2025-2026学年高二下学期数学期末模拟试卷2（范围：人教A版，选择必修2，必修3，一轮复习集合、不等式 ）

**基本信息** 这份高二数学期末模拟卷覆盖数列、函数与导数等核心模块，精选江苏、山东等地期中期末真题，通过李明周末活动概率（第6题）、工厂电池质量分析（第16题）等情境，融合数学眼光、思维与语言，适配全国高二期末检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合、逻辑用语、数列、导数|成都期末题（第3题）考等差数列公差，基础与中档题梯度分布| |多选题|2题|统计、数列、函数性质|宁波期末题（第9题）综合相关系数与回归方程，考查数学思维严谨性| |填空题|3题|线性回归、等比数列、概率|上海期末题（第13题）将等比数列与极值结合，体现知识交汇| |解答题|5题|导数应用、概率统计、数列综合|河北阶段检测题（第16题）含独立性检验与分布列，湖南题（第18题）生产线次品率计算，突出数学语言解决实际问题|

2025-2026学年高二数学期末模拟卷2 测试范围：人教A版 数列、函数与导数、概率统计、集合、常用逻辑用语与不等式 适合地区：全国 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏常州·期中）设集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合元素个数 【详解】由已知， 所以，共3个元素． 2．（2026·山东烟台·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【详解】由或或. 所以时，必成立； 当时，可以不成立，如时，但不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 3．（25-26高二下·四川成都·期末）在等差数列中， ， ，则公差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【详解】在等差数列中，由 ， ， 可得，，即，， 所以该数列的公差为. 4．（25-26高二下·河北·阶段检测）若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】根据二项式展开式的各项的二项式系数和求得，结合展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】由题得，解得. 的通项为. 令，则系数为. 5．（25-26高二下·湖北十堰·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】由导数的几何意义可得切线斜率，再由直线的点斜式方程即可得解. 【详解】由， 所以曲线在点处的切线的斜率为，而， 因此切线方程为. 6．（25-26高二下·云南大理·期中）不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响．一到周末，李明同学就会在电子游戏、看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去．若三个项目对下一次考试成绩造成下降的概率分别为、、，则李明同学在下一次考试中成绩下降的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式计算即可． 【详解】设李明选择的项目是电子游戏为事件，李明选择的项目是看小说为事件，李明选择的项目是追网剧为事件，李明在下一次考试中成绩下降为事件， ． 7．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列 【分析】根据和与的关系，结合等比数列性质，即可求解得到数列本身的通项，表示，代入到原不等式中，通过比较即可求解. 【详解】因为，，因此当时，， 所以两式相减得，，所以，， 当时，，满足递推关系，所以的递推公式为， 则为首项为，公比为的等比数列，通项公式为， 因此， 代入得，，化简得， 设，则上式等价于， 所以，， 当时，，，单调递增，当时，，，单调递减， ，，当时，，所以，因此的最小值为， 即，因此的最大值为， 故选择B选项. 8．（25-26高二下·江苏扬州·期末）已知函数，若存在唯一整数，使得，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.44 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据已知分离参数，求出导函数，进而根据正负得出函数单调性，最后结合根的唯一性得出参数范围. 【详解】由题可得，令,分离参数可得,若存在唯一整数，使得,即存在唯一整数使得，设,则,当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值也是最大值为，且时，，时，，又因为,如下图 由图可知只有满足条件。 二、多选题 9.（25-26高二下·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（      ） A．若在成对样本数据分析中得到相关系数，则表明成对样本数据间没有线性相关关系 B．若一组数据（，，，…，）的线性回归方程为，，，则 C．若，，则 D．设，是两个随机事件，记为事件的对立事件，若，，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】指定区间的概率、根据样本中心点求参数、相关系数的意义及辨析、计算条件概率 【分析】借助相关系数定义、线性回归方程性质、正态分布性质及条件概率与对立事件性质逐项判断即可得. 【详解】对A：若在成对样本数据分析中得到相关系数， 则表明成对样本数据间没有线性相关关系，故A正确； 对B：由，，则，， 故，解得，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 10.（2026·江西·一模）已知数列满足，设，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列的前37项和为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据递推公式赋值计算即可判断A，B，推导出，利用等比数列即可判断C，利用分组求和即可判断D. 【详解】因， 对于A，B，， ，可见，不满足，故B错误，A正确； 对于C，当时，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以， 其前项和为，故C正确； 对于D，记，同选项C分析方法可得，其前项和为， 所以，故D错误. 故选：AC. 11．（25-26高二上·安徽合肥·期末）对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若是函数的导数，则 C．若有两个解，则 D．设至少有三个整数解，则 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】求导可得在上单调递减可判断A；令，求导可证判断B；分离变量得，令，求导计算可判断C；变形可得，令，求导计算可得，进而可判断D. 【详解】函数的定义域为，， 对于A，令，得， 当，，所以在上单调递减， 故时，，即，A错误； 对于B，要证，即， 所以，即， 令，则，令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以，所以，即，B正确； 对于C，由，得， 两边除以，得，所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，当时，；当时，； 当且仅当时，有两个解，当且仅当时，有一个解， 因此方程有两解时，不等式成立，C正确； 对于D，，又， 所以，两边同除以，可得， 令，则，令，得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减，， 又，，， 因此当时，取整数满足， 所以至少有三个整数解，则，D正确. 故选：BCD 3、 填空题 12.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知变量x、y满足线性相关关系，一组观测值如下表，且经验回归方程为．现有一对观测数据为，若该数据的残差为，则______． x 21 23 25 27 y 15 18 19 20 【答案】 【难度】0.72 【知识点】残差的计算、求回归直线方程 【分析】根据统计所得数据，可以先求出其样本中心点，代入可求得，进而可求得当时的预测值，再根据残差，即可求得观测值. 【详解】由题意可知，，， 将代入，得，解得， 所以. 当时，预测值，则. 13．（25-26高二下·上海·期末）正项等比数列中，与是的两个极值点，则______． 【答案】2 【难度】0.62 【知识点】对数的运算、等比中项的应用、函数极值点的辨析、根据极值点求参数 【分析】利用函数极值点的定义，一元二次方程韦达定理，等比中项的性质以及对数的运算性质求出结果即可. 【详解】由，则， 因为与是的两个极值点，所以与是方程， 由，所以与为的两根，所以， 在正项等比数列中，由， 所以. 14．（25-26高二下·江苏徐州·期末）8名同学围成一圈玩传球游戏，初始时球在甲同学手中．每轮抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，根据掷出的点数，沿顺时针方向依次传递个人．经过三轮，球回到甲手中的概率是________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】独立重复试验的概率问题、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】8名同学围成一圈，球回到甲手中等价于传递总点数之和是8的倍数，每轮骰子点数为，总点数为，故只能是和，用隔板法分别计算两种情况的数量，再除以总情况即可． 【详解】每轮掷骰子有6种可能结果，三轮共种， 总点数为8的情况，即求方程的正整数解，， 由隔板法，三个数最小和为3，最大单个点数为6，故和为8的正整数解总数为， 令，，方程转化为， 正整数解个数为，所有解均满足，故和为的情况总数为6， 综上符合条件的总数为，故所求概率为． 四、解答题 15.（25-26高二下·云南·期末）已知函数. (1)若曲线在处的切线经过点，求的值； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、根据极值求参数 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求解即可； （2）求导，分 ， 两种情况讨论，利用导数法求出极小值，然后解不等式即可. 【详解】（1）由题意得：，即切点为． 因为 ，则． 因切线经过点，则，解得． （2）由题意得 ， 若 ，因为，则 恒成立，在上单调递增，无极值，不合题意； 若 ，令 ，得，令 ，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故时，取得极小值， 依题意，需使， 即，解得， 所以的取值范围是． 16.（25-26高二下·河北·阶段检测）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）： 产品 合格 不合格 合计 调试前 80 60 140 调试后 40 20 60 合计 120 80 200 (1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取6件产品重新做参数调试，再从这6件产品中随机抽取2件作对比分析，记抽取的2件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为参数调试与产品质量无关联． (2) 0 1 2 ． (3) 【难度】0.66 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立性检验解决实际问题、求离散型随机变量的均值、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）提出假设，根据列联表的数据求出的值，对照参考表检验即可； （2）先根据分层抽样求出合格品和不合格产品的个数，可知的所有可能取值为0，1，2，分别求出各自变量的概率，写出分布列，再按照离散型随机变量的期望公式求解即可； （3）由题可知，变量服从二项分布，要求事件“”的概率最大时的取值，即先求出和时的取值范围，再结合只能取整数，求出最大的值即可. 【详解】（1）解：（1）提出假设：认为参数调试与产品质量无关联， 根据列联表中的数据，计算得到， 故依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立， 因此原假设成立，即认为参数调试与产品质量无关联． （2）由题意知，用按比例分配的分层随机抽样法抽取的6件产品中， 合格产品有件，则不合格产品有2件， 的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 故的分布列为： 0 1 2 则. （3）由题可知，随机抽取调试后的产品的合格率为，故， 则，，，，， 由， 故由可得， 又，则当时，． 由可得，即当时，， 故当事件“”的概率最大时，． 17.（25-26高二上·内蒙古·期末）设是等差数列，是公比大于0的等比数列，其中． (1)求数列的通项公式； (2)令，记数列前项和为． （i）求； （ii）若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)（i）（ii） 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程求解公差、比即可得解； （2）（i）根据错位相减法求和即可（ii）代入后分离参数，转化为恒成立，根据数列单调性求最值即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，得，         由， 得由，解得         所以，． （2）（i）由（1）知,     所以①， 所以②，         ①-②得： ，     所以．         （ii）由题意，对任意的，均有恒成立， 所以，即恒成立．         设， 所以， 当时，，即；         当时，，即，         所以的最大值为，         所以． 故的取值范围是． 18.（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． (1)随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； (2)若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； (3)现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)最小值为，最大值为. 【难度】0.59 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）利用全概率公式整合不同生产线的次品率，计算整体次品概率； （2）利用贝叶斯公式，结合全概率结果计算次品来自甲生产线的条件概率； （3）通过二项分布的相邻概率比值分析，确定使最大的的取值范围，进而得到最值. 【详解】（1）设表示“零件来自第条生产线”（，对应甲、乙、丙），表示“零件为次品”. 由题意，，，，，，. 由全概率公式，. （2）由贝叶斯公式，. （3）由题意，，故（）. 要使最大，需满足且. 由，得， 化简得，解得，故. 由，得， 化简得，解得，故. 综上，正整数的最小值为，最大值为. 19．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意的恒成立，求a的值； (3)若数列的前n项和为，求证：． 【难度】0.34 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、裂项相消法求和、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）在（1）的基础上，得到函数最值，从而得到不等式，求出解集，得到答案； （3）变形，在（2）基础上，得到，变形得到，裂项相消法求和，证明出结论. 【详解】（1）的定义域为， ， 当时，恒成立，故在上单调递增， 当时，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，在上单调递增， 又，故当时，，不满足对任意的恒成立，舍去； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 要想满足对任意的恒成立，只需， 令，，则， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 其中，故的解集为，故a的值为1； (3)证明：， 故只需证明，即， ， 先证明，当时，恒有， 由（2）知，在上恒成立， 即在上恒成立，当且仅当时，等号成立， ，令，则，即， 令，得， 令，得， 上面两式相加得， 即， 当时，，当时，，当时，， ……，当时，， 相加可得，故结论得证； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学期末模拟卷2 测试范围：人教A版 数列、函数与导数、概率统计、集合、常用逻辑用语与不等式 适合地区：全国 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏常州·期中）设集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·山东烟台·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二下·四川成都·期末）在等差数列中， ， ，则公差为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河北·阶段检测）若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·湖北十堰·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·云南大理·期中）不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响．一到周末，李明同学就会在电子游戏、看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去．若三个项目对下一次考试成绩造成下降的概率分别为、、，则李明同学在下一次考试中成绩下降的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 8．（25-26高二下·江苏扬州·期末）已知函数，若存在唯一整数，使得，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9.（25-26高二下·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（      ） A．若在成对样本数据分析中得到相关系数，则表明成对样本数据间没有线性相关关系 B．若一组数据（，，，…，）的线性回归方程为，，，则 C．若，，则 D．设，是两个随机事件，记为事件的对立事件，若，，则 10.（2026·江西·一模）已知数列满足，设，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列的前37项和为 11．（25-26高二上·安徽合肥·期末）对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若是函数的导数，则 C．若有两个解，则 D．设至少有三个整数解，则 3、 填空题 12.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知变量x、y满足线性相关关系，一组观测值如下表，且经验回归方程为．现有一对观测数据为，若该数据的残差为，则______． x 21 23 25 27 y 15 18 19 20 13．（25-26高二下·上海·期末）正项等比数列中，与是的两个极值点，则______． 14.（25-26高二下·江苏徐州·期末）8名同学围成一圈玩传球游戏，初始时球在甲同学手中．每轮抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，根据掷出的点数，沿顺时针方向依次传递个人．经过三轮，球回到甲手中的概率是 ________． 四、解答题 15.（25-26高二下·云南·期末）已知函数. (1)若曲线在处的切线经过点，求的值； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 16.（25-26高二下·河北·阶段检测）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）： 产品 合格 不合格 合计 调试前 80 60 140 调试后 40 20 60 合计 120 80 200 (1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取6件产品重新做参数调试，再从这6件产品中随机抽取2件作对比分析，记抽取的2件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.（25-26高二上·内蒙古·期末）设是等差数列，是公比大于0的等比数列，其中． (1)求数列的通项公式；(2)令，记数列前项和为． （i）求； （ii）若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 18.（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． (1)随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； (2)若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； (3)现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 19．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意的恒成立，求a的值； (3)若数列的前n项和为，求证：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $