精品解析：安徽安庆市2025一2026学年第二学期期末义务教育阶段过程性素质评价八年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期末义务教育阶段过程性素质评价 八年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几组数据中，不是勾股数的是 （ ） A. 3， 4， 5 B. 5， 12， 13 C. 7， 24， 25 D. 3. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 2、3、1 B. 2、-3、1 C. 2、3、-1 D. 2、-3、-1 4. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 扎染是民间传统而独特的染色工艺，织物在染色时部分结扎起来使之不能着色的一种染色方法，是中国传统的手工染色技术之一．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个外角均是的正多边形图案，这个正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点F，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 如图，在四边形中，点分别是各边的中点．甲说：若四边形是矩形，则四边形是菱形；乙说：若四边形是菱形，则四边形是矩形．下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙都错误 8. 已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A. B. C. D. ，方程无实数解 9. 我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．下图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 10. 如图，已知菱形的边长为，于点，交于点，且，是对角线上的一动点，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则______． 12. 如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为________． 13. 若实数a，b满足等式，，则________． 14. 如图，正方形中，点，分别为边，上的点，连接，过点作于点，且． （1）______； （2）连接，分别交，于点，，已知，，则的长为_______． 三、解答题（满分90分） 15. 计算： 16. 解方程： 17. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为；求：此三角形最长边上的高． 19. 如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点，若，求的周长． 20. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 a 92 94 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数，________； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 21. 定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． （1）已知关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； （2）如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； （3）若关于的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于的方程是常数根一元二次方程． 22. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 （1）任务一：求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． （2）任务二：工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ （3）任务三：有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 23. 已知四边形是正方形，点E是延长线上一点，点F是上一点，． （1）如图1，求证：； （2）连接交于点G，连接． ①如图2，求证：； ②如图3，若点F是的中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末义务教育阶段过程性素质评价 八年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、不是二次根式，故此选项不符合题意； D、是二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列几组数据中，不是勾股数的是 （ ） A. 3， 4， 5 B. 5， 12， 13 C. 7， 24， 25 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数，必须是正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得． 【详解】解：A、，是勾股数，此选项不符合题意； B、，是勾股数，此选项不符合题意； C、，是勾股数，此选项符合题意； D、不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意． 故选：D． 3. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 2、3、1 B. 2、-3、1 C. 2、3、-1 D. 2、-3、-1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，，是常数且，进行解答即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是2、一次项系数是、常数项是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，，是常数且，解题的关键是掌握在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 4. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根，计算判别式即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程，若方程有两个相等的实数根，则需满足， A项：方程为，可得，，， ∵， ∴该方程有两个相等的实数根，符合题意； B项：方程为，可得，，， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C项：方程为，可得，，， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D项：方程为，可得，，， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 5. 扎染是民间传统而独特的染色工艺，织物在染色时部分结扎起来使之不能着色的一种染色方法，是中国传统的手工染色技术之一．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个外角均是的正多边形图案，这个正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角，根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数． 【详解】解：正多边形的一个外角等于，且外角和为， 则这个正多边形的边数是：． 故选：C． 6. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点F，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，然后求出，再根据三角形的中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵的平分线与边相交于点F， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵E是的中点， ∴． 7. 如图，在四边形中，点分别是各边的中点．甲说：若四边形是矩形，则四边形是菱形；乙说：若四边形是菱形，则四边形是矩形．下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙都错误 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线的性质可得，即可判断甲；四边形是菱形，只能判断，无法得到四边形是矩形． 【详解】解：如图，连接， ， 若四边形是矩形，则， 点分别是各边的中点， ， 四边形是菱形，故甲说法正确； 若四边形是菱形，则， ， 无法证明四边形是矩形，故乙说法错误． 8. 已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A. B. C. D. ，方程无实数解 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 9. 我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．下图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设每一个直角三角形的面积为，根据图形得到，，即可得到答案． 【详解】解：设每一个直角三角形的面积为， ，， ， ， ， 解得． 10. 如图，已知菱形的边长为，于点，交于点，且，是对角线上的一动点，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及含30度角的直角三角形的性质，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键 根据菱形的性质及含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定等依次判断各选项即可 【详解】解：于点，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵对角线， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴，故B正确，不符合题意； 当点P与点F重合时，取得最小值， ∵菱形的边长为， ∴， 由B选项得：， ∴， ∴，选项C错误，符合题意； ∵菱形， ∴点A与点C关于BD对称， ∴， 当点A、P、E三点共线时，取得最小值即为AE， ∵， ∴， 即的最小值为，选项D正确，不符合题意； 故选：C 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，根据同类二次根式的概念得到关于的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， ， 移项得， 系数化为得． 12. 如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为________． 【答案】 【解析】 【分析】设旗杆的高为，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设旗杆的高为， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，即旗杆的高为． 13. 若实数a，b满足等式，，则________． 【答案】 或或 【解析】 【分析】先由a、b满足结构相同的方程，确定二者是一元二次方程的根，同时将变形为代入待求式降次，把式子转化为含与的形式，再分两种情况讨论，①时用一元二次方程根与系数关系 求出、后代入计算，时先解出方程的根，再分别代入求值． 【详解】解：∵实数a，b满足等式，， ∴a，b可看作方程的根， ∵， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①： 由一元二次方程根与系数关系得 ，， 原式； ②： 解方程， 因式分解，得， 解得，， 当时，原式； 当时，原式； 综上，或或． 14. 如图，正方形中，点，分别为边，上的点，连接，过点作于点，且． （1）______； （2）连接，分别交，于点，，已知，，则的长为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）证明得，证明得，推出，可得答案； （2）如图，连接，，根据正方形的性质及垂直的定义得，，证明得，，证明得，，推出，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：（1）∵在正方形中，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，连接，， ∵正方形中，，，， ∴，， 由（1）知：，， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 即的长为． 三、解答题（满分90分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 17. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根公式的运用，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据根的判别式计算即可； （2）运用求根公式得到，，结合题意列式求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ． 无论k取何值，该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， 解得：，， 方程的一个根大于1， ． 解得：． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为；求：此三角形最长边上的高． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析，三角形最长边上的高为2 【解析】 【分析】（1）画出一个边长为的正方形即可； （2）根据要求结合勾股定理画出三角形，等积法求出三角形最长边上的高即可． 【小问1详解】 解：如图1，正方形即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示：三角形三边长分别为； 设此三角形最长边上的高为， ，， 此三角形是直角三角形； 则由三角形面积可得：， 解得：， 故三角形最长边上的高为2． 19. 如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点，若，求的周长． 【答案】（1） 证明：， 是的中点， 又是的中点， ∴是的中位线， ， 点在的延长线上， ， 又， ∴四边形为平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明是的中位线，得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由是的中位线，得，，，由勾股定理求出，故，，由四边形为平行四边形得，，再由勾股定理求出，即，最后由的周长为即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，且， ， 于点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 的周长为：． 20. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 a 92 94 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数，________； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】（1）94，40 （2） （3）对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人 【解析】 【分析】（1）根据众数定义求出a的值，先求出“”得分在C组中所占的比例，再求出m的值即可； （2）根据下四分位数的定义进行解答即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：“豆包”得分出现次数最多的是94， ∴众数， “”得分在C组中所占的比例为， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：排在第5，6位数分别是89，90， ∴“豆包”得分的下四分位数为； 【小问3详解】 解：（人） 答：对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人． 21. 定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． （1）已知关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； （2）如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； （3）若关于的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于的方程是常数根一元二次方程． 【答案】（1）的值为0或； （2）或； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于c的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于m的方程即可； （3）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，得到，因此是关于y的方程的一个根，从而得证结论． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，，即， 解得或； 【小问2详解】 解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，， 整理得，， 解得或； 【小问3详解】 解：∵关于x的常数根一元二次方程中不含零根， ∴方程的一个根为，且， 将代入方程，得，即， ∵， ∴， ∴把代入方程，得左边右边， ∴是关于y的方程的一个根， ∴关于y的方程是常数根一元二次方程． 22. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 （1）任务一：求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． （2）任务二：工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ （3）任务三：有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）该零件的实际售价应定为50元 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量该车间4月份生产数量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设该零件的实际售价为m元，则每个的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让消费者得到实惠，即可确定结论； （3）设该零件的实际售价为n元，可列出关于n的一元二次方程，解之即可确定结论． 【小问1详解】 解：设车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该零件的实际售价为m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵尽可能让消费者得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元； 【小问3详解】 解：设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到20000元， 由题意得， 整理得， ， 方程没有实数根， 故月销售利润不能达到20000元． 23. 已知四边形是正方形，点E是延长线上一点，点F是上一点，． （1）如图1，求证：； （2）连接交于点G，连接． ①如图2，求证：； ②如图3，若点F是的中点，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①证明见解析，② 【解析】 【分析】（1）证根据正方形的性质得到，，求得，证明根据全等三角形的性质得到； （2）①如图1，过点F作交于H，则，是等腰直角三角形，求得，由（1）可知，则，证明，根据全等三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到； ②设，则，，，根据勾股定理得到，由①可知，则，同理①，过点F作交于H，如图2．得到，求得，由（1）知，，证明，根据全等三角形的性质得到，，则，进而可得答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 则， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图1，过点F作交于H，则，是等腰直角三角形， ∴， 由（1）可知，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的斜边上的中线， ∴， 在中，，则， ∴， ∴； ②解：设，则，，， ∴， 由①可知，则， 同理①，过点F作交于H，如图2， ∵F是的中点，是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，则， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $