上海市黄浦区大同中学2025-2026学年第二学期期末考试试卷高一数学

2025学年第二学期期末考试试卷 高一数学 90分钟 满分100分 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、填空题（本大题共有12小题，每小题3分，共36分） 1．已知向量，设，向量，若，则__________． 2．已知，在第二象限，则的值为__________． 3．记为等差数列的前项和，若，，则__________． 4．已知复数满足：，则__________． 5．已知复数的虚部为1，且，则实数为__________． 6．已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为__________． 7．已知向量，，，，则的取值范围是__________． 8．如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，若，则__________． 9已知数列，满足，，，，__________． 10．已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是__________． 11．若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为__________． 12．为进一步缓解中小学放学时道路拥堵问题，小明提出一个改造方案：假设校门口有条长155米，宽10米的公路（如图矩形），公路的一侧划有31个长5米宽2.5米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），此时，停车位相对道路倾斜的角度，其中，该路段改造后的停车位比改造前增加__________个． 二、选择题（本大题共有4题，每小题4分，共16分） 13．下列各组向量中，可以作为平面向量的一个基的是（ ） A．， B．， C．， D．， 14在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（ ） A． B． C． D． 16．已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得（为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（ ） ①存在等差数列为数列 ②存在等比数列为数列 ③若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列 ④若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列 A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②③ 三、解答题（本大题满分48分） 17．（本题共4+4=8分）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数． （1）求实数； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值． 18．（本题共5+5=10分）已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间． 19．（本题共3+3+4=10分）如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点． （1）延长交于点（图1），求的值； （2）过点的直线与边，分别交于点，（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 20．（本题共3+3+4=10分）设，． （1）当时，直接写出函数在区间上单调性； （2）①根据的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数；②若函数在区间（为正整数）上恰有7个零点，求的最小值及此时的取值范围． 21．（本题共3+3+4=10分）已知整数，数列：，，，是递增的整数数列，即，，，且定义数列的“相邻数列”为：，，，，其中，，或 （1）已知，数列：，写出的所有“相邻数列”； （2）已知，数列：，，，是递增的整数数列，，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数； （3）已知，数列：，，，是递增的整数数列，，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，，，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $