9.1 因式分解的概念-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

第9章 因式分解 9.1因式 白基础进阶 1.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是 A.a(b+c)=ab+ac B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.a3+2a2-3=a2(a+2)-3 D.(a-b)2=a2-b 2.有两个从左到右的变形，甲：4x2y=2x· 2xy;乙：4x2-8x-1=4x(x一2)-1，则下 列说法中，正确的是 () A.甲、乙均是因式分解 B.甲、乙均不是因式分解 C.甲是因式分解，乙是整式乘法 D.甲是整式乘法，乙是因式分解 3.对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x 1)=x2+2x一3这两个从左到右的变形，表 述正确的是 A.都是因式分解 B.都是整式乘法 C.①是因式分解，②是整式乘法 D.①是整式乘法，②是因式分解 4.有下列从左到右的变形：①a(x十y)=ax十 ay;②10x2-5.x=5.x(2x-1);③y2-4y+ 4=(y-2)2;④t2-16+3t=(t-4)(t+ 4)+3t.其中，是因式分解的有 （填 序号) 5.数形结合思想根据如图所示的拼接过程，写 出一个多项式的因式分解： (第5题) 6.下列从左到右的变形是不是因式分解？如果 不是，请说明理由. 68 分解的概念 ●“答案与解析”见P36 (1)a2-2a+1=a(a-2)+1. (2)(x-1)(x+6)=x2+5x-6. (3)x3-x=x(x+1)(x-1). 0m+4=m1+》, )素能攀升 7.有下列从左到右的变形：①x2-y2一1= (x+y)(x-y)-1;②x3+x=x(x2+1); ③(x-y)2=x2-2xy+y2;④x2-9y2= (x十3y)(x一3y).其中，属于因式分解的有 () A.1个B.2个C.3个 D.4个 8.已知x2+a.x一12能分解成两个系数为整数 的一次因式的积，则整数a的个数为（) A.0 B.2 C.4 D.6 9.21+2°能被 A.3整除B.5整除C.6整除D.11整除 10.把x2+5x+c分解因式，得(x十2)(x+3), 则c的值为 11.当k= 时，二次三项式x2一kx十 12分解因式的结果是(x一4)(x一3). 12.若把多项式x2一3x十n分解因式，得(x一1)· (x十m),则m= ,n= 13.甲、乙两名同学分解因式x2十ax+b时，甲 看错了b的值，分解结果为(x十2)(x十4)： 乙看错了a的值，分解结果为(x+1)(x十 9),则a十b= 14.(1)已知多项式x2+(m十k)x+k可分解 因式为(x十2)(x十4)，求m,k的值 (2)若多项式x4十mx3+nx一16含有因式 x一1和x一2，求mn的值 15.新考法·阅读理解题仔细阅读材料，并仿照其 中一种解法回答问题： 例题：已知二次三项式x2一4x十m有一个 因式为x十3，求另一个因式以及m的值. 解法一：设另一个因式为x十n,得x2 4x十m=(x+3)(x+n),则x2-4x+m= x2+(n+3)x+3m, +3=-4, m=-21, 解得 3n=m, n=-7. ∴.另一个因式为x一7，m的值为一21. 解法二：设另一个因式为x十n,得x2一 4x+m=(x+3)(x+n), ∴.当x=-3时，x2-4x+m=(x十3)· (x+n)=0,即(-3)2-4X(-3)+m=0, 解得m=-21. ∴.x2-4x十m=x2-4x-21=(x+3)· (x-7). ∴.另一个因式为x-7,m的值为-21. 第9章因式分解 (1)若二次三项式x2一px一6分解因式的 结果中有因式x一3，则实数力 (2)已知二次三项式2x2+3x一k有一个因 式为2x+5,求另一个因式及k的值， 思维拓展 16.若关于x的多项式ax3+bx2一2的一个因 式为x2+3x一1，则a+b的值为 17.当a为何值时，多项式x2+7xy+ ay2-5x+43y-24可分解为两个 一次因式的乘积？ 69.BF=√BC+CF=10.∴GH=5. 6.96解析：，四边形ABCD是菱 形，'.OA=OC=8,OB=OD. .AC=16..·DH⊥BC,.∠BHD= 90°..∴.BD=2OH=2×6=12.∴.菱 形ABCD的面积为2AC·BD= 1 X16X12=96. 7.(1)△ABC为等边三角形， .AC=AB,∠C=∠BAF=60°. 又CD=AF, .△CAD≌△ABF .'AD=BF. (2)如图，设AC与DE相交于点H. 由(1)知，△CAD≌△ABF, ∴.∠CAD=∠ABF,AD=BF. ,△ADE和△ABC均是等边三 角形， .∠AED=∠DAE=∠ABC=60°， AD-DE. .'BF=DE. ,∠C=∠AED=60°，∠DHC= ∠AHE, .∠CDH=∠CAE. .∠CAE+∠CAD=∠CBF+ ∠ABF=60°，∠CAD=∠ABF, .∠CBF=∠CAE. .∠CBF=∠CDH. .BF//DE. '.四边形BFED为平行四边形 B (第7题) 8.(1)由折叠的性质，知点B与点E 关于PQ对称. PB=PE,BF=EF,∠BPF= ∠EPF. 又EF∥AB .∠BPF=∠EFP '.∠EPF=∠EFP .EP=EF. ∴.BP=BF=EF=EP .四边形BFEP为菱形， (2),·四边形ABCD是矩形， ∴.BC=AD=5,CD=AB=3,∠A= ∠D=90°. :点B与点E关于PQ对称， .CE=BC=5. 在Rt△CDE中，由勾股定理，得 DE=√/CE2-CD2=4. ∴.AE=AD-DE=1. 设菱形BFEP的边长为x,则EP= BP=x,AP=3-x. 在Rt△APE中，由勾股定理，得 EP2=AE2+AP2,即x2=12+(3 x,解得x=3 .5 ·菱形BFEP的边长为号 9.如图，过，点E分别作EM⊥BC于 点M,EN⊥CD于点N,则∠EMC= ∠ENC=∠END=90°. ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠BCD=90°，AC平分∠BCD. ∴.EM=EN,∠MEN=90. ,四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF=90 ∴.∠DEN+∠NEF=∠FEM+ ∠NEF=90. ∴.∠DEN=∠FEM. 在△DEN和△FEM中， ∠DNE=∠FME=90°， EN=EM, ∠DEN=∠FEM, .∴.△DEN≌△FEM. ∴ED=EF '.矩形DEFG是正方形 D BM F (第9题) 36 第9章因式分解 9.1因式分解的概念 1.B2.B3.C4.②③ 5.x2+6.x+8=(x+2)(x+4) 6.(1)不是因式分解理由：从左到 右的变形不是把一个多项式化成几个 整式的积的形式，故不是因式分解. (2)不是因式分解理由：从左到右 的变形属于整式乘法，故不是因式 分解。 (3)是因式分解. (4)不是因式分解理由：等式右边 不是整式的形式，故不是因式分解. 7.B解析：①中的变形没把一个多 项式转化成几个整式的积的形式，故 ①不是因式分解：②中的变形把一个 多项式转化成几个整式的积的形式， 故②是因式分解；③中的变形是整式 乘法，故③不是因式分解；④中的变形 把一个多项式转化成几个整式的积的 形式，故④是因式分解」 8.D解析：一12可以看作是 -1×12,1×(-12),-2×6,2× (-6),-3×4,3×(-4),∴.整数a 可以是-1+12=11,1+(-12)= -11,-2+6=4,2+(-6)=-4, 一3+4=1,3+（一4）=一1.'.整数a 的个数为6. 9.B解析：2”+2=2×(22+ 1)=2×5,.能被5整除 10.6解析：，(x+2)(x十3)= x2+3x+2x+6=x2+5.x+6,x2+ 5x+c=(x+2)(x+3),.c=6. 11.7解析：(x一4)(x一3)= x2-7.x+12,x2-kx+12=(x-4)· (x一3)，.一k=一7，即k=7. 12.-22解析：(.x一1)(x十 m)=x2+(m-1)x-m,x2-3x+ n=(x-1)(x+m),.m-1= -3,-m=n,解得m=-2,n=2. 13.15解析：(x十2)(x十4)=x2+ 6.x+8,(x+1)(x+9)=x2+10x+ 9.:分解因式x2+a.x十b时，甲看错 了b的值，分解结果为(x十2)(x十 4),乙看错了a的值，分解结果为 (x+1)(x+9),.a=6,b=9. ∴.a+b=15: 14.(1)(x+2)(x+4)=x2十 6.x+8=x2+(m+k)x+k, m+k=6, m=-2, 解得 k=8, k=8. (2)多项式x4十m.x3+n.x-16含 有因式x-1, ∴.当x=1时，1+m+n-16=0,即 m+n=15①. ,多项式x+m.x3十x一16含有因 式x-2, ∴.当x=2时，16+8m+21-16=0, 即4m+n=0②. m=-5, 联立①②，解得{ 72=20. .m=-5×20=-100. 15.(1)1.解析：设另一个因式为 x十a,得x2-x-6=(x-3)(x十 a),则x2-x-6=x2+(a-3)x -3a=-6, a=2, 3a.. 解得 a一3=一p, (p=1. .实数p=1. (2)设另一个因式为x+,得2x2+ 3x一k=(2x+5)(x+n),则2.x2+ 3.x-k=2x2+(21+5)x+5n, 2m+5=3,. n=-1, 解得 5n=-k, k=5. .另一个因式为x一1，k的值为5 16.26解析：设多项式a.x3十bx2 2的另一个因式为mx+2..多项式 a.x3+bx2-2的一个因式为x2+ 3.x-1,.a.x3+bx2-2=(m.x+2)· (x2+3.x-1)=m.x3+(3m+2)x2+ (6-m)x-2.∴.m=a,3m+2=b, 6-m=0.∴.a=6,b=20,m=6. '.a+b=6+20=26. 17.设原式可分解为(x十ky十c)· (x十y+d)(k,c,l,d均为整数). :(x+ky+c)(z+ly+d)=x2+ (k+l)xy+kly2+(c+d)z+(cl+ dk)y+cd, .cd=-24,c+d=-5. ∴.易得c=3,d=-8. .cl+dk=43 ..3l-8k=43 k+1=7, .k=一2，l=9 ∴.a=kl=-18,即当a=-18时，多 项式x2+7.xy+ay2-5x+43y-24 可以分解为两个一次因式的乘积 9.2提公因式法 1.A2.C3.(1)ab(a+b) (2)a(m+1)(3)a(a-b)(2b-a) 4.-48 5.(1)5(x-y+x). (2)3.x2y2(3.xy-7x+4) (3)(b+c)(3a-2). (4)(2a-b)(y-x). (5)3(2x+y)(x-y). 6.B解析：一a2+ab=a(b-a), ab2-a2b=ab(b-a),:.-a2+ab 与ab2-ab的公因式为a(b-a).故 A不符合题意.mx十y与x十y没有 公因式.故B符合题意.一a b=-(a+b),∴.(a十b)2与-a- b的公因式为a十b.故C不符合题 意.5m(x-y)=-5m(y-x), .5m(x一y)与y一x的公因式为 y一x.故D不符合题意， 7.B解析：：长、宽分别为a,b的 矩形的周长为20，面积为16，.a+ b=10,ab=16..'a2b-ab2=ab(a+ b)=16×10=160. 8.D解析：(m+1)(m一1)+(m 1)=(m-1)(m+1+1)=(m-1)· (m+2)..把多项式(m+1)(m 37 1)+(m-1)提取公因式m-1后，另 一个因式为m+2. 9.(1)(a+b)(ab-1) 解析：原 式=ab(a+b)-(a+b)=(a+b)· (ab-1). (2)5(x一5)(x一1)解析：原式= (x-5)(5.x-2-3)=(.x-5)(5x 5)=5(x-5)(x-1) (3)(2a一b)(2a一b一1)解析：原 式=(2a-b)2-(2a-b)=(2a-b)· (2a-b-1). 10.一5解析：原式=(13x一17)· (19x-31-11x+23)=8(13x 17)(x-1).原式分解成8(a.x十 b)(x+c),∴.a=13,b=-17,c= -1...a+b+c=13-17-1=-5. 11.2解析：，x2十x=1,.原 式=x2(x2+x)+x+1=x2+x+ 1=1+1=2. 12.(1)4xyz(1-x-3y). (2)4am+1bm+2(5bm+2-3am）. (3)x(x+y)(y-x). (4)-5(b-a)2(4c+5b-5a). 13.(1)原式=19.99×(29+72+ 13-14)=19.99×100=1999. (2)原式=39X37一13×3×3 39×37-39×27=39×(37-27)= 39×10=390. 14.由题意，得x一y=26. x2-xy=1040, ..x(x-y)=1040. .26x=1040,解得x=40. .y=14. ∴.父亲今年40岁，儿子今年14岁. 15.81?-279-93=328-327 326=326×(32-3-1)=326×5= 324×32×5=45X324, .81?一27一93的结果能被45 整除 16.(1)(1+x):(1+x)°；(1+ x)”+1