第19讲 函数的应用（二）（6大知识点+11大题型）（讲义）2026-2027学年新高一数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

第19讲 函数的应用（二） 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：函数的零点 3 知识点二：函数零点的判定 4 知识点三：二分法 4 知识点四、几种常见的函数模型 5 知识点五、解答应用问题的基本思想和步骤 6 知识点六、解答函数应用题应注意的问题 6 03 题型精讲举一反三 8 题型一：函数零点的求解 8 题型二：参数取值与范围求解 9 题型三：零点存在性定理的应用 10 题型四：零点区间约束下的参数范围求解 12 题型五：零点个数约束下的参数范围求解 14 题型六：一次函数零点分布的参数求解 16 题型七：二次函数零点分布的参数求解 17 题型八：指对幂函数零点分布的参数求解 19 题型九：函数与方程的综合运用 23 题型十：二分法的实际应用 29 题型十一：函数模型的应用 33 04 过关测试 38 知识点一：函数的零点 1、函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 知识点诠释： ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 知识点二：函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 知识点诠释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有． ③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 知识点三：二分法 1、二分法 对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度． 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中． 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度． 知识点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根． 3、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位． （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 知识点四、几种常见的函数模型 1、一次函数模型：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 知识点五、解答应用问题的基本思想和步骤 1、解应用题的基本思想 2、解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求． 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果． 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景． 上述四步可概括为以下流程： 实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）． 知识点六、解答函数应用题应注意的问题 首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它． 其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系． 其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率． 题型一：函数零点的求解 例1．函数的零点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，即，解方程得， 由函数零点的定义可知，函数的零点是，故C正确. 例2．（2026·高一·新疆喀什·期末）函数的零点为（   ） A．5 B．5或 C． D． 【答案】A 【解析】由， 得，所以， 解得， 所以的零点为， 故选：A. 例3．（2026·高一·陕西榆林·期末）的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，得：， 即， 两边取自然对数，得： . 故选：B 变式1．（2026·高一·四川·阶段检测）函数的零点是（   ） A．0和9 B．0和 C．和 D．和 【答案】A 【解析】令， 解得或， 故函数的零点是和， 故选：A 变式2．（2026·高二·内蒙古乌兰察布·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 【答案】C 【解析】令，即，解得，所以函数的零点为和. 故选：C. 题型二：参数取值与范围求解 例4．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】定义域为， ，所以函数为偶函数， 又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以， 当时，函数有唯一零点，符合题意； 当时，函数有零点，不符合题意舍； 故选：C. 例5．（2026·高二·福建·学业考试）已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】依题意，，即，所以. 故选：C 例6．已知函数的两个零点分别为，1，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，是方程的两个根 代入可得， 解得 所以 故选：B 变式3．关于的函数的两个零点为，且，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意得是方程的两不等实根， 所以， ，， 所以，即， 又，所以. 故选：A 变式4．若函数的零点为2，则函数的零点是（    ） A．0， B．0， C．0，2 D．2， 【答案】A 【解析】因为函数的零点为2，所以， ∵，，∴，∴． 令，得或． 故选：A. 题型三：零点存在性定理的应用 例7．（2026·高一·甘肃兰州·期中）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因函数与都是上的增函数，则也是上的增函数， 又， 故函数有唯一的零点，其所在区间为. 例8．（2026·高一·湖南长沙·期中）已知函数，当时，x所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为增函数，且， ， 所以x所在的区间为. 例9．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知方程的解为，求所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为和都是上的单调递增函数， 因此是上的单调递增函数，原方程的解就是的唯一零点. 当时，， 当时，， 由，可知单调函数的零点. 变式5．（2026·高一·湖北咸宁·期中）已知函数，则该函数零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为与均在R上单调递增， 所以在R上单调递增， 又，，则， 所以在区间上存在唯一零点. 变式6．（2026·高一·陕西商洛·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数和均为单调递增函数， 所以函数为单调递增函数， 又，， 所以， 所以由零点存在定理可知函数的零点所在的区间为． 故选：B 题型四：零点区间约束下的参数范围求解 例10．（2026·高一·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，可得， 因为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 例11．（2026·高一·甘肃天水·阶段检测）若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的零点在内，所以，即， 解得或， 故选：A. 例12．（2026·高一·河北张家口·期末）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数和在都单调递增， 所以函数在都单调递增， 又函数在区间上存在零点， 所以，故， 所以, 所以的取值范围是. 故选：D. 变式7．（2026·高一·全国·期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，在上没有零点，不符合题意； 当时，为一次函数， 函数在区间上存在零点的充要条件为， 即， 即．解得或． 故选： 变式8．（2026·高三·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 题型五：零点个数约束下的参数范围求解 例13．（2026·高一·全国·阶段检测）已知函数的零点个数不超过1，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由条件可知方程根的个数不超过1 即判别式，解得，于是的最大值为3． 故选：C． 例14．（2026·高一·陕西汉中·阶段检测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 作出函数的图象和直线，如图， 由题意函数的图象与直线有两个交点， 由图象知， 故选：B. 例15．（2026·高一·江苏淮安·期中）如果二次函数有两个不同的零点，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由二次函数有两个不同的零点，得，即， 解得或，所以实数m的取值范围为或. 故选：C 变式9．（2026·高一·全国·单元测试）已知函数在内至少有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在内至少有一个零点， 即在上有根（令，则）， 即在上有根．令， 则在上的图象与轴有交点，且需满足，， 所以即， 又的图象的对称轴为，且， 则，即． 所以实数的取值范围为． 故选：B. 变式10．若函数在上恰有一个零点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由函数在上恰有一个零点， 当时，，令，解得，符合题意， 当时，由，要使函数在上恰有一个零点， 则，即， 解得，即， 当时，在上只有一个零点，符合题意； 当时，要使函数在上恰有一个零点， 则或，即或， 解得或，即或， 时，在上只有一个零点，符合题意； 综上，实数的取值范围为或. 故选：C. 题型六：一次函数零点分布的参数求解 例16．若方程的根在内，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】设，则，解得：， 即的取值范围为. 故答案为：. 例17．（2026·广东茂名·二模）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据题意得：有一个零点，有两个零点 若有一个零点，则 当时，有两个零点 则可得，得 故答案为：． 例18．（2026·高一·浙江杭州·期末）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，函数在区间上有零点， 当时，函数，此时函数没有零点； 当时，要使得函数在区间上有零点， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 变式11．若函数在上存在，使，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】函数在上存在，使 故答案为 题型七：二次函数零点分布的参数求解 例19．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，若方程有三个不等的实数解，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】当时，， 此时为上的增函数且的取值范围为， 故在上有且只有一个实数解， 故在上有且仅有2个不同的实数解， 设，而对称轴， 故即， 故答案为： 例20．（2026·高一·天津河北·阶段检测）已知关于的方程有两根、，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】记， 由题意，得，解得． 故答案为：． 例21．（2026·高一·安徽·期末）若关于的方程的一根比2小且另一根比2大，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】记， 由题意，整理为，解得． 即a的取值范围是. 故答案为： 变式12．（2026·高一·北京·期中）已知函数的两个零点一个小于3，另一个大于3，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】因为函数的图象开口向上，对称轴为， 若函数的两个零点一个小于3，另一个大于3， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 变式13．若关于的方程的两个实数根，满足，，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】设，由方程的两根分别在与知， 函数的两个零点分别在与内， 故，解得． 故答案为： 变式14．（2026·高一·江苏南京·期中）方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】设，开口向上， 由题意得，解不等式得 实数m的取值范围是. 故答案为： 题型八：指对幂函数零点分布的参数求解 例22．（2026·高三·山东济南·阶段检测）已知且，函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】方程，即或， 当时，，由解得，由解得； 当时，，此时方程只有1个实数解， 若，则在上单调递减，， 此时和都有解，不合题意， 若，则在上单调递增，，则. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 例23．（2026·高一·辽宁沈阳·期末）已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】作出函数的图像如下图所示： 设，由图像可知， 则，解得， 由可得，即，可得. . 故答案为：. 例24．（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）若关于x的方程有且仅有一个实数根，则__________ 【答案】1 【解析】设，易知， 所以是偶函数， 又时，是增函数，因此时，是减函数， 所以有且仅有一个实根，由此实根为， 所以，． 故答案为：1． 变式15．（2026·高二·广东广州·期末）已知定义在上的偶函数，当时，若函数恰有六个零点，且分别记为则的取值范围是________ 【答案】 【解析】根据题目条件，作出函数在上的图像，如图所示： 设的六个零点，自左到右为，则， 由对称性知：，又， 则， 故， 易知，则 故答案为： 变式16．（2026·湖南长沙·二模）设且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则①的取值范围是_______；②的取值范围是_______. 【答案】 【解析】当时，由复合函数的单调性知：单调递减，作出函数的图象，如图所示： 由图可知，当时，恰有三个互不相等的实数根，，，不妨设，易知，且， ∴. 令， 解得（舍去）或. ∴， ∴. 故答案为：， 变式17．（2026·高一·山西长治·阶段检测）已知函数，若，且，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】作出函数的图象，如图所示， 因为， 要使得，且，可得， 由，得， 即，可得， 所以， 当且仅当时，即等号成立， 又由，可得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 题型九：函数与方程的综合运用 例25．已知函数 (1)若方程在区间上有且仅有1个实根， 求a的取值范围； (2)若函数 在区间 上的最大值为 求a的值. 【解析】（1）①当时，解得：，此时， 则的零点为，0，不合题意； ②当时，解得：，此时， 则的零点为，1，不合题意； ③当时，解得：， 当时，的零点为，不合题意； 当时，的零点为，不合题意； ④当时，， 解得：，此时满足方程在区间上有且仅有1个实根， 综上：a的取值范围是 （2）由的对称轴为 当 即 时， 在 上递增， 则，不合题意； 当 即 时，在 上递减， 则，不合题意； 当 即 时， 的最大值为 解得 （舍去）， 综上，a的值为 例26．（2026·高二·宁夏银川·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 【解析】（1）由于是偶函数， 所以即， 即 化简，得 所以， 要使等式恒成立，则， 经检验，当时，函数 是偶函数. （2）由于 所以， ， 设，则 因为函数在上只有一个零点，那么 由可得 即 上只有一个零点 所以，关于的方程在上只有一个实根，那么 ， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时， 根据函数图象可知，要使关于的方程在上只有一个实根， 则或，即或 故实数的取值范围为. 例27．（2026·高一·贵州遵义·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以， 令，则，则， 所以； （2）对任意，不等式恒成立， 等价于对任意，不等式恒成立， 令，则只需要即可， 因为， 所以函数为偶函数， 则要求函数在上的最大值，只需求出函数在上的最大值即可， 当时，， 则， 所以； （3）因为， 所以函数为偶函数， 又，在上有且仅有4个不同的零点， 所以函数在上有且仅有2个不同的零点， 当时，， 令，分离参数可得， 令， 则函数与有两个不同的交点， 由双勾函数的性质可得，函数在上递减，在上递增， 所以， 又当时，，， 如图，做出函数的大致图象， 由图可知，，解得， 所以. 变式18．（2026·高一·湖北荆州·期中）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在的最大值和最小值之差不超过，求的取值范围； (3)已知函数只有一个零点，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，由，得，即，即，即，所以，解得或， 所以不等式的解集是； （2）因为在定义域上单调递减且， 所以在区间上的最大值是，最小值是， 依题意得，即对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 令，则， 当，;当，， 所以，故，所以的取值范围是； （3）因为只有一个零点， 所以方程只有一个根， 所以只有一个根， 整理得，， 即，即， ①若，此时，代入真数知真数大于0，符合题意； ②若，此时，代入真数知真数大于0，符合题意； ③若使得真数大于0，使得真数小于等于0，即时符合题意，此时； ④若使得真数小于等于0，使得真数大于0，即时符合题意，此时无解． 综上所述，的取值范围为. 变式19．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知函数. (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明：在区间上单调递增； (3)若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围. 【解析】（1）奇函数，证明：函数，则，解得或， 即函数的定义域为， 又，所以为奇函数. （2）证明：任取，，且，则.因为，所以，又因为在区间上单调递增，所以，故，所以函数在区间上单调递增. （3）函数代入方程，整理可得， 等价于在内有实数根，对于任意，，故的条件 对于方程的任意实数根自动满足，并整理得， 令，化简得. 令，由得，则. 对勾函数在单调递减，在单调递增， 最小值为（当时取等），且对任意，都存在对应， ，且时， 因此的值域为，即的取值范围是. 变式20．（2026·高一·浙江宁波·开学考试）已知幂函数在上单调递增． (1)求的值及函数的解析式； (2)若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或. 当时，在上单调递减，不符合题意，舍去； 当时，在上单调递增，符合题意， 所以，. （2）因为有两个不相等的正数解，即方程有两个不相等的正数根. 设方程的两个正数根为，则，解得. 所以实数的取值范围为. 题型十：二分法的实际应用 例28．（2026·高一·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. 例29．（2026·高一·广东深圳·期末）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】二分法中，经过次等分后，区间长度变为原区间长度的 ，初始区间为 ，长度为， 要满足精度 ，即：，则， 因为， 所以需要将区间等分的最少次数为次， 故选：B. 例30．（2026·高一·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由表格中的数据知，， 所以函数的一个正数零点在区间内， 且区间的长度为， 此时，区间内的任一值均可作为方程的近似根， 选项D中的是该区间的端点，符合题意 故选：D. 变式21．（2026·高一·新疆克拉玛依·期末）下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据二分法的定义，用二分法求近似解，需函数在上连续，且. 对于A，令，显然在其定义域上单调递增， ，所以可用二分法求方程近似解，所以A错误； 对于B，令，显然在其定义域上连续，，所以可用二分法求方程近似解，所以B错误； 对于C，令，显然在其定义域上连续， ，所以可用二分法求方程近似解，所以C错误； 对于D，令，所以不能用二分法求方程的近似解.所以D正确. 故选：D. 变式22．（2026·高一·天津河西·阶段检测）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数和均为R上单调递增函数， 所以函数是R上单调递增函数， 且，所以函数在上有唯一零点. 取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度为. 再取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度. 对照选项只有在区间内，故可以是. 故选：C. 变式23．（2026·高一·山东淄博·阶段检测）用二分法求函数在区间内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为区间的长度为1，经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次二分法的操作，区间的长度变为， 由，解得. 故选：C. 变式24．（2026·高一·湖北·阶段检测）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得， 构造函数， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为， ， 所以的零点位于区间，也即方程的近似解在区间. 故选：C 变式25．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 1 1.5 1.25 1.375 1.4375 -2 0.625 -0.984 -0.260 0.162 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）不可以是（   ） A．1.375 B．1.25 C．1.4375 D．1.40625 【答案】B 【解析】由表格可得，，且满足， 故函数的零点在之间，两端点也可以作为零点近似值，故选项中只有B选项不满足. 故选：B． 题型十一：函数模型的应用 例31．（2026·高一·山东潍坊·期中）某公司生产新型电子产品，年固定研发成本为40万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为（万元），已知当年产量不超过10万台时，；当年产量超过10万台时，. (1)写出年利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式 (2)求年产量为多少万台时，能使该公司年利润达到最大.（注：利润=销售收入-成本） 【解析】（1）. （2）当时，，当时，. 当时， 当且仅当，即时，等号成立，此时. 又，故年产量为万台时，公司年利润最大，最大利润为万元. 例32．（2026·高一·福建泉州·阶段检测）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系．现有以下三种函数模型供选择：①， ②， ③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)选取表格中的前两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数超过15.5万． 【解析】（1）由给定数表知，函数定义域为，会员人数增速随增大而减缓， 对于模型②：，当时无意义，不符合题意； 对于模型③：，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①：，会员人数增速随增大而减缓，符合题意； 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知选择模型①：， 将数据组代入，得，解得， 所以， 令时，即，解得， 所以所求函数模型的解析式为，预测第23个月会员人数超过15.5万. 例33．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 【解析】（1）由表格可知，函数单调递减，且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增 函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得：，，， 所以； （2），得， ， 刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为分钟. 变式26．（2026·高一·贵州毕节·期中）中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过后茶水的温度（单位：）可由公式（其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. (1)求的值； (2)若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） (3)该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 【解析】（1）由题意知，，即， 所以，解得. （2）设该物体需要放置分钟温度降至24，由题意知，，即. 由（1）知，所以，即， 所以， 故该茶水的温度降至24需要33.4分钟. （3）当时，物体初始温度； 当时，即当物体冷却时间足够长时，物体的温度会趋近于环境温度， 又当时，，因此，， 故. 当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合理的. ：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值； ：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快. 变式27．（2026·高一·广东深圳·期中）某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． (2)若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【解析】（1）由题意可知，当时， ； 当时，， 综上，. （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，该水果树的单株利润最大，最大利润是540元． 变式28．（2026·高一·贵州毕节·期中）某研究机构对高中生每周玩手机时长（单位：小时，）与数学成绩（单位：分，满分分）的关系进行调查.通过实验采集到以下信息：已知成绩与时长近似满足函数关系，其中为常数；每周玩手机4小时，成绩为70分；每周玩手机5小时，成绩为60分. (1)若张三同学希望数学成绩不低于90分，求他每周玩手机时长的最大值（精确到0.1小时；参考数据）； (2)若，求的值. 【解析】（1）已知 ​，代入和得： ， 消可得：， 所以解得，再代入， 即， 由张三同学希望数学成绩不低于90分，则， 所以有， 两边取常用对数得： 由于，则每周玩手机时长最大值为小时； （2）由题意可知：， 则先计算 设， 则， 所以，故. 1．函数的函数值表示不小于x的最小的整数，例如，则函数的零点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【解析】解法一：令，则. 由已知可设，，则. 所以，则. 又因为，所以，解得. 又因为，所以的取值为. 当时，，则. 所以，所以是的零点； 当时，，则. 所以，所以是的零点； 当时，，则. 所以，所以2是的零点. 综上所述，的零点有3个. 解法二：作出函数的图象，其与直线的交点个数即为函数零点的个数， 观察图象有，，共3个交点，即函数有3个零点. 2．（2026·高一·湖南衡阳·期中）已知，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得，又，所以， 则是函数的一个零点，由，解得， 要使得有两个不同的零点，则． 3．（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，可得，即， 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 在同一坐标系内，画出函数，，和的图象， 如图所示，结合图象，可得. 4．（2026·高一·云南昆明·期中）某药在病人血液中的量低于500mg时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（    ）h（精确到，参考数据：） A．3.6 B．5.7 C．7.0 D．8.0 【答案】C 【解析】因为药在血液中以每小时20%的比例衰减，所以设小时后，血液中的药量. 根据题意，整理得，两边取对数有， 由对数性质，又因为. 所以 所以再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过. 5．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于：．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式，其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（     ）（取：，，） A．12小时后 B．24小时后 C．28小时后 D．30小时后 【答案】B 【解析】将、代入函数： 当时，， 该函数在上单调递增，因此，不符合合法驾驶要求； 当时，， 令，化简得： ，两边取自然对数， 所以 ， 代入，， 得： ， 即，因此最少需在24小时后合法驾驶. 6．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：, 7．（2026·高一·山西运城·期中）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B． C．在区间上有5个零点 D． 【答案】B 【解析】对选项A：由可知函数的一个周期为2，所以在区间上的图象与在区间上相同. 又是偶函数，则时的单调性与时的单调性相反. 因时，单调递减，故时，单调递增，故时，单调递增，故A错误； 对选项B：，故B正确； 选项C：当时，令0，得，因为为偶函数，所以，又因为周期为2，所以，共6个零点，故C错误； 选项D：，， 因为当时，单调递减， 所以，即，故D错误. 8．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知函数若存在，，，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分段函数：， ：开口向上抛物线，对称轴，最小值 ； ：指数函数，单调递减，值域； 要存在使 ， 直线 需与两段曲线交于三点，因此， 是抛物线部分的两个交点，关于对称轴对称， 由韦达定理知：；由图得 ， 因此总和：， 当时，此时，则， 此时，即. 当时，此时，则， 综上所述，，即的取值范围为. 9．（多选题）（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．函数在上单调递减 C．函数的零点之积为 D．方程最多有3个实数根 【答案】AC 【解析】时，令，即，则， 当时，令，即，得或，故有3个零点，A正确， 当时，为开口向下的二次函数，且对称轴为，此时在单调递减，当时，，此时在单调递减，但，因此在上不是单调递减，B错误， 由于有3个零点，分别为或或，结合，故有3个零点，分别为，故的零点之积为，C正确， 作出的大致图像如下，当时，此时有四个交点，故有四个实数根，由于，故也有四个实数根，D错误. 10．（多选题）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．的减区间为 C． D．函数的零点个数为8 【答案】AD 【解析】因为，所以， 因为为定义在上的奇函数，所以， 所以，即的一个周期为8. 对于A，因为，且为奇函数，所以为奇函数，A正确； 对于B，因为在上单调递增，且为定义在上的奇函数， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 由，可得关于对称，故在上单调递减， 因为的周期为8，又由知4不是的周期， 所以的减区间为，B不正确； 对于C，由对称性可知，，，由可得， 所以， 因为的周期为8，所以， 因为，，但不确定，所以不确定，C不正确； 对于D，令，可得，则的零点个数即和的图象公共点个数， 分别作出两个函数的简图，由于的最大值为2，，所以两个图象公共点的个数为8，D正确. 11．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期末）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A．或 B．不存在，使得 C．若，则 D．已知，且，则或3 【答案】ABC 【解析】由题意或，A对， 且，则，B对， 由，则，且，故， 在上单调递减，所以，C对， 由，则，可得或 又，则无解，故无解，D错. 12．已知函数的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________，________. 【答案】 【解析】由图可知，函数图象与轴有个交点，所以零点的个数为； 左右函数值异号的零点有个，所以用二分法求解的个数为． 13．方程的解的个数为__. 【答案】2 【解析】方程的解的个数， 即函数和函数的图象的交点个数， 如图所示，数形结合可得， 函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2. 14．（2026·高一·湖南长沙·期中）已知二次函数有且仅有一个零点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】由题意知，，∴， 则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 15．（2026·高一·上海·期中）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】当时，则，所以， 由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得； 当时，可得，由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得或， 所以要使函数在上没有零点，则实数的取值范围为. 16．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若分别为的零点，且． ①求的取值范围； ②设函数，求的取值范围． 【解析】（1），由，得，即 ，解得 的取值范围为. （2）①为的零点，且， 有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根 ，即，解得 设，则函数与的图象有两个不同的交点 函数在上的图象，如图所示： 当时，函数单调递减，且； 当时，函数单调递增，且； 当时，取到最小值，即 函数与的图象有两个不同的交点 ②由①可知为的零点，且，， 且 ，， ，， 又 ，， ，即 的取值范围为 17．（2026·高一·上海奉贤·期末）设函数，其中． (1)求函数的定义域与值域； (2)若存在一个点，满足，则称函数关于点对称；若存在一条直线，满足，则称函数关于直线对称．判断函数是否具有对称性，请说明理由； (3)若函数在上有零点，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，那么，即函数的值域为 所以函数的定义域为，值域为. （2）已知， 则 ， 所以函数关于点对称. （3）已知，则， 所以. 令，当时，， 则函数在上有零点，等价于关于的方程在上有解. 由，可得 令，则，且 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增. 当时，；当时，， 所以，即实数的取值范围是. 18．（2026·高一·上海·期末）已知． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的方程的解集恰有一个元素，求的取值范围. 【解析】（1）当时该函数才有意义，即，所以， 解得，故函数的定义域是． （2）此时，即，解得，故定义域为． 由得，即，解得． 综上，所求解集为． （3）由得，即． 则，即． 当时，经检验确为原方程的解，成立； 当时，经检验确为原方程的解，成立； 当且时，考虑和. 由得总为原方程的解， 故此时一定不满足原方程，从而，即． 综上所述：的取值范围是 19．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求a的值，并求的值； (2)求在上解不等式． (3)当时，有解，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 又当时，，所以，解得， 则时，， 所以. （2）由（1）得，当时，， 当时，，且是定义在上的奇函数， 所以， 由，得，即， 则，所以，得， 由指数函数在上是减函数，所以，解得. 故当时，不等式的解集为. （3）当时，， 由，得，则， 即在时有解， 由指数函数和在上均为减函数， 所以函数在上为减函数， 且时，，时，，则， 所以实数的取值范围为. 20．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，． (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有实根，求实数的取值范围． 【解析】（1）由可得， 因此， 又易知，当且仅当，即时，等号成立； 所以满足即可，解得， 因此实数的取值范围为. （2）由可得， 所以，即； 令，则，即， 易知函数在上单调递增，所以可得. 因此实数的取值范围为. 21．（2026·高一·湖北武汉·期中）某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据： 为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． (1)选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式； (2)当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，） (3)记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值． 【解析】（1）由表格中的数据可知，随着的增大，函数的值增长得越来越快， 模型①②中，随着的增大，的值增长的速度越来越慢，不符合要求， 模型③中，随着的增大，的值增长的速度越来越快，符合要求， 根据题意可得，解得，，则， 此时，，， 故符合题意. （2）由，可得，所以， 故， 所以此模型至少需要训练小时才能进入可用阶段. （3）由题意可得， 因为，即， 所以， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 故当时，， 设，其中，由题意可知函数在上的最小值为， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，即当时，函数在上单调递增， 所以，解得，符合题意； ②当时，即当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得（舍去）. 综上所述. 22．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）长沙是著名的历史文化名城，也是我国新型的工程机械、电子信息和新材料产业基地．现已知某初创高科技企业位于长沙高新区，每月生产某特殊设备最少1台最多8台，每生产台，月收入函数为：（单位千万元），月成本函数为：（单位千万元）． (1)求月收入函数的的最小值，并求出此时的的值； (2)在经济学中，我们将函数的边际函数定义为．求成本函数的边际函数的定义域及最小值； (3)求每月企业利润的最大值．（注：本题中） 【解析】（1）对于月收入函数， 当且仅当时，即时，等号成立， 则月收入函数的的最小值为28千万元，并求出此时的x的值为； （2）， 设，对称轴为,因为，所以， 在范围内是单调递增函数， 在范围内是单调递减函数， 时，取最小值，且最小值为，千万元； （3）∵每月企业利润等于月收入减去月成本函数， 而， 设，根据均在上单调递增，则在上单调递增， 当时，取最小值，且最小值为， 当时，取最大值，且最大值为， 则转化为， 而的对称轴为，在上单调递增， 故时，取最大值， 且最大值为， 故每月企业利润的最大值为千万元． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 函数的应用（二） 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：函数的零点 3 知识点二：函数零点的判定 4 知识点三：二分法 4 知识点四、几种常见的函数模型 5 知识点五、解答应用问题的基本思想和步骤 6 知识点六、解答函数应用题应注意的问题 6 03 题型精讲举一反三 8 题型一：函数零点的求解 8 题型二：参数取值与范围求解 8 题型三：零点存在性定理的应用 9 题型四：零点区间约束下的参数范围求解 9 题型五：零点个数约束下的参数范围求解 10 题型六：一次函数零点分布的参数求解 10 题型七：二次函数零点分布的参数求解 11 题型八：指对幂函数零点分布的参数求解 11 题型九：函数与方程的综合运用 12 题型十：二分法的实际应用 13 题型十一：函数模型的应用 15 04 过关测试 18 知识点一：函数的零点 1、函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 知识点诠释： ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． （2）二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 知识点二：函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 知识点诠释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有． ③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 知识点三：二分法 1、二分法 对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度． 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中． 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度． 知识点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根． 3、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位． （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 知识点四、几种常见的函数模型 1、一次函数模型：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 知识点五、解答应用问题的基本思想和步骤 1、解应用题的基本思想 2、解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求． 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果． 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景． 上述四步可概括为以下流程： 实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）． 知识点六、解答函数应用题应注意的问题 首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它． 其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系． 其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率． 题型一：函数零点的求解 例1．函数的零点是（ ） A． B． C． D． 例2．（2026·高一·新疆喀什·期末）函数的零点为（   ） A．5 B．5或 C． D． 例3．（2026·高一·陕西榆林·期末）的零点为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2026·高一·四川·阶段检测）函数的零点是（   ） A．0和9 B．0和 C．和 D．和 变式2．（2026·高二·内蒙古乌兰察布·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 题型二：参数取值与范围求解 例4．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 例5．（2026·高二·福建·学业考试）已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例6．已知函数的两个零点分别为，1，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式3．关于的函数的两个零点为，且，则＝（　　） A． B． C． D． 变式4．若函数的零点为2，则函数的零点是（    ） A．0， B．0， C．0，2 D．2， 题型三：零点存在性定理的应用 例7．（2026·高一·甘肃兰州·期中）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 例8．（2026·高一·湖南长沙·期中）已知函数，当时，x所在的区间为（    ） A． B． C． D． 例9．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知方程的解为，求所在的区间为（   ） A． B． C． D． 变式5．（2026·高一·湖北咸宁·期中）已知函数，则该函数零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 变式6．（2026·高一·陕西商洛·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 题型四：零点区间约束下的参数范围求解 例10．（2026·高一·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例11．（2026·高一·甘肃天水·阶段检测）若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例12．（2026·高一·河北张家口·期末）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式7．（2026·高一·全国·期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 变式8．（2026·高三·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型五：零点个数约束下的参数范围求解 例13．（2026·高一·全国·阶段检测）已知函数的零点个数不超过1，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例14．（2026·高一·陕西汉中·阶段检测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例15．（2026·高一·江苏淮安·期中）如果二次函数有两个不同的零点，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 变式9．（2026·高一·全国·单元测试）已知函数在内至少有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式10．若函数在上恰有一个零点，则（   ） A． B． C．或 D．或 题型六：一次函数零点分布的参数求解 例16．若方程的根在内，则的取值范围是_____． 例17．（2026·广东茂名·二模）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是 ． 例18．（2026·高一·浙江杭州·期末）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 . 变式11．若函数在上存在，使，则实数的取值范围是______. 题型七：二次函数零点分布的参数求解 例19．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，若方程有三个不等的实数解，则的取值范围是______ 例20．（2026·高一·天津河北·阶段检测）已知关于的方程有两根、，若，则实数的取值范围是______． 例21．（2026·高一·安徽·期末）若关于的方程的一根比2小且另一根比2大，则a的取值范围是______． 变式12．（2026·高一·北京·期中）已知函数的两个零点一个小于3，另一个大于3，则实数的取值范围为______. 变式13．若关于的方程的两个实数根，满足，，则实数的取值范围为______． 变式14．（2026·高一·江苏南京·期中）方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是_____． 题型八：指对幂函数零点分布的参数求解 例22．（2026·高三·山东济南·阶段检测）已知且，函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是______． 例23．（2026·高一·辽宁沈阳·期末）已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是______． 例24．（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）若关于x的方程有且仅有一个实数根，则__________ 变式15．（2026·高二·广东广州·期末）已知定义在上的偶函数，当时，若函数恰有六个零点，且分别记为则的取值范围是________ 变式16．（2026·湖南长沙·二模）设且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则①的取值范围是_______；②的取值范围是_______. 变式17．（2026·高一·山西长治·阶段检测）已知函数，若，且，则的取值范围为________． 题型九：函数与方程的综合运用 例25．已知函数 (1)若方程在区间上有且仅有1个实根， 求a的取值范围； (2)若函数 在区间 上的最大值为 求a的值. 例26．（2026·高二·宁夏银川·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 例27．（2026·高一·贵州遵义·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． 变式18．（2026·高一·湖北荆州·期中）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在的最大值和最小值之差不超过，求的取值范围； (3)已知函数只有一个零点，求的取值范围． 变式19．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知函数. (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明：在区间上单调递增； (3)若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围. 变式20．（2026·高一·浙江宁波·开学考试）已知幂函数在上单调递增． (1)求的值及函数的解析式； (2)若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围． 题型十：二分法的实际应用 例28．（2026·高一·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 例29．（2026·高一·广东深圳·期末）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例30．（2026·高一·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 变式21．（2026·高一·新疆克拉玛依·期末）下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ） A． B． C． D． 变式22．（2026·高一·天津河西·阶段检测）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 变式23．（2026·高一·山东淄博·阶段检测）用二分法求函数在区间内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式24．（2026·高一·湖北·阶段检测）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 变式25．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 1 1.5 1.25 1.375 1.4375 -2 0.625 -0.984 -0.260 0.162 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）不可以是（   ） A．1.375 B．1.25 C．1.4375 D．1.40625 题型十一：函数模型的应用 例31．（2026·高一·山东潍坊·期中）某公司生产新型电子产品，年固定研发成本为40万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为（万元），已知当年产量不超过10万台时，；当年产量超过10万台时，. (1)写出年利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式 (2)求年产量为多少万台时，能使该公司年利润达到最大.（注：利润=销售收入-成本） 例32．（2026·高一·福建泉州·阶段检测）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系．现有以下三种函数模型供选择：①， ②， ③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)选取表格中的前两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数超过15.5万． 例33．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 变式26．（2026·高一·贵州毕节·期中）中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过后茶水的温度（单位：）可由公式（其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. (1)求的值； (2)若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） (3)该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 变式27．（2026·高一·广东深圳·期中）某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． (2)若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 变式28．（2026·高一·贵州毕节·期中）某研究机构对高中生每周玩手机时长（单位：小时，）与数学成绩（单位：分，满分分）的关系进行调查.通过实验采集到以下信息：已知成绩与时长近似满足函数关系，其中为常数；每周玩手机4小时，成绩为70分；每周玩手机5小时，成绩为60分. (1)若张三同学希望数学成绩不低于90分，求他每周玩手机时长的最大值（精确到0.1小时；参考数据）； (2)若，求的值. 1．函数的函数值表示不小于x的最小的整数，例如，则函数的零点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．（2026·高一·湖南衡阳·期中）已知，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·云南昆明·期中）某药在病人血液中的量低于500mg时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（    ）h（精确到，参考数据：） A．3.6 B．5.7 C．7.0 D．8.0 5．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于：．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式，其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（     ）（取：，，） A．12小时后 B．24小时后 C．28小时后 D．30小时后 6．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·山西运城·期中）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B． C．在区间上有5个零点 D． 8．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知函数若存在，，，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．函数在上单调递减 C．函数的零点之积为 D．方程最多有3个实数根 10．（多选题）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．的减区间为 C． D．函数的零点个数为8 11．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期末）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A．或 B．不存在，使得 C．若，则 D．已知，且，则或3 12．已知函数的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________，________. 13．方程的解的个数为__. 14．（2026·高一·湖南长沙·期中）已知二次函数有且仅有一个零点，则的最小值为__________． 15．（2026·高一·上海·期中）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 16．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若分别为的零点，且． ①求的取值范围； ②设函数，求的取值范围． 17．（2026·高一·上海奉贤·期末）设函数，其中． (1)求函数的定义域与值域； (2)若存在一个点，满足，则称函数关于点对称；若存在一条直线，满足，则称函数关于直线对称．判断函数是否具有对称性，请说明理由； (3)若函数在上有零点，求实数的取值范围． 18．（2026·高一·上海·期末）已知． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的方程的解集恰有一个元素，求的取值范围. 19．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求a的值，并求的值； (2)求在上解不等式． (3)当时，有解，求实数m的取值范围． 20．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，． (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有实根，求实数的取值范围． 21．（2026·高一·湖北武汉·期中）某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据： 为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． (1)选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式； (2)当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，） (3)记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值． 22．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）长沙是著名的历史文化名城，也是我国新型的工程机械、电子信息和新材料产业基地．现已知某初创高科技企业位于长沙高新区，每月生产某特殊设备最少1台最多8台，每生产台，月收入函数为：（单位千万元），月成本函数为：（单位千万元）． (1)求月收入函数的的最小值，并求出此时的的值； (2)在经济学中，我们将函数的边际函数定义为．求成本函数的边际函数的定义域及最小值； (3)求每月企业利润的最大值．（注：本题中） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $