精品解析：上海市曹杨中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试卷

2025学年第二学期高一数学期末试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 一､填空题（本大题共12小题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分） 1. 扇形的半径为2，弧长为2，则该扇形的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】解：因为扇形的半径为2，弧长为2， 所以该扇形的面积为， 故答案为：2. 2. 已知，则与同向的单位向量坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算向量的模长，再将除以其模长即可得到与同向的单位向量。 【详解】已知，  根据同向单位向量的定义，与同向的单位向量为： 3. 已知，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接求导，再根据导数含义即可得到答案. 【详解】,，则 . 故答案为：1. 4. 若角的终边经过，则__________. 【答案】## 【解析】 【详解】根据三角函数的定义得，又因为，所以. 5. 已知，则函数的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】可知函数定义域为，且， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，. 6. ，则向量在向量方向上的数量投影为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量投影的计算公式计算即可. 【详解】，，. 向量在向量方向上的数量投影为. 7. 已知平面向量，，满足，，且，的夹角为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得； 【详解】解：因为，，且，的夹角为， 所以， 所以 故答案为： 8. 已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是严格减函数， 所以，因此的最大值为. 9. 已知函数 ， 和函数的图像交于 三点，则 的面积为 ______. 【答案】## 【解析】 【详解】由题：， ，所以，， 所以， ． 10. 若函数在区间存在最大值，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求函数导数判断单调性与极值点，结合开区间存在最大值的约束条件列不等式组，求解得到的取值范围。 【详解】因为，所以，令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取到极大值4. 要使函数在区间存在最大值，则，解得， 所以满足条件的. 11. 正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，为正六边形的顶点，是这个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为______________ 【答案】 【解析】 【分析】过C作交延长线于E点，则，结合图象，当位于点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】 如图，过作交延长线（或反向延长线）于点， 则， 因为个正六边形的边长均为，如图，当位于点时，取得最大值， 此时，，， 则此时，即. 12. 已知定义在上的函数满足，且，是的导数，则使得不等式成立的x的范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，再利用导数确定单调性并求解不等式. 【详解】由题意得，令函数，而， 求导得， 则函数在上单调递增，， 不等式，因此， 所以x的范围为. 二､选择题（本题满分18分，13､14每小题满分4分，15､16每小题满分5分） 13. 是或的（　　　） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若或，则必有，故必要性成立； 若，不一定有或，例如方向不同但模相等的向量，故充分性不成立； 因此是或的必要非充分条件． 14. 已知中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合同角三角函数的基本关系求出，，然后结合诱导公式以及和差角公式进行化简即可求解. 【详解】因为在中，，， 所以，， 因为，为锐角，所以， 若，则为钝角，又可知，，此时，矛盾， 故，则. 15. 在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】取AB的中点D，连接CD，由已知向量等式可得AB与CD垂直，从而得到三角形为等腰三角形. 【详解】若，取AB的中点D，连接CD，则， 即AB与CD垂直且D为AB的中点，所以可得CB=CA，即三角形为等腰三角形. 故选：C 16. 函数是定义在上的偶函数．其图象如图所示，．设是的导函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得. 【详解】由，且为偶函数，故， 由导数性质结合图象可得当时，， 当时，，当时，即， 则由，有，解得， 亦可得，或，或，或， 由可得或，解得， 由可得，即， 由，可得，即或（舍去，不在内）， 由，可得， 综上所述，关于x的不等式的解集为. 三､解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求与夹角的大小.（用反三角表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由 得 ，解得 ，则 ，. 【小问2详解】 . 由 得 ，解得 ，即 . 设 与 夹角为 ，则 . 又 ，故 . 18. 记的内角的对边分别为已知. （1）求； （2）若，点是边上一点，且，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 得， 又， 代入得，整理得 ， 因为，故，即，又，得. 【小问2详解】 已知，，。 ，则， ， 于是， 故. 19. 已知函数. （1）时，求的单调区间； （2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为. （2） 的取值范围为 【解析】 【分析】（1）利用导数直接求单调区间. （2）构造新函数，转化为恒成立问题，结合函数最值求参数的取值范围即可. 【小问1详解】 因为且， 令得. 当时 ，单调递增；当时，单调递减， 所以单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 时，等价于. 令，则. 令，，令，得，所以在单调递增， 且，所以在时恒成立. 所以与同号，当时，时，所以函数在处取最小值. 因此，即. 20. 已知函数，且图象的相邻两个最高点间的距离为. （1）求函数的所有零点； （2）当时，且，求的值； （3）设，将函数的图象向左平移单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意，都有，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据正弦型函数性质列式计算求解； （2）由同角三角函数的平方关系，及两角和的正弦公式即可求解； （3）根据图象变换可得，若对任意，都有成立，则，结合正弦函数性质计算求解. 【小问1详解】 因为图象的相邻两个最高点间的距离为， 则函数的最小正周期，解得， 所以， 令，解得， 所以函数的所有零点可以表示为； 【小问2详解】 由，得 . 由 得 ， 又，则 ，. 故. 【小问3详解】 将函数的图象向左平移个单位可得， 再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即， 当时，，故， 所以当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为， 若对任意，都有， 则，即， 所以的取值范围为. 21. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围； （3）对任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过求导，确定切线斜率，进而可求解； （2）将问题转换成直线与交点问题，研究的单调性和最值，进而可求解； （3）利用函数单调性，不等式等价于恒成立，令，由，得在上恒成立，利用导数求的最大值即可. 【小问1详解】 由， 得，，， 所以切线方程为 ，即. 【小问2详解】 有两个不同零点等价于直线 与 有两个交点， 由，得： 时 ，单调递减， 时 ，单调递增，此时 在处取最小值 ， 又 ，， 故直线与有两个交点时，故. 即函数在定义域内有两个不同零点，实数的取值范围是； 【小问3详解】 由，故 ， 原不等式化为 . 由，， 知在上单调递增， 又在上单调递增， 且，得， 即. 令，则在上单调递减， 即 恒成立， 即对恒成立. 令，求导得：， 当时，，在上单调递增， 时，，在 上单调递减， ， 故 ，得. 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高一数学期末试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 一､填空题（本大题共12小题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分） 1. 扇形的半径为2，弧长为2，则该扇形的面积为______． 2. 已知，则与同向的单位向量坐标为__________. 3. 已知，则______． 4. 若角的终边经过，则__________. 5. 已知，则函数的最大值为__________. 6. ，则向量在向量方向上的数量投影为__________. 7. 已知平面向量，，满足，，且，的夹角为，则________． 8. 已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为________. 9. 已知函数 ， 和函数的图像交于 三点，则 的面积为 ______. 10. 若函数在区间存在最大值，则的取值范围为__________. 11. 正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，为正六边形的顶点，是这个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为______________ 12. 已知定义在上的函数满足，且，是的导数，则使得不等式成立的x的范围为______． 二､选择题（本题满分18分，13､14每小题满分4分，15､16每小题满分5分） 13. 是或的（　　　） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知中，，则（ ） A. B. C. D. 15. 在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 16. 函数是定义在上的偶函数．其图象如图所示，．设是的导函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 三､解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求与夹角的大小.（用反三角表示） 18. 记的内角的对边分别为已知. （1）求； （2）若，点是边上一点，且，求的长. 19. 已知函数. （1）时，求的单调区间； （2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围. 20. 已知函数，且图象的相邻两个最高点间的距离为. （1）求函数的所有零点； （2）当时，且，求的值； （3）设，将函数的图象向左平移单位，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意，都有，求的取值范围. 21. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围； （3）对任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $