精品解析：陕西省西安爱知中学、西安市经开第一中学联考2025-2026学年度第二学期期末试题八年级数学学科

2025-2026学年度第二学期期末试题 八年级数学学科 一、选择题：（共8个小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一个图形绕一点旋转180度，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 2. 把分式（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 缩小为原来的 D. 不改变 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：，分式的值不改变， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解要求结果为几个整式乘积的形式，结合因式分解的基本方法逐一判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，是将乘积展开为多项式，不是因式分解，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、右边是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解定义，该选项不符合题意； D、，正确，符合要求，该选项符合题意． 4. 如图，在中，连接，过点作，垂足为．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，求出，，即可得到，即可求出答案． 【详解】解：在中，， ，， ，， ， ， ， ． 5. 如图，在中，，为的中位线，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. 32° D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的性质以及等腰三角形的性质等知识，掌握中位线的性质是解答本题的关键． 根据为的中位线，可得，，即，结合，可得，即，即可解答． 【详解】∵为的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 某校组织名学生去外地参观，现有两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆型客车比每辆型客车多坐人，单独选择型客车比单独选择型客车少租辆．设型客车每辆坐人，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型客车每辆坐人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设型客车每辆坐人， 由题意得，， 故选：． 7. 如图，菱形和菱形，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点，根据菱形的性质以及等边三角形的性质证明，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形和都是菱形， ，，，，，． ， ，为等边三角形． 为等边三角形，，． ，， ． ∵点是的中点， ． ． ． ． ． 8. 如图．矩形中，，E为对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，且，则的长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接交于，过作于，证明，，证明为等边三角形，可得，，证明，，证明为的中位线，可得，，求解，可得，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接交于，过作于， ∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴为的中位线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 当分式有意义时，应满足的条件为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分式的分母不能为0，因此令题中分式的分母不等于0，求解不等式即可得到应满足的条件． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不为0． 若分式有意义，则分母满足 ， 解得． 10. 如图，是正十边形的一条边，过点作的垂线交的延长线于点，则的度数为_____． 【答案】##18度 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和公式与正十边形的每个角相等求出和度数，再利用三角形内角和定理和邻补角定义即可求出度数和与度数，最后再根据三角形内角和定理即可求出度数． 【详解】解：连接，如图所示， 正十边形的内角和是， 正十边形的每个角度都是， ， ，． ， ， ． 11. 已知，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】把所求代数式因式分解为，再代入求值即可． 【详解】∵，， ∴． 12. 若关于的分式方程有增根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】把分式方程化为整式方程，进而把增根代入，可得m的值． 【详解】解：去分母得：， ∵方程有增根， ∴， ∴． 13. 如图，矩形的对角线，交于点O，E是上一点，连接、，若，，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，证明，得到，，证明，得到，则可证明，则可推出，据此可得． 【详解】解：∵矩形的对角线，交于点O， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，正方形中，，点E是线段上一点，且，点F是线段上的动点，点M是上的动点，且，连接，点N为的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长交于点P，连接，过点C作于点H，根据正方形的性质得出是等腰直角三角形， ，再由直角三角形的性质得出，利用全等三角形的判定和性质得出， ，结合图形，利用三角形的中位线求解即可． 【详解】解：连接，延长交于点P，连接，过点C作于点H，如图所示： ∵四边形是正方形，且， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得： ， ∵于点H， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， 在和中， ， ， 即点M是的中点， 又∵点N为的中点， ∴是 的中位线， ∴当为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得： ∴当点P与点H重合时，为最小，最小值为 此时为最小，最小值为 ． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 解不等式（组）： （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为：． 16. 化简与求值： （1）化简： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 当时，原式． 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘以得，， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘得，， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 18. 尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）如图，已知平行四边形，请用尺规在上确定一点，使． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】解：作的垂直平分线交于点， ∵平行四边形， ∴， 又∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴． 19. 如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，AC、DF相交于点G，且，．求证：． 【答案】 证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】首先证明借助HL证明，由全等三角形的性质可知，然后由“等角对等边”即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关性质和判定是解题关键． 20. 爱知中学为丰富同学们的大课间活动，准备为各班购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低元，已知用元购买跳绳的数量是用元购买实心球数量的倍．请列分式方程求出跳绳和实心球的单价． 【答案】跳绳的单价为元，实心球的单价为元 【解析】 【分析】设跳绳的单价为元，则实心球的单价为元，根据用元购买跳绳的数量是用元购买实心球数量的倍建立方程求解即可． 【详解】解：设跳绳的单价为元，则实心球的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：跳绳的单价为元，实心球的单价为元． 21. 如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，关键是灵活应用这些知识点解题； （1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行论证； （2）根据角平分线的性质可得，然后利用勾股定理求． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 22. 阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：－＝0. 解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2. 经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解． 当y＝2时，＝2，解得x＝－1；当y＝－2时，＝－2，解得x＝. 经检验，x1＝－1，x2＝都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝. 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________； (2)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________； (3)模仿上述换元法解方程：－－1＝0. 【答案】（1）；（2）；（3）x＝－. 【解析】 【分析】（1）将所设的y代入原方程即可； （2）将所设的y代入原方程即可； （3）利用换元法解分式方程，设y＝，将原方程化为y−＝0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可． 【详解】（1）将y＝代入原方程，则原方程化为−＝0； （2）将y＝代入方程，则原方程可化为y−＝0； （3）原方程可化为－＝0，设y＝，则原方程可化为y－＝0， 方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1， 经检验，y1＝1，y2＝－1都是方程y－＝0的解； 当y＝1时，＝1，该方程无解；当y＝－1时，＝－1，解得x＝－， 经检验，x＝－是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为x＝－. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度． 23. 如图，在中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形、菱形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识． （1）通过角的等量关系证明边相等，进而判定四边形为菱形； （2）依据菱形性质、直角三角形性质和勾股定理求出相关线段长度，再根据菱形面积公式求解CE的长． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 由（1）可知，四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的长为． 24. 当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件．其中A配件的进货单价是250元，B配件的进货单价是60元，若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，A配件进货件数不超过B配件件数的．据市场销售分析，A配件提价销售，B配件按进价的1.5倍销售．怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 【答案】购进配件100件，配件200件时，才能让本次销售的利润达到最大，最大利润是11000元 【解析】 【分析】设购进m件A配件，则购进件B配件，根据题意，得，求出的范围，设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为w元，列出函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设购进件配件，则购进件配件， 根据题意得：，解得：， 设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为元， 根据题意得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时． 答：购进配件100件，配件200件时，才能让本次销售的利润达到最大，最大利润是11000元． 25. 如图：两个一次函数与的图象分别为和，与交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）请求出的解析式； （2）若点和点分别是轴和直线上的动点，是否存在以A、P、B、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或． 【解析】 【分析】（1）先得出点，然后把代入求出点的坐标，进而根据待定系数法求解即可； （2）由题意可设，然后分三种情况，再根据平行四边形的性质及中点坐标公式可得点的坐标． 【小问1详解】 解：由题意可把代入得：，解得：， ∴； 把点代入得：， ∴， 把代入得：，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在，由题意可设， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线与互相平分， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴对角线与互相平分， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴对角线与互相平分， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴； ∴综上，或． 26. 综合探究与应用： 问题提出： （1）如图1，已知，，点在内，且，，则________°； 问题探究： （2）如图2，中，，，点是内一点，连接、、，作，交于点，若，，，请求出的长度； 问题解决： （3）某区计划开发一块四边形荒地做度假山庄，如图3，已知，，，，计划四边形在内部构造凉亭，并且修建两条垂直且相等的步道、，且，，将区域规划为主休息区，与为儿童活动区，请问儿童活动区与面积和为多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，可得，再根据，即可求解； （2）连接与交于点，证明，可得，，可得，再利用勾股定理即可求解； （3）过作，且，连接并延长交于点，交于点，连接，证明，可得，，可得，由，可得，可得，证明可得；过点E作交的延长线于点H，可证明是等腰直角三角形，得到，由勾股定理得到，求出的面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：在 和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【小问2详解】 解：如图2，连接与交于点， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，． 【小问3详解】 解：过作，且，连接并延长交于点，交于点，连接， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 过点E作交的延长线于点H， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末试题 八年级数学学科 一、选择题：（共8个小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把分式（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 扩大为原来的4倍 C. 缩小为原来的 D. 不改变 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，连接，过点作，垂足为．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，为的中位线，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. 32° D. 6. 某校组织名学生去外地参观，现有两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆型客车比每辆型客车多坐人，单独选择型客车比单独选择型客车少租辆．设型客车每辆坐人，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形和菱形，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图．矩形中，，E为对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，且，则的长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 当分式有意义时，应满足的条件为________． 10. 如图，是正十边形的一条边，过点作的垂线交的延长线于点，则的度数为_____． 11. 已知，，则的值为________． 12. 若关于的分式方程有增根，则的值为________． 13. 如图，矩形的对角线，交于点O，E是上一点，连接、，若，，则的值为________． 14. 如图，正方形中，，点E是线段上一点，且，点F是线段上的动点，点M是上的动点，且，连接，点N为的中点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 解不等式（组）： （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 16. 化简与求值： （1）化简： （2）先化简，再求值：，其中． 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）如图，已知平行四边形，请用尺规在上确定一点，使． 19. 如图，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，AC、DF相交于点G，且，．求证：． 20. 爱知中学为丰富同学们的大课间活动，准备为各班购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低元，已知用元购买跳绳的数量是用元购买实心球数量的倍．请列分式方程求出跳绳和实心球的单价． 21. 如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求的长． 22. 阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：－＝0. 解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2. 经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解． 当y＝2时，＝2，解得x＝－1；当y＝－2时，＝－2，解得x＝. 经检验，x1＝－1，x2＝都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝. 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________； (2)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________； (3)模仿上述换元法解方程：－－1＝0. 23. 如图，在中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 24. 当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件．其中A配件的进货单价是250元，B配件的进货单价是60元，若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，A配件进货件数不超过B配件件数的．据市场销售分析，A配件提价销售，B配件按进价的1.5倍销售．怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 25. 如图：两个一次函数与的图象分别为和，与交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）请求出的解析式； （2）若点和点分别是轴和直线上的动点，是否存在以A、P、B、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在，说明理由． 26. 综合探究与应用： 问题提出： （1）如图1，已知，，点在内，且，，则________°； 问题探究： （2）如图2，中，，，点是内一点，连接、、，作，交于点，若，，，请求出的长度； 问题解决： （3）某区计划开发一块四边形荒地做度假山庄，如图3，已知，，，，计划四边形在内部构造凉亭，并且修建两条垂直且相等的步道、，且，，将区域规划为主休息区，与为儿童活动区，请问儿童活动区与面积和为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $