第1章 学高招1 利用基本不等式链求最值（Word教参）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学讲义聚焦基本不等式链核心考点，涵盖调和、几何、算术、平方平均数的大小关系及应用，按“概念-几何证明-代数应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（不等式链推导）、方法指导（几何直观与代数变形）、真题训练（如黑龙江大庆模拟题）等环节，帮助学生突破不等关系判断及最值求解难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于融合几何直观与代数推理，如第(1)题利用半圆图形引导学生观察线段关系，理解算术平均数与平方平均数的大小，培养数学眼光与推理能力。设置分层练习（选择、填空）配合详细解析，确保学生掌握不等式链应用技巧，为教师提供精准复习框架，助力高效提升学生应考能力与复习节奏把控。

【高招解读】　基本不等式链 基本不等式链：若a＞0，b＞0，则≤≤≤ ，当且仅当a＝b时，等号成立，其中，，， 分别叫作a，b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数． 利用这个基本不等式链可以使得某些判断数(式)的大小问题、最值类问题的求解更加方便． 　(1)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0) C．≤(a>0，b>0) D．≤ (a>0，b>0) (2)(多选)(2025·黑龙江大庆模拟)已知正数x，y满足x＋2y＝1，则(　　) A．xy≤ B．＋≥8 C．＋ ≥ D．x2＋4y2≥ [解析]　(1)由题意知圆O的半径r＝OF＝AB＝， 又由OC＝OB－BC＝－b＝， 在Rt△OCF中，可得FC2＝OC2＋OF2＝2＋2＝， 因为FO≤FC，所以≤ ，当且仅当a＝b时等号成立． (2)A选项，正数x，y满足x＋2y＝1，故x＋2y＝1≥2， 解得xy≤，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立，A正确； B选项，＋＝＝2＋2＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当＝，即x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立，B正确； C选项，由基本不等式链得≤ ＝， 所以＋≤，C错误； D选项，因为x＋2y＝1，所以2(x2＋4y2)≥x2＋4y2＋4xy＝(x＋2y)2＝1， 故x2＋4y2≥，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立，D正确．故选ABD. [答案]　(1)D　(2)ABD 1．若a>1，b>1，且a≠b，则a2＋b2，2ab，a＋b，2中的最大值是(　　) A．a2＋b2 B．2ab C．a＋b D．2 解析　因为a>1，b>1，所以a2＋b2>a＋b， 根据基本不等式可知a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立， 因为a≠b，所以a2＋b2>2ab， 同理a＋b>2， 综上所述，上述四个式子中的最大值为a2＋b2. 答案　A 2．(多选)已知a>0，b>0且a＋b＝1，则下列选项正确的是(　　) A．ab的最大值是 B．＋的最大值是 C．＋的最小值是1＋ D．＋的最小值是 解析　对于A项，因为a>0，b>0且a＋b＝1，所以ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，即ab的最大值是，故A项正确； 对于B项，因为a>0，b>0且a＋b＝1，所以≤＝，即＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B项正确； 对于C项，因为＋＝＋＝1＋＋≥1＋2，当且仅当a＝－1，b＝2－时等号成立，所以＋的最小值是1＋2，故C项错误； 对于D项，令所以 所以＋＝＋＝x＋－4＋y＋－2＝x＋y＋＋－6， 因为x＋y＝a＋b＋3＝4，所以＋＝＋－2， 因为＋＝·＝≥×＝，所以＋＝＋－2≥， 当且仅当x＝2y，即a＝，b＝时等号成立，故D项正确．故选ABD. 答案　ABD 3．(多选)若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的有(　　) A．ab≤1 B．a＋b≤2 C．a2＋b2≥2 D．＋≥3 解析　对于A选项：∵a>0，b>0，a＋b＝2， ∴2＝a＋b≥2，即ab≤1(当且仅当a＝b时等号成立)，故A选项正确； 对于B选项：∵a＋b＝2，而2≤2成立， ∴a＋b≤2成立，故B选项正确； 对于C选项：∵≥2＝2＝1， ∴a2＋b2≥2(当且仅当a＝b时等号成立)，故C选项正确； 对于D选项：∵＋＝×＝≥＋(当且仅当＝时等号成立)， ∴＋≥＋，故D选项错误．故选ABC. 答案　ABC 4．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为____________． 解析　由不等式链得(a＋b)2≤2(a2＋b2)两边同时开方即得a＋b≤(a>0，b>0且当且仅当a＝b时取“＝”)， 从而有＋≤＝＝3(当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝，b＝时，“＝”成立) 答案　3 学科网（北京）股份有限公司 $