第04讲 命题、定理、定义（知识详解+4典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（苏教版必修第一册）

第04讲 命题、定理、定义（知识详解+4典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：命题、定理、定义 知识点02：命题的形式 知识点03：命题真假的判断 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：命题的概念 题型02：判断命题的真假 题型03：指出命题的条件和结论 题型04：已知命题的真假求参数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】命题、定理、定义 1.在数学中,我们将可判断真假的陈述句叫作命题. 2.在数学中,有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为定理. 3.定义是对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵. 温馨提示　(1)命题要求能判断真假,且为陈述句. (2)判断为真的命题是真命题,判断为假的命题是假命题,一个命题不能同时既是真命题又是假命题. (3)命题可用小写字母表示,如p,q…. (4)定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象,并加以区别. 【例1】判断下列语句是否为命题，若是命题，判断真假，并指出其中的定义和定理。 1.正方形的四条边都相等； 2.x>3； 3.由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体； 4.请关好门窗。 【知识点02】命题的形式 数学中,许多命题可表示为“如果p,那么q”或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的条件,q叫作命题的结论. 温馨提示　确定命题的条件和结论时,常把命题改写成“若p,则q”的形式. 【例2】把下列命题改写成“若，则”的形式，并分别写出条件和结论。 1.负数的相反数是正数； 2.全等三角形面积相等。 【知识点03】命题真假的判断 命题真假的判定方法 (1)真命题的判定方法: 真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件,结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件,选择正确的逻辑推理方法. (2)假命题的判定方法: 通过构造一个反例否定命题的正确性,这是判断一个命题为假命题的常用方法. 【例3】判断下列命题的真假，并且写出完整判断依据，假命题需要举出反例。 1.若，则； 2.若，则。 【题型01】命题的概念 【典例1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【典例1-2】（2024高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【典例1-3】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 【变式1-1】（多选）下列语句不是命题的有（    ）. A． B．与一条直线相交的两直线平行吗？ C． D． 【变式1-2】下列语句:①是无限循环小数；②；③当时，；④请把门关上．其中不是命题的是________． 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）；               （2）是整数； （3）对所有的； （4）对任意一个是整数． 【题型02】判断命题的真假 【典例2-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，，，，则命题“若α，则β”是________命题．（填“真”或“假”） 【典例2-2】（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知命题：任何实数的平方都为正数；命题：存在一个无理数使得其三次方为有理数，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【典例2-3】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）对于任意两个集合与，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【变式2-1】（多选）（25-26高一上·贵州·期中）下列命题是真命题的有（   ） A．是无理数 B．若，则 C．方程有实数根 D．集合A是集合的子集 【变式2-2】（多选）（24-25高一上·安徽亳州·阶段检测）下列命题的否定为假命题的是（    ） A．有的无理数的平方是有理数 B．任何一个四边形的内角和都是 C．四边形都有外接圆 D．，使得 【变式2-3】判断下列命题的真假，并说明理由. (1)所有偶数都不是素数； (2)是的真子集； (3)0是的真子集； (4)如果集合A是集合B的子集，那么B不是A的子集. 【题型03】指出命题的条件和结论 【典例3-1】命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是（    ） A．两个数的符号不同 B．两个数只有符号不同 C．两个数互为相反数 D．只有符号不同 【典例3-2】命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（    ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 【典例3-3】命题：若，则且，条件p：_______，结论q：________. 【变式3-1】命题“平行四边形的对角线既互相平分，又互相垂直”的结论是________________________． 【变式3-2】将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 【变式3-3】写出下列命题的条件与结论. （1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等； （2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等； （3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等； （4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例. 【题型04】已知命题的真假求参数 【典例4-1】已知命题为真命题，则实数的值不能是（    ） A．1 B．0 C．3 D． 【典例4-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）（多选）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 【典例4-3】命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为______ 【变式4-1】（2024高一·全国·专题练习）已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围． 【变式4-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【变式4-3】设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 知识点01 命题、定理、定义 1. 核心概念 命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。 真命题：判断结果为正确的命题 假命题：判断结果为错误的命题 定义：对数学研究对象的本质属性做出的明确规定，定义属于真命题。 定理：经过严格逻辑推理证明为真，且可以直接作为后续推理依据的真命题。 2. 易混语句辨析（非命题） 疑问句、祈使句、感叹句、含有变量无法判定真假的语句，均不是命题。 3. 三者包含关系（微软公式） 知识点02 命题的形式 1. 标准命题形式 数学中所有命题均可统一改写为：若，则 ：命题的条件（题设） ：命题的结论 2. 逻辑推出符号 若条件成立可以推出结论成立，记作： 3. 改写注意事项 改写简略命题时，需要补充省略主语，保证语句通顺，清晰拆分条件与结论，不改变命题原本含义。 知识点03 命题真假的判断 1. 真假命题判定规则 真命题判定：结合定义、定理、公式，经过严谨逻辑推理，由条件一定能推出结论，即恒成立。 假命题判定：无需完整证明，只需找到一个反例，存在满足条件，但不满足结论的情况，即可判定为假命题。 2. 真假判定公式 真命题： 假命题： 知识点04高频易错点汇总 易错点1：误将疑问句、祈使句当成命题，忽略命题必须为陈述句 易错点2：改写命题时遗漏主语，导致条件、结论划分错误 易错点3：判断假命题时尝试完整证明，浪费解题时间，牢记反例法 易错点4：混淆定理与定义，定义是规定，定理是已证结论 一、单选题 1．下列命题中，是真命题的是（   ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 2．已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 4．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 5．下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 6. 下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 7．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ②⫋⫋ A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 8．设集合，命题：，命题：. 若和中有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 二、多选题 9．对于命题“若，则”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 11．（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 三、填空题 12．如果，，那么，该命题的结论是_______． 13．下列命题:①相等的角是对顶角；②若，则；③若，则.其中假命题的个数是____. 14．（24-25高一上·上海·阶段检测）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为__________. ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 四、解答题 15. 判断下列语句是否为命题： (1)有的正方形是三角形； (2)任意一个三角形的内角和都为； (3)1是自然数吗？ (4)； (5)，且. 16．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 17．将下列命题改写成“若p，则q”（或“如果p，那么q”）的形式. （1）有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形； （2）对顶角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 18．下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由． (1)． (2)或是方程的根． (3)空集是任何非空集合的真子集． (4)指数函数是增函数吗？ 19．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数的值； (2)若，则为真命题，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 命题、定理、定义（知识详解+4典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：命题、定理、定义 知识点02：命题的形式 知识点03：命题真假的判断 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：命题的概念 题型02：判断命题的真假 题型03：指出命题的条件和结论 题型04：已知命题的真假求参数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】命题、定理、定义 1.在数学中,我们将可判断真假的陈述句叫作命题. 2.在数学中,有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为定理. 3.定义是对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵. 温馨提示　(1)命题要求能判断真假,且为陈述句. (2)判断为真的命题是真命题,判断为假的命题是假命题,一个命题不能同时既是真命题又是假命题. (3)命题可用小写字母表示,如p,q…. (4)定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象,并加以区别. 【例1】判断下列语句是否为命题，若是命题，判断真假，并指出其中的定义和定理。 1.正方形的四条边都相等； 2.x>3； 3.由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体； 4.请关好门窗。 解：1.是命题，真命题，属于定理；该结论经过证明，可直接用于几何推理。 2.不是命题；含有变量，无法判断语句真假。 3.是命题，真命题，属于定义；该语句是对旋转体本质属性的明确规定。 4.不是命题；属于祈使句，不能判断真假。 【知识点02】命题的形式 数学中,许多命题可表示为“如果p,那么q”或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的条件,q叫作命题的结论. 温馨提示　确定命题的条件和结论时,常把命题改写成“若p,则q”的形式. 【例2】把下列命题改写成“若，则”的形式，并分别写出条件和结论。 1.负数的相反数是正数； 2.全等三角形面积相等。 解：1.改写：若一个数是负数，则这个数的相反数是正数 条件：一个数是负数；结论：这个数的相反数是正数 2.改写：若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等 条件：两个三角形全等；结论：两个三角形面积相等 【知识点03】命题真假的判断 命题真假的判定方法 (1)真命题的判定方法: 真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件,结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件,选择正确的逻辑推理方法. (2)假命题的判定方法: 通过构造一个反例否定命题的正确性,这是判断一个命题为假命题的常用方法. 【例3】判断下列命题的真假，并且写出完整判断依据，假命题需要举出反例。 1.若，则； 2.若，则。 解：1.假命题 依据：满足条件，除了，还有 反例：当时，，但，存在反例，故为假命题。 2.真命题 依据：根据不等式基本性质，不等式两边同时加上同一个实数，不等号方向不变 对任意实数，都有，推理恒成立，故为真命题。 【题型01】命题的概念 【典例1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】由命题的定义判断各个选项即可. 【详解】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题． 故选:D． 【典例1-2】（2024高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据命题的概念逐一判断. 【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 【典例1-3】（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 【答案】CD 【详解】A是祈使句，不是命题；B是疑问句，不涉及真假，不是命题；C，D是命题． 【变式1-1】（多选）下列语句不是命题的有（    ）. A． B．与一条直线相交的两直线平行吗？ C． D． 【答案】ABD 【分析】利用命题的概念逐项分析即得. 【详解】命题为可以判断真假的陈述句， 对于A，不能判断真假，故不是命题； 对于B，语句为疑问句，故不是命题； 对于C，是错误的，能判断真假，故是命题； 对于D，不能判断真假，故不是命题. 故选：ABD. 【变式1-2】下列语句:①是无限循环小数；②；③当时，；④请把门关上．其中不是命题的是________． 【答案】②④ 【分析】根据命题的定义判断. 【详解】①是陈述句，且能判断真假，故①是命题； ②语句中含有变量，没有给赋值前，无法判断语句的真假，故不是命题； ③是陈述句，且能判断真假，故③是命题； ④是祈使句，故④不是命题. 故答案为：②④ 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）；               （2）是整数； （3）对所有的； （4）对任意一个是整数． 【答案】答案见解析 【分析】根据命题是可以判断真假的陈述句，进行判断，再寻找关系. 【详解】（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题． （3）是在（1）的基础上，用短语“所有”对变量x进行限定，从而变为可以判断真假的命题；（4）是在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而变为可判断真假的命题． 【题型02】判断命题的真假 【典例2-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，，，，则命题“若α，则β”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】根据集合的包含关系判断即可. 【详解】，，故命题“若α，则β”是真命题. 故答案为：真. 【典例2-2】（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知命题：任何实数的平方都为正数；命题：存在一个无理数使得其三次方为有理数，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【分析】判断命题真假，再根据命题的否定逐项分析即可. 【详解】对于命题：易得0的平方仍为0，不是正数， 故是假命题，则是真命题； 对于命题：对于是无理数，其三次方是有理数， 所以命题是真命题，则为假命题. 故选：A. 【典例2-3】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）对于任意两个集合与，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】由集合的运算及基本关系求解． 【详解】对于A项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，若，则对，则，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误. 故选：D 【变式2-1】（多选）（25-26高一上·贵州·期中）下列命题是真命题的有（   ） A．是无理数 B．若，则 C．方程有实数根 D．集合A是集合的子集 【答案】AD 【分析】根据无理数的定义，可判断A的正误；根据x的范围，分析即可判定B的正误；根据的值域，可判断C的正误；根据并集的定义，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：是无理数，故A正确； 选项B：当时，满足，但，故B错误； 选项C：方程，整理得，因为， 所以方程无实数根，故C错误； 选项D：因为集合包含集合A中全部元素， 所以集合A是集合的子集，故D正确. 故选：AD 【变式2-2】（多选）（24-25高一上·安徽亳州·阶段检测）下列命题的否定为假命题的是（    ） A．有的无理数的平方是有理数 B．任何一个四边形的内角和都是 C．四边形都有外接圆 D．，使得 【答案】AD 【分析】由原命题的真假，即可判断其否定的真假. 【详解】若命题的否定为假命题，则原命题为真命题. 对于A，因为是无理数，2是有理数，A中命题是真命题，其否定是假命题； 对于B，平面四边形的内角和是，B中命题是假命题，其否定是真命题； 对于C，因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为假命题，其否定为真命题； 对于D，因为当时，，所以原命题为真命题，其否定为假命题. 故选：AD. 【变式2-3】判断下列命题的真假，并说明理由. (1)所有偶数都不是素数； (2)是的真子集； (3)0是的真子集； (4)如果集合A是集合B的子集，那么B不是A的子集. 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题，理由见解析 (3)假命题，理由见解析 (4)真命题，理由见解析 【分析】（1）利用偶数与素数的定义，举反例判断即可得解； （2）（3）（4）利用集合子集的定义逐一分析判断即可得解. 【详解】（1）因为是偶数，同时也是素数，所以该命题为假命题； （2）因为 ，且 ， 所以是的真子集，所以该命题为真命题； （3）因为是中的一个元素， 所以0不是的真子集，所以该命题为假命题； （4）当时，互为子集，所以该命题为假命题. 【题型03】指出命题的条件和结论 【典例3-1】命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是（    ） A．两个数的符号不同 B．两个数只有符号不同 C．两个数互为相反数 D．只有符号不同 【答案】B 【分析】将命题改写成“如果…，那么…”的形式，结合命题的相关概念即可得解. 【详解】原命题可以改写为“如果两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数”， “如果”后面的部分是条件，即两个数只有符号不同是原命题的条件． 故选：B. 【典例3-2】命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（    ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 【答案】A 【分析】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【详解】命题的大前提是“在三角形中”，条件是“大边”，结论是“对大角”. 故选:A. 【典例3-3】命题：若，则且，条件p：_______，结论q：________. 【答案】 且 【分析】根据命题条件与结论相关知识直接填空. 【详解】命题：若，则且， 则条件p：，结论q：且. 故答案为：；且 【变式3-1】命题“平行四边形的对角线既互相平分，又互相垂直”的结论是________________________． 【答案】这个四边形的对角线既互相平分又互相垂直 【分析】先将命题改写成“如果…，那么…”，的形式，从而可得命题的结论. 【详解】命题“平行四边形的对角线既互相平分，又互相垂直”可改写为 “如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线既互相平分又互相垂直” 故答案为：这个四边形的对角线既互相平分又互相垂直 【变式3-2】将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 【答案】答案见解析 【分析】分析出命题的条件、结论即可求解. 【详解】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数． （2）若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根． （3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分. 【变式3-3】写出下列命题的条件与结论. （1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等； （2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等； （3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等； （4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例. 【答案】答案见详解 【分析】根据命题的“若，则”形式，依次分析得到条件，结论即可 【详解】（1）由题意，根据命题的“若，则”形式 条件：两个三角形全等 结论：这两个三角形的对应高相等 （2）由题意，根据命题的“若，则”形式 条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等 结论：这两个三角形全等 （3）由题意，根据命题的“若，则”形式 条件：一个四边形是菱形 结论：这个四边形的四边相等 （4）由题意，根据命题的“若，则”形式 条件：两条直线被一组平行线所截 结论：所得的对应线段成比例 【题型04】已知命题的真假求参数 【典例4-1】已知命题为真命题，则实数的值不能是（    ） A．1 B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意求出的取值范围，判断选项 【详解】由题意得，，解得 故选：D 【典例4-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）（多选）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先求出命题“方程没有实数根”为真时，的取值范围，再结合选项，即可求解. 【详解】当方程没有实数根时，有，得到， 故选：BC. 【典例4-3】命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据命题的真假得出结论． 【详解】命题“若，则”是真命题，则， 故答案为：． 【变式4-1】（2024高一·全国·专题练习）已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围． 【答案】或 【分析】分别计算出命题、为真命题时的取值范围后，结合、一真一假即可得. 【详解】设为的两个不等的负根，则， 解得，记集合， 而，解之得，记集合， 若p真q假，则， 若p假q真，则， 综上：若、一真一假，则 或. 【变式4-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集. 【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 【变式4-3】设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意得到判别式大于0，解之即可得解； （2）先求得命题为真时的取值范围，再结合（1）中结论即可得解. 【详解】（1）若命题为真命题，即方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 所以实数的取值范围为或. （2）若命题为真命题，即，解得， 因为真假，则，得或； 所以实数的取值范围为或. 知识点01 命题、定理、定义 1. 核心概念 命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。 真命题：判断结果为正确的命题 假命题：判断结果为错误的命题 定义：对数学研究对象的本质属性做出的明确规定，定义属于真命题。 定理：经过严格逻辑推理证明为真，且可以直接作为后续推理依据的真命题。 2. 易混语句辨析（非命题） 疑问句、祈使句、感叹句、含有变量无法判定真假的语句，均不是命题。 3. 三者包含关系（微软公式） 知识点02 命题的形式 1. 标准命题形式 数学中所有命题均可统一改写为：若，则 ：命题的条件（题设） ：命题的结论 2. 逻辑推出符号 若条件成立可以推出结论成立，记作： 3. 改写注意事项 改写简略命题时，需要补充省略主语，保证语句通顺，清晰拆分条件与结论，不改变命题原本含义。 知识点03 命题真假的判断 1. 真假命题判定规则 真命题判定：结合定义、定理、公式，经过严谨逻辑推理，由条件一定能推出结论，即恒成立。 假命题判定：无需完整证明，只需找到一个反例，存在满足条件，但不满足结论的情况，即可判定为假命题。 2. 真假判定公式 真命题： 假命题： 知识点04高频易错点汇总 易错点1：误将疑问句、祈使句当成命题，忽略命题必须为陈述句 易错点2：改写命题时遗漏主语，导致条件、结论划分错误 易错点3：判断假命题时尝试完整证明，浪费解题时间，牢记反例法 易错点4：混淆定理与定义，定义是规定，定理是已证结论 一、单选题 1．下列命题中，是真命题的是（   ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 【答案】D 【分析】对各选项逐一判断真假即可. 【详解】对于A，有元素，所以不是空集，故A不是真命题，A错误； 对于B，，即，即，为有限集，故B错误； 对于C，是无理数，故C错误； 对于D，方程的根0和5是自然数，故D正确. 故选：D 2．已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【分析】根据命题的真假即可判定. 【详解】p为假，q为真, 故选：B 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【答案】D 【详解】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足． 4．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 【答案】C 【分析】由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等判断B；运用平方差公式，可判断C；运用三角形外角的性质可判断D. 【详解】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为，故A错误； 对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误； 对于C，若，则，即或，则，故C正确； 对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误； 故选：C 5．下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 【答案】D 【分析】将A中的命题写成“若p，则q”的形式可判断选项A是错误的；根据命题的定义可判断选项B是错误的；根据菱形的定义可判断选项C是错误的；根据命题的定义可判断D. 【详解】命题“直角相等”，写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A是错误的； 语句“当时，方程有实根”是陈述句，而且可以判断真假，所以选项B是错误的； 选项C是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”； 选项D，当时，方程成立，所以是真命题. 故选：D 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，属于基础题. 6. 下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 7．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ②⫋⫋ A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【分析】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假. 【详解】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，非真子集，假命题. 故选：B 8．设集合，命题：，命题：. 若和中有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】若和中有且只有一个为真命题，则有p真q假或者p假q真，由此列出不等式，从而可得出答案. 【详解】解：若和中有且只有一个为真命题，则有p真q假或p假q真， 当p真q假，则，解得， 或，无解， 综上，. 故选：C. 二、多选题 9．对于命题“若，则”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】逐个代入验证，只要满足条件，不满足结论即可说明是假命题. 【详解】对于A，当，时，满足，但，能说明命题是假命题，所以A正确， 对于B，当，时，满足，，所以不能说明命题是假命题，所以B错误， 对于C，当，时，满足，，所以不能说明命题是假命题，所以C错误， 对于D，当，时，满足，但，能说明命题是假命题，所以D正确， 故选：AD 10．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【答案】AD 【详解】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C中平行四边形不是梯形，故C错误． 11．（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】ABD 【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可. 【详解】因为方程有实数根，所以，解得或， 故当，，时符合条件. 故选：ABD. 三、填空题 12．如果，，那么，该命题的结论是_______． 【答案】 【分析】根据命题的定义可得答案． 【详解】命题“如果，，那么”中的结论是：， 故答案为：． 13．下列命题:①相等的角是对顶角；②若，则；③若，则.其中假命题的个数是____. 【答案】3 【分析】根据对顶角的定义，实数的运算性质，以及集合间的运算与包含关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，相等的角不一定是对顶角，所以①不正确； 对于②中，例如，满足，此时，所以②不正确； 对于③中，由，可得，所以③不正确， 所以假命题的个数为3个. 故答案为：3. 14．（24-25高一上·上海·阶段检测）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为__________. ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 【答案】②③④ 【分析】根据集合的特征，代入公式或，并结合举例判断. 【详解】①若，①错误， ②，②正确， ③，③正确， ④，④正确， ⑤若，⑤错误. 故答案为：②③④ 四、解答题 15. 判断下列语句是否为命题： (1)有的正方形是三角形； (2)任意一个三角形的内角和都为； (3)1是自然数吗？ (4)； (5)，且. 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)是 (5)是 【分析】利用命题的定义即可得解. 【详解】（1）因为可判断真假的陈述句为命题， 而“有的正方形是三角形”可判断真假，也为陈述句，故为命题. （2）“任意一个三角形的内角和都为”可判断真假，也为陈述句，故为命题. （3）“1是自然数吗？”是疑问句，故不为命题. （4）“”可判断真假，也为陈述句，故为命题. （5）“，且”可判断真假，也为陈述句，故为命题. 16．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 【答案】(1)真命题，理由见解析； (2)假命题，理由见解析； (3)真命题，理由见解析. 【分析】（1）根据数的性质即可判断； （2）举出等腰梯形即可判断； （3）推出即可判断. 【详解】（1）根据数的性质知如果a、b都是奇数，那么是偶数， 可设，其中，则，，则其为偶数，则其为真命题； （2）一组对边平行且两对角线等长的四边形还可能是等腰梯形，故其为假命题； （3）如果，则，则，故其为真命题. 17．将下列命题改写成“若p，则q”（或“如果p，那么q”）的形式. （1）有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形； （2）对顶角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【答案】答案见解析 【分析】找出命题的条件及结论即得. 【详解】（1）若一个等腰三角形有一个内角是60°，则这个三角形是正三角形. （2）若两个角是对顶角，则这两个角相等. （3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线互相平分. （4）如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 18．下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由． (1)． (2)或是方程的根． (3)空集是任何非空集合的真子集． (4)指数函数是增函数吗？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据题意结合命题的概念逐项分析判断. 【详解】（1）不是命题．因为没有给定变量x的值，无法确定其真假． （2）是真命题．因为，解得或， 所以或是方程的根，命题为真命题． （3）是真命题．由空集的性质可知：空集是任何非空集合的真子集． （4）不是命题．命题是可以判断真假的陈述句，疑问句无法判断真假，不是命题． 19．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数的值； (2)若，则为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求得，并验证即可； （2）由题意得到，再通过，，，分类讨论即可. 【详解】（1）由题得， 因为，所以， 所以， 解得或． 当时，， 此时，满足条件； 当时，，此时，满足条件． 综上，或． （2）因为若，则为真命题， 所以． 当时，， 所以； 当时，由（1）知； 当时，无解，舍去； 当时，无解，舍去． 综上，的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $