第1章 拓视野1 三元基本不等式与柯西不等式（Word教参）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学讲义聚焦高考核心考点基本不等式（三元及n元）和柯西不等式，按“概念定义-公式推导-应用示例”逻辑层次组织，通过考点梳理明确公式条件与结论，方法指导解析构造定值、均值不等式等解题技巧，真题训练强化实际应用，帮助学生系统构建不等式问题的解题框架。 资料突出数学思维与数学语言的培养，如基本不等式例题中拆分变量构造三元均值实现等号成立条件分析，柯西不等式结合向量形式建立数量关系逻辑联系，通过典型例题的多解法对比提升学生推理能力与应用意识，为教师提供针对性复习策略，助力学生在有限时间内高效突破不等式难点。

一、三元基本不等式 (1)设a1，a2，a3是正实数，则≤， 当且仅当a1＝a2＝a3时，等号成立． (2)n元基本不等式：设a1，a2，…，an是正实数，则 ≤≤ ≤ ， 当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．(即：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数．) 已知2a>b>0，则a＋的最小值为____________． [解析]　方法一　由于所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值的式子，以便利用均值不等式． 分母为b(2a－b)，所以可将a构造为·2a＝·[(2a－b)＋b)]， 从而对三项使用均值不等式即可求出最小值． a＋＝ ≥·3＝3(当且仅当a＝b＝2时，等号成立). 方法二　观察到待求表达式中分式的分母为b(2a－b)，想到作和式消去b， 可得b(2a－b)≤2＝a2， 从而a＋≥a＋(当且仅当b＝2a－b，即a＝b时，等号成立). 设f(a)＝a＋，可继续构造乘积为定值的式子： f(a)＝＋＋≥3＝3，当且仅当a＝2时，等号成立． [答案]　3 二、柯西不等式 (1)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或者存在实数k，使得α＝kβ时等号成立． (2)用平面向量的坐标(二维形式)表示上面的不等式，则得到二维的柯西不等式：设a1，a2，b1，b2∈R，则(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2，当且仅当a1b2＝a2b1时等号成立． (3)推广到一般形式：设ai，bi∈R(i＝1，2，3，…，n)，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)，或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时等号成立． 　(1)设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为____________． (2)若a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为____________． [解析]　(1)由柯西不等式，得(22＋32)(x2＋y2)≥(2x＋3y)2＝132，所以x2＋y2≥13，当且仅当＝，即x＝2，y＝3时等号成立． (2)由柯西不等式，得(＋＋)2≤(a＋b＋c)(1＋1＋1)＝3，所以当且仅当a＝b＝c＝时，＋＋的最大值为. [答案]　(1)13　(2) 学科网（北京）股份有限公司 $