第9章因式分解 假期自主提升综合练习题 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 以因式分解为核心，整合基础概念、公式应用、拓展方法及综合实践，通过“概念辨析-原理推导-方法迁移-应用创新”逻辑链，渗透整体思想、几何直观等数学思维。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|2题|定义辨析、公因式确定|从因式分解定义出发，构建“整式乘法逆运算”认知基础| |公式应用|6题|平方差/完全平方公式、几何图形解释|结合图形面积推导公式，强化“数与形”转化| |方法拓展|4题|整体代换、分组分解、拆项法|从单一方法到综合策略，培养运算能力与推理意识| |综合应用|8题|配方法、智慧数规律探究、几何证明|链接代数求值与几何性质，发展模型意识与创新意识|

2025-2026学年苏科版八年级数学下册《第9章因式分解》 假期自主提升综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．多项式中，各项的最大公因式是（　　） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 4．琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 5．已知边长为a、b的长方形的周长为18，面积为20，则的值为（     ） A．360 B．180 C．35 D．84 6．=在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（     ） A． B． C． D． 7．如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等的小正方形（两个大小不同的正方形不重合、无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，，，且 ，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．分解因式：______． 9．若将多项式因式分解得，则的值为______． 10．有下列代数式：①；②；③；④．其中，含有因式的是________ （填序号）． 11．若多项式加上一个单项式______，使它可以利用完全平方公式因式分解． 12．因式分解：________． 13．若，则的值为______． 14．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数.例如，，，；因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．如果将智慧数从小到大进行排列，那么第5个智慧数是______，第2026个智慧数是______． 三、解答题 15．分解因式： (1) (2) (3) (4) 16．用简便方法计算： (1) (2) 17．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“a”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)因式分解：______． (2)因式分解：． 18．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)下列各数中，“和谐数”有    ．（填序号） ①12；②20；③45；④60． 【探究问题】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值 ． (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知，比较P，Q的大小． 19．初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）： ②（拆项法）： (2)因式分解的综合运用 ①已知：a、b、c为的三条边，，则的周长为____； ②已知：a、b、c为的三条边，满足，试确定的形状，并说明理由． 20．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式． (1)请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）_____________； (2)请利用图1的卡片，若想得到面积为的图形，需要卡片A____张，卡片B____张，卡片C____张． 参考答案 1．B 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项：是整式乘法，从积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； B选项：，将多项式化为两个整式的积，符合因式分解的定义，符合题意； C选项：是整式乘法，从积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； D选项：，右边是和的形式，不是整式的积，不属于因式分解，不符合题意． 2．A 【分析】根据最大公因式的定义，先求各项系数的最大公约数，再确定各项共有的字母的最低次幂，即可得到结果． 【详解】解：多项式的各项系数为，其绝对值的最大公约数是， 各项都含有的字母为，只出现在第二项，因此公因式不含， 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 该多项式各项的最大公因式为． 3．D 【详解】解： ． 4．B 【详解】解：①； ②，无法使用平方差公式进行因式分解； ③； ④， 该题是②无法使用平方差公式进行因式分解． 5．B 【分析】本题先根据长方形的周长和面积公式得到和的值，再对所求多项式提取公因式因式分解，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵边长为，的长方形周长为，面积为， ∴，， ∴ ∴． 6．B 【详解】解：根据题意得：． 7．A 【分析】设大正方形和小正方形的边长分别为，根据图1和图2列出等式，求出，再根据图3表示出阴影部分面积，代入求解即可． 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长分别为， 根据题意可得：， 即， ， 即，解得：； ， ． 8． 【详解】解：． 9． 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ． 10．①②③ 【分析】对每个代数式进行因式分解，判断分解结果中是否含有因式即可得到答案． 【详解】解：① ，结果含有因式，符合要求； ② ，结果含有因式，符合要求； ③ ，结果含有因式，符合要求； ④ ， 无法分解因式，结果不含有因式，不符合要求． ∴①②③符合题意． 11．或或 【分析】分情况讨论待添加的单项式，使原式符合完全平方公式的形式，即可得到结果． 【详解】解：分情况讨论如下： ①若和为完全平方公式中的两个平方项， 由，，可得中间项为 ． 添加单项式后，可得： ， ，均可利用完全平方公式因式分解，符合要求； ②若为完全平方公式中的中间项，可得：， 添加单项式后，也可利用完全平方公式因式分解，符合要求． 12． 【分析】先对原式变形构造公因式，再提取公因式，最后利用平方差公式进行二次因式分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 13．10 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 14． 【分析】先根据定义推导不同正整数是否为智慧数，总结智慧数的分布规律，再根据规律计算指定序号的智慧数． 【详解】解：设正整数为智慧数，则存在正整数，使得，由平方差公式得： 因为与同奇偶， 因此只能为奇数或的倍数， 若为形如的正整数，为偶数但不是的倍数，因此一定不是智慧数； 对任意大于的奇数，有，因此所有大于的奇数都是智慧数； 对任意大于的的倍数，有，因此所有大于的的倍数都是智慧数； 因此可得规律：将正整数从开始每个分为一组，第一组仅有个智慧数，其余每组都有个智慧数； 从小到大列举智慧数得：第个是，第个是，第个是，第个是，第个是； 计算第个智慧数，第一组有个，剩余需要个，每组有个，因此需要组， 即第个智慧数是第组的最后一个数，为． 15．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 16．(1)41200 (2)3200 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 17．(1) (2) 【分析】（1）仿照材料的解题方法，将看成整体，进行因式分解即可； （2）仿照材料的解题方法，将看成整体，将式子整理后进行因式分解即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“a”还原，得原式． （2）解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“m”还原，得原式． 18．(1)②③ (2) (3)9 (4) 【分析】（1）根据“和谐数”的定义即可求解； （2）根据配方法即可求解； （3）根据配方法写出两个式的平方和的形式即可求解； （4）依据题意，先作差，然后根据配方法，以及非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴12不是“和谐数”， ②∵， ∴20是“和谐数”， ③∵， ∴45是“和谐数”， ④∵， ∴60不是“和谐数”， ∴“和谐数”有②③； （2）解：， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 由题意，∵，M为“和谐数”， ∴当时，， ∴； （4）解：∵， ∴ ∵对于任意实数x，y都有， ∴． ∴． 19．(1)①；② (2)①7；②是等边三角形，理由见详解 【分析】（1）①读懂题意，利用分组法分解因式； ②读懂题意，利用拆项法分解因式； （2）①把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出a、b、c的值，再求和即可． ②把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质得出，即可解答． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解：①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∵，∴三边能构成三角形， 因此三角形周长为． ②是等边三角形，理由如下： ∵， 将等式两边同乘2得：， 分组配方得：， 根据平方的非负性，得， 即， 因此是等边三角形． 20．(1) (2)2，5，3 【分析】（1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案； （2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， 图3的面积为， 又图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ． （2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的 同理可得； 学科网（北京）股份有限公司 $