆命题不成立． 故答案为：不成立． 12．解：当，则 ，条件成立； 故 为反例． 故答案为2（答案不唯一，即可）． 13．解：命题“如果两个角的和等于，那么这两个角互余”的逆命题是：“如果两个角互余，那么这两个角的和等于”，逆命题是真命题． 故答案为：真． 14．解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 15．解：①一个角的余角不一定大于这个角，反例：的余角是，，故①是假命题； ②如果，那么与不一定是对顶角，反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故②是假命题； ③补角的定义：如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，故③是真命题； ④根据平行线的性质，如果两条直线平行，且其中一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故④是真命题． 故答案为：③④． 16．解：∵ ， ∴，故结论②是真命题， ∵ ， ∴ ， ∴，即，故结论④是真命题； 与是直线与被直线所截形成的内错角，只有当时，才成立，题设未给出，故结论①不是真命题 只有当四边形是平行四边形时，对角才成立，题设仅给出，无法判定四边形是平行四边形，故结论③不是真命题； 综上所述，与题设组成的命题是真命题的有②④． 17．（1）解：如果一个数是偶数，那么这个数是的倍数． 条件是一个数是偶数，结论是这个数是的倍数．是假命题． （2）解：如果一个整数的末位数字是，那么这个数能被整除，条件是一个整数的末位数字是5，结论是这个数能被整除． 条件是一个数是末位数字为的整数，结论是这个数能被整除．是真命题． （3）解：如果两个数是负数，那么它们的积是正数． 条件是两个数是负数，结论是它们的积是正数．是真命题． 18．（1）解：当时，，说明“如果，则”是假命题； （2）解：如图，，但与不是对顶角； 说明“相等的两个角一定是对顶角”是假命题； （3）解：如图，与是同旁内角，但与不互补． 说明“如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”是假命题． 19．（1）解：∵如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题； （2）解：∵，，满足，但不满足； ∴如果，那么，这是假命题，故原命题是假命题； 其逆命题为：如果，那么，这是假命题， 例如：，，满足，但不满足； （3）解：∵相反数的和为零， ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题； （4）解：∵当时，或． ∴原命题是假命题； 逆命题为：如果，那么．逆命题是真命题． 20．（1）解：是假命题，反例： 当时， ，， ∴结论不成立； （2）解：是假命题，反例： 当时， ， ∴结论不成立； （3）解：是真命题，证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）解：是假命题，反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 21．解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 22．解：（1）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结合（1）的过程，得同位角相等，两直线平行以及两直线平行，同位角相等， 即两个互逆的真命题：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 23．（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分． ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行； （3）解：①如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ∴两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行是真命题． 故答案为：真． ②如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互垂直，则原命题是假命题． 故答案为：假． 24．（1）解：，理由如下： 如下图，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如下图，      ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 25．解：（）过作，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （）（）中命题的题设和结论互换后的命题是：点在内部时，，则； 互换后的命题是真命题，理由如下： 过作，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （），理由如下： 设交于，过作，如图： ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $