暑期专项——解决问题（专项训练）2025-2026学年五年级数学下册人教版

**基本信息** 聚焦五年级下册核心知识，以问题解决为主线，系统整合数论、几何、统计等模块，提炼实用解题策略，强化数学思维与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数论与优化|第1-3、15题|找次品“三分法”、最小公倍数应用|从具体问题抽象出数的性质，构建“问题-策略-模型”逻辑链| |分数运算|第4、12、17-18题|分数加减“单位1”思想、异分母通分技巧|以实际情境为载体，强化分数意义与运算的关联| |几何应用|第5、8-11、14、16、19、22题|排水法求体积、组合图形表面积计算|从平面展开到立体构建，培养空间观念与推理意识| |统计分析|第6、13、20题|折线图趋势分析、数据占比计算|通过真实数据解读，发展数据意识与应用能力|

暑期专项——解决问题（专项训练）2025-2026学年五年级下册人教版 1．质监部门对某企业的产品进行质量抽检。在抽查的19盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些）。 （1）至少称几次能保证将这盒产品找出来？ （2）如果在天平的左右两端各放9盒的话，称一次有可能称出来吗？为什么？ 2．一堆桃子，两个两个的数剩1个，三个三个的数剩1个，五个五个的数也剩1个，这堆桃子至少有多少个？ 3．今天小芳给校园里的月季花和玫瑰花同时浇了水，如果月季花每3天浇水一次，玫瑰花每2天浇水一次，那至少再过多少天会再次同一天给这两种花浇水？看到这个议题，你想说些什么？ 4．嘟嘟喝一杯牛奶。第一次喝了牛奶的 ，然后加满水，第二次喝了 ，再加满水，第3次喝了一杯的 ，又加满水，第4次喝完。嘟嘟喝牛奶多还是喝水多？ 5．在一个从里面量底面长和宽都是4dm的长方体鱼缸中倒入20L水，再将一块观赏石浸没在水中，此时水深1.5dm（水没有溢出）。这块观赏石的体积是多少立方分米？ 6．根据下面的统计图回答问题。 2020年3月1日~7日全国新增新冠肺炎确诊病例统计图 （1）上图是（    ）统计图。 （2）3月7日新增新冠肺炎确诊（    ）人。 （3）同上一日相比，病例人数变化幅度最大的是3月（    ）日。 （4）3月1日至7日新增新冠肺炎确诊病例总体呈现（    ）趋势。 （5）对于这次新冠肺炎疫情的防控，请你结合图中信息，简要说说你的看法。 7．明明和玲玲录入同样的一本稿件．他们谁录入得多？ 8．中秋节是我国的传统节日，有赏月、吃月饼等民俗。园园给爷爷买了一盒月饼，并用一根丝带捆扎礼盒（如下图）。如果打结处用的丝带长30cm，求这根丝带的长度。 9．下面是由长方体和正方体组合而成的图形，长方体的长，宽，高分别是15厘米，8厘米，10厘米；上面正方体的棱长是7厘米，计算组合图形的表面积和体积。 10．一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长3米，宽1.5米，深2米，每立方米沙子重1400千克。这个沙坑里共装沙子多少吨？ 11．在数学活动课上，红红将一个长方体纸盒拆开，如下图所示，请你求出原来长方体纸盒的表面积。 12．根据国家粮食基础数据库显示，近年来我国粮食总产量中，各类粮食产量情况如下。   种类 稻谷 玉米 小麦 豆类 其他粮食 占粮食总产量的几分之几 （1）稻谷的产量比玉米的产量多几分之几？     （2）其他粮食的产量占粮食总产量的几分之几？     （3）提出数学问题并解答。 13．下面是一个病人的体温变化情况统计． （1）护士每隔　 　小时给病人量一次体温．（横轴的意义） （2）这位病人的体温最高是　 　℃，最低是　 　℃，他在4月8日12时的体温是　 　℃．（纵轴的意义） （3）他的体温在哪段时间里下降的最快？哪段时间里比较稳定？ 14．从里面量下图的玻璃容器长为，宽为，高为，现在水深为。在容器中放入一个棱长为的正方体石块，水是否会溢出？ 15．美术学科向全区师生发起“抗击疫情致敬英雄”的美术作品展评活动。某校五年级一班学生用长40cm、宽30cm的长方形卡纸，制作了精美的画报。     （1）开学第一天，他们以小组为单位把一张张长方形画报拼成大正方形进行展示，你认为这个正方形的边长至少是多少？请写出思考过程。     （2）一个正方形展示区，至少需要多少张这样的长方形画报？ 16．一根长方体木料长4米，宽和高都是3分米，把它锯成2段后，表面积增加了多少平方分米？ 17．曾老师家刷墙，第一个小时曾老师刷了面墙，第二个小时曾老师刷了面墙，曾老师这两个小时一共刷了多少墙？还剩多少墙没有刷？ 18．小明用了小时锻炼身体，其中跑步用了总时间的，做拉伸用了总时间的，剩下的时间在走路，走路的时间占总时间的几分之几？ 19．某小区新安装了50个混凝土凳子（如下图所示）。凳面的长、宽、高分别是100厘米、45厘米、4.5厘米，凳腿的长、宽、高分别是45厘米、5厘米、35厘米。做这些凳子至少用了多少方混凝土？ 20．下面是某市开展“垃圾分类，健康中国”行动，一个回收站一周内回收的垃圾情况如下图所示。 种类 厨余垃圾 可回收垃圾 有害垃圾 其他 数量（吨） 35 15 4 5 （1）可回收垃圾占垃圾总量的几分之几？ （2）厨余垃圾和其他垃圾共占垃圾总量的几分之几？ 21．沿着墙角按图中方式摆放小正方体。随着个数的增加，露在外面的面数有怎样的变化规律？请填写表中的空格部分。 小正方体的个数 1 2 3 4 5 … n 露在外面的面数 3 5 7 9 … 22．一个长方体水槽，长10厘米，宽8厘米，现有水的深度是2.675厘米，另有一个棱长为3厘米的正方体铁块，在它的一个角上挖去了一个小正方体。现将挖去角的正方体铁块浸入水中，此时水面刚好和铁块的上底面持平，求挖去的小正方体的体积？ 参考答案 1．（1）3次 （2）有可能，因为如果在天平的左右两侧各放9盒，天平正好平衡，那么最后剩下的一盒就是次品。 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】（1）至少称3次能保证将这盒产品找出来。 （2）有可能，因为如果在天平的左右两侧各放9盒，天平正好平衡，那么最后剩下的一盒就是次品。 【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。 2．31个 【分析】一堆桃子，两个两个的数剩1个，三个三个的数剩1个，五个五个的数也剩1个，这堆桃子至少有多少个？余数相同，找到2、3、5的最小公倍数，再加上余数1，得解。 【详解】2、3、5的最小公倍数是2×3×5＝30（个）， 30＋1＝31（个）； 答：这堆桃子至少有31个。 【点睛】解答此题应明确：要求这堆桃子至少的个数，即求2、3、5的最小公倍数加1。 3．6天；见详解。 【分析】求至少再过多少天会再次同一天给这两种花浇水，只要求出3和2的最小公倍数，即为至少的天数，据此解答即可。对这个议题想说的话是一个开放性的问题，可从两种花浇水的频率不同入手，回答合理即可。 【详解】2、3是质数，2和3是互质数， 所以2和3的最小公倍数是：2×3＝6。 即至少要再过6天。 答：至少再过多少天会再次同一天给这两种花浇水，看到这个议题，我想说的是浇水要根据植物本身特性来适当调整。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用求两个数的最小公倍数的方法解决实际的问题。 4．嘟嘟喝的牛奶多。 【分析】根据已知，第一次喝了牛奶的 ，然后加满水，也就是加了 的水；第二次喝了 再加满水，也就是加了 的水；第三次喝了一杯的 ，再加满水，也就是加了 的水。水的总量也就是 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ；而嘟嘟喝的牛奶是一杯，也就是1.1＞ 。所以嘟嘟喝的牛奶多。 【详解】＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ 1＞ 答：嘟嘟喝的牛奶多。 【点睛】此题主要考查异分母分数加减法。明确每次喝了多少就是加了多少水。 5． 4立方分米 【分析】在一个从里面量底面长和宽都是4dm的长方体鱼缸中倒入20L水，再将一块观赏石浸没在水中，此时水深1.5dm（水没有溢出），根据长方体的体积公式可求出鱼缸内观赏石与水的体积和；再用观赏石与水的体积和减去水的体积，即可求出观赏石的体积，据此解答。 【详解】观赏石与水的体积和：（dm3） 水的体积：20L＝20dm3 观赏石的体积：（dm3） 答：这块观赏石的体积是4dm3。 6．（1）折线 （2）44 （3）2 （4）下降 （5）确诊病例总体呈现下降趋势，说明防控到位，得到了有效控制。（答案不唯一） 【分析】（1）折线统计图用不同位置的点表示数量的多少，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。 （2）观察统计图，找到3月7日对应的确诊人数即可。 （3）观察统计图，折线往下坡度越陡表示变化幅度越大，据此分析。 （4）折线往上表示上升趋势，折线往下表示下降趋势，据此分析。 （5）答案不唯一，合理即可。 【详解】（1）上图是折线统计图。 （2）3月7日新增新冠肺炎确诊44人。 （3）同上一日相比，病例人数变化幅度最大的是3月2日。 （4）3月1日至7日新增新冠肺炎确诊病例总体呈现下降趋势。 （5）答案不唯一，如确诊病例总体呈现下降趋势，说明防控到位，得到了有效控制。 【点睛】折线统计图不仅能看清数量的多少，还能通过折线的上升和下降表示数量的增减变化情况。 7．明明 【详解】＝    ＝ 因为＜，所以＜ 答：明明录入得多． 8．116cm 【分析】观察图形可知，丝带的长度由两部分组成：一部分是长方体不同的棱长的长度之和（包括两条长，两条宽和四条高 ），另一部分是打结处所用丝带的长度，把两部分加在一起即为这根丝带的长度；据此解答。 【详解】 （cm） 答：这根丝带的长度是116cm。 9．896平方厘米；1543立方厘米 【分析】组合图形的体积是长方体的体积和正方体体积之和，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4。 据此代入数据计算。 【详解】表面积： ＝（120＋150＋80）×2＋196 ＝350×2＋196 ＝700＋196 （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：组合图形的表面积是896平方厘米和体积是1543立方厘米。 10．12.6吨 【详解】31.5214001000 ＝4.5214001000 ＝9×1400÷1000 ＝12600÷1000 12.6（吨） 答：这个沙坑里共装沙子12.6吨。 11．700平方厘米 【分析】将长方体纸盒拆开后，可知纸盒长是20厘米，宽是10厘米，（长＋高）×2＝50，可计算出长方体纸盒的高。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此计算得出答案。 【详解】根据题意得：长方体纸盒长是20厘米，宽是10厘米，高为： （厘米） 则长方体纸盒表面积为： （平方厘米） 答：长方体纸盒表面积为700平方厘米。 12．（1） ；（2） ；（3）玉米和小麦的产量共占总产量的几分之几？ 【分析】（1）用减法计算稻谷的产量比玉米的产量多几分之几； （2）用1减去这四种粮食产量占总产量的分率和即可求出其他粮食占总产量的几分之几； （3）提出一个用减法计算的问题并解答即可。 【详解】（1） 答：稻谷的产量比玉米的产量多。 （2） ＝ ＝ 答：其他粮食的产量占粮食总产量的。 （3）问题：玉米和小麦的产量共占总产量的几分之几？ 答：玉米和小麦的产量共占总产量的。 【点睛】掌握异分母分数加减法的计算方法是关键。 13．6，39.5，36.8，37.5，4月7日6到4月7日12时下降的最快，4月8日18时到4月9日18时比较稳定 【分析】根据图可知横轴表示时间，纵轴表示温度，然后再根据折线统计图中折线的变化情况，可知他的体温在哪段时间里下降的最快，哪段时间里比较稳定．据此解答． 【详解】（1）护士每隔6小时给病人量一次体温． （2）这位病人的体温最高是39.5℃，最低是36.8℃，他在4月8日12时的体温是37.5℃． （3）他的体温在4月7日6到4月7日12时下降的最快，4月8日18时到4月9日18时比较稳定． 故答案为6，39.5，36.8，37.5． 14．会溢出 【分析】先计算出容器内空余部分的容积为，再计算石块浸入水中部分的体积；这里要注意的是这个正方体石块高4dm，但由于容器高度为，所以石块浸入水中部分的高度只有 ，石块浸入水中部分的体积为。因为容器内空余部分的容积小于石块浸入水中部分的体积，所以水会溢出。 【详解】 答：水会溢出。 【点睛】本题主要考查长方体和正方体体积公式的灵活运用。 15．（1）120厘米，过程见详解 （2）12张 【分析】（1）根据题意可知，拼成的正方形的边长必须是40和30的公倍数，求边长至少是多少厘米，即求40和30的最小公倍数； （2）用拼成的正方形的面积除以卡纸的面积即可求出至少需要多少张这样的长方形画报。 【详解】（1）40和30的最小公倍数就是这个正方形最小的边长； 40＝2×2×2×5； 30＝2×3×5； 40和30的最小公倍数是2×2×2×3×5＝120； 答：这个正方形的边长至少是120厘米； （2）120×120÷（40×30） ＝14400÷1200 ＝12（张）； 答：至少需要12张这样的长方形画报。 【点睛】根据“小长方形拼成大正方形”“边长至少”明确正方形的边长是小长方形长和宽的最小公倍数是解答本题的关键。 16．18平方分米 【分析】观察图形可知，锯成2段后，表面积增加了2个3×3的面的面积，据此计算即可解答。 【详解】3×3×2＝18（平方分米）， 答：表面积增加了18平方分米。 【点睛】根据切割方法，明确增加的切割面是哪个面的面积，是解决本题的关键。 17．面；面 【分析】第一个小时刷的墙＋第二个小时刷的墙＝两个小时一共刷的墙；将这面墙看作单位“1”，1－两个小时一共刷的墙＝还剩多少墙没有刷。 【详解】（面） 1－＝（面） 答：曾老师这两个小时一共刷了面墙，还剩面墙没有刷。 【点睛】关键是掌握分数加减法的计算方法，同分母分数相加减，分母不变只把分子相加减。 18． 【分析】将总时间看作单位“1”，用1减去跑步用去的时间占总时间的分率，再减去做拉伸的时间占总时间的分率，就可以求出走路时间占总时间的分率，据此列式解答。 【详解】 答：走路的时间占总时间的。 19．1.8方 【分析】求出50个凳子用的混凝土体积，需求出一个凳子用的混凝土的体积。如图一个凳子是由一个凳面和2个凳腿组成的，则一个凳子的体积＝一个凳面的体积＋两个凳腿的体积。凳面和蹬腿都是长方体，长方体的体积＝长×宽×高。50个凳子的混凝体体积＝一个凳子的混凝土体积×50。注意：单位换算，1方＝1立方米＝1000000立方厘米。 【详解】一个凳面的体积：100×45×4.5＝20250（立方厘米） 两个凳腿的体积：45×5×35×2＝15750（立方厘米） 一个凳子的体积：20250＋15750＝36000（立方厘米） 50个凳子的体积：36000×50＝1800000（立方厘米） 1800000立方厘米＝1.8 立方米＝1.8方 答：做这些凳子至少用了1.8方混凝土。 20．（1） （2） 【分析】（1）用可回收垃圾的重量除以垃圾总量即可； （2）先求出厨余垃圾和其他垃圾的总重量，再除以垃圾总量即可。 【详解】（1）15÷（35＋15＋4＋5） ＝15÷59 ＝ 答：可回收垃圾占垃圾总量的。 （2）（35＋5）÷（35＋15＋4＋5） ＝40÷59 ＝ 答：厨余垃圾和其他垃圾共占垃圾总量的。 21．变化规律见分析；11；（2n＋1） 【分析】观察可知，1个小正方体，露在外面3个面，3＝1×2＋1；2个小正方体，露在外面5个面，5＝2×2＋1；3个小正方体，露在外面7个面，7＝3×2＋1…，由此可知，露在外面的面数＝几个小正方体就用几×2＋1，据此分析。 【详解】5×2＋1＝10＋1＝11（个） n×2＋1＝（2n＋1）个 小正方体的个数 1 2 3 4 5 … n 露在外面的面数 3 5 7 9 11 … （2n＋1） 22．1立方厘米 【分析】大正方体的棱长为3厘米，则放入铁块后水面高度为3厘米，铁块对应的水面高度＝放入铁块后水面的高度－原来水的高度，再根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出放入铁块对应水的体积，挖去小正方体的体积＝大正方体的体积－放入铁块对应水的体积，据此解答。 【详解】10×8×（3－2.675） ＝10×8×0.325 ＝80×0.325 ＝26（立方厘米） 3×3×3－26 ＝27－26 ＝1（立方厘米） 答：挖去的小正方体的体积是1立方厘米。 【点睛】把挖去小正方体后铁块的体积转化为上升部分水的体积是解答题目的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $