湖南永州市第一中学2026-2026学年高一下学期期末研学考试模拟（一）数学试卷

2026年永州市高一下学期期末研学考试模拟（一) 数学 满分：150分考试时间：120分钟范围：必修二全册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知复数z满足iz+1=2i,则z=() A.5 B.2√2 C.4 D.8 2.已知一组数据x1,x2,…x的平均数为x,方差为52，则数据3x+2,353+2,…,3x+2的平均数 和方差分别为() A.3x+2,9s2B.3x+2,952+4C.3x,92+4 D.3x+2,352+2 3.人口普查的主要目的是全面查清我国人口数量、结构、分布等方面的情况，为完善我国人口发展战略和 政策体系、制定经济社会发展规划、推动高质量发展提供准确统计信息支持，根据国家统计局发布的第七 次全国人口普查结果，全国人口共141178万人，全国共有家庭户49416万户，家庭户人口为129281万人.如 图所示的为历次人口普查中的全国人口及年均增长率，根据该统计图，下列说法正确的是() 160000 2.5 140000 2.09 120000 1.61 100000 1.5 80000 107 60000 40000 0 0.5 20000 1953年1964年1982年1990年2000年2010年2020年 ☐全国人口·一年均增长率 A.我国人口近10年来继续保持低速增长态势 B.我国人口的年平均增长率持续下降 C.2020年的全国人口相比2010年增加了0.53% D.我国人口出生率仍然持续上升 4.设非零平面向量a,方，两两不垂直，那么“(ab)=(b.c)a”是“a”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.己知4，b是两条不同直线，，B是两个不同的平面，则下列说法正确的是() A.若a⊥a,a⊥B,则a/1B B.若a/1a,a/1B,则a/1B c.若a/1b,a/1a,则b/1o D.若⊥B,a/1a,则a⊥B 第1页/共4页 6.一个圆柱形水杯的底面半径为3，高为8.若向其中放入一个半径为2的实心金属球，且金属球完全浸 没在水中，则水面上升的高度为() A.9 32 32 B.27 c号 D.9 7.在长方体ABCD-ABGD中，AB=3,BC=2,CC1=4,点E,F分别为CC1,AD的中点，则异面直线EF 和AD所成角的余弦值为() A.14 B.V70 c.3v14 D. 2W14 14 14 14 14 8.已知d-=a万=1，若向量满足(a-)(6-)0,则āc的最大值为（） A,1+② B.2 C.1+3 2 D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一 次，以上每次抽取一个小球，记事件A:第一次取球编号数字小于3；B:第二次取球编号数字为偶数；C: 第三次取球编号为6；D:前两次取球编号数字和为7；：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说 法正确的是() A.P(D)= 1 B.事件A与事件C相互独立 C.事件A与事件E相互独立 D.事件A与事件B相互独立 10.在△ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=3,BD=2DC,acosB=(2c-b)cosA+2 acosC, 则() A.2b=c B.2B=C C.AD=1AB+2AC D.AD的范围为(0,4] 3 11.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，P,Q,R分别为AB,BC,C,D的中点，则下列说法正确 的是() D R A.B,C⊥BD B.直线PR与2P所成的角为} C.若三棱锥2-CCP的所有项点都在球O的表面上，则球O的表面积为14π D.过点Q且与直线AC,垂直的平面截正方体ABCD-ABCD所得截面多边形的面积为3√3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 第2页/共4页 12.某学校高一年级在校人数为600人，其中男生350人，女生250人，为了解学生身高发展情况，按分层 随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为172c,抽出的女生身高为一个样本，其样本 平均数为160cm,则可估计该校高一学生的平均身高为cm. 13.抽奖箱中共6个球，这6个球的形状、大小完全相同，每个球上面分别标有数字1,2,3,4,5,6中 的一个，且没有重复出现的数字标号，现从中随机抽出两个球（不放回），则两个球之间的数字标号互质的 概率为 14.已知直二面角a-1-B,点A∈，AC⊥l,C为垂足，点B∈B,BD⊥1，D为垂足，若AB=2,AC=BD=1, 则D到平面ABC的距离等于 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.在等边△ABC中，AB=1,D,E分别是AB和BC的中点，AC=3AF,设AB=a,AC=b, (1)用向量a,b表示DF,并求DF: (2)求向量A正与DF的夹角的余弦值. 16.高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况 频率 年级从中抽取了部分学生的成绩x进行统计.将成绩进行整理后，分为 组距 0.040 五组(50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90, a 90≤x≤100)，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未 0.016 完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 0.008 (1)若根据这次成绩，年级择优选取40%的同学晋级下一轮竞赛，请 05060708090100成绩（分） 问晋级分数线定为多少合理？ (2)年级以各学习小组的平均分和方差为团体奖励依据.若某学习小组10位学生测试分数的平均数 x=90,标准差s=6,若该小组得分分别为95分和85分的A、B两位学生宣布退赛，求该小组余下8位学 生分数的平均数与方差： (3)在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.己知甲回答正确的概率是 甲、乙两人都回答正确的概率是〉，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是)”、每人回答正确与否相互 32 24 独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率. 第3页/共4页 17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,AB=AP=1, AD=2,DE=DP(0<元<1) (1)当PB/平面ACE时，求实数元的值： (2)当入=二时，求PC与平面ACE所成角的正弦值. 18.己知三角形ABC的角A,B,C所对的边为a,b,c,且b=2,b+ccosB=a,延长BC到点D. 2 C D (1)若CD=3,求AD的长： (2)若∠B=2∠D,3BC=4CD,求AD的长. 19.矩形ABCD中，AB=2AD=2,P为线段DC的中点，将△ADP沿AP折起，使得平面ADP⊥平面ABCP.在 新构造的四棱锥D-PABC中，求解以下问题： D B (1)求四棱锥D-PABC的体积. (2)求二面角P-AD-B的余弦值. (3)在DC上是否存在点E使得AD//平面PBE?若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由； 第4页/共4页■■■■ ■■■■ 2026年永州市高一下学期期末研学考试模拟（一） 数学·答题卡 姓 名： 班 级 考生条形码粘贴处 准考证号： 单选题 (共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A]B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、多选题（共18分） 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 12. 13. 14 此区域禁止答题 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 频率 组距 0.040--… 0.016 0.008 5060708090100成绩（分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) C B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）2026年永州市高一下学期期末研学考试模拟'（一） (数学答案) 11 1-8:AAAC ABBC 9.ABD 10.AC 11.ACD 12.167 13.v6 15.【小问1详解】如图所示，DF=DA+AF=BA+}4C=-1 3 3 L11_万 【小问2详解】如图，因为 亚-ac+正-40c2-aC+as-c到-ā+6 m亚际-a+居a6名古古1写高 x28 2 1 所以cos(AE,DF AEDE 8 31√21 AE DE 5V万22-14 26 16.【详解】(1)由题意知，第1组的小长方形的高是第2组的小长方形的高的一半， 所以a=0.016×2=0.032,又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1,解得b=0.004,所以a=0.032,b=0.004, 择优选取40%的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在[50,70)内的频率为：0.16+0.32=0.48，落在[50,80)内的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88， 设第60百分位数为m,则(m-70)0.04=0.6-0.48,解得m=73,所以晋级分数线划为73分合理： (2)设该小组10位学生的分数分别为，为，，0，因为x=90,所以+为++0=10×90=900， 所以（代+写++）-90=-6，所以+写++品-81360， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为x1,x2,,,,平均数与标准差分别为0,5， 则剩余8个分数的平均数：石=5+5+5++5.900-95-85-90， 8 8 方差：名-+++-90-后(81360-95-s)90=3875: 第1页/共4页 (3)记“甲、乙、丙回答正确这道题分别为事件A,B,C, 则P子P()=P团P@)是解得P(到- 由乙、丙两人车少-人日答正确的餐率是丹，则1-P()-1P@)-P@- 24 即1-1-P闷=→r闷=Pc) 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和， 有0人同管下确的我率写=B0=KR网号号行是 有1人回答正确的率为片-C,0c,0)管号子行号 所以不少于2人回答正确这道题的概率P=1乃-R164) 17.(1)如图：连接BD交AC与点F,连接EF, 因为PB/I平面ACE,PBC平面PBD,平面ACE∩平面PBD=EF, 所以PB/IEF. 因为底面ABCD为矩形，所以F为BD中点， 所以E为DP中点，所以DE=DP,所以元=】 (2)当A=号时，取AD中点M,连接MB,MC 因为AB=AP=1,AD=2. B 所以AC=5,AE=PD=5 2 CE=E+Mc=+1+1-=2 PC=VPA?+AC=√1+5=√6 在△4CB中，由余弦定理得：c0s∠C4E=AE+AC-CE=4 4 4 2AE·AC 2x x5 2 所CA2-子片以sm4C42sm/CAk-×5S；子 2 254 设P到平面ACE的距离为h, 第2页/共4页 1 由Vc-PaB=V4cs得：S.Pag×l=S,Acgh,又S,aE-2S 1 1 .PAD= .所以h= 22 3=31 4 2 设直线PC与平面ACE所成的角为0，则sn6=h- 36 P0√ 9 18.【详解】(1)由}b+ccosB=a和正弦定理，可得2im∠B+sim∠ACB05∠B=sin∠BAC, 因sin∠BAC=sin(∠B+∠ACB)=sin∠Bcos∠ACB+cosBsin.∠ACB,代入可得，sin∠B=sin∠Bcos∠ACB, 因为snB≠0，所以cos∠AcB-片由因0<∠ACB<元，所以∠ACB-号 兀2π 在△ACD中，CA=b=2,CD=3,∠ACD=π- 3-3 由余弦定理，AD2=CA2+CD2-2CA.CD.cos.∠ACD=22+32-2×2×3× 1 2 =19,所以AD=√19 (2)设∠D=a,则B=2a,设BC=4H,则CD=3t. 4t 在△MBC中，B4C=-20,由正弦定理，得 （2-20 sin2a①： 3 (3 3t 2 在AACD中，∠CAD-a,由正弦定理，得sm 3 sina②. sin -0 3 2 sin a 由② sin 2-20 sin2a 2 3 sin -a S11h0 整理得： (3 2sin 3-c cos 3-a 2sin acos a 可得3cos c0sa→4c0Sa=3 →3cosa v3 2 inu→tana= 5=5W5又a为锐角，所以sima-5店 359 26 在△ACD中，由正弦定理，可得，4D sin∠ACD sin∠D 所以AD=AC 2sn2元 ·sin∠ACD= 3V32W39 sin∠D sina 5v13 5 26 第3页/共4页 19.【详解】(1)取AP的中点O,连接DO,在原矩形中，因为AB=2AD=2,点P为DC的中点，故AD=DP=1, 因为△ADP是等腰三角形，所以DO⊥AP 翻折后，因为平面ADP⊥平面ABCP,且平面ADPO平面ABCP=AP, 根据面面垂直的性质定理得：DOL平面ABCP,即DO是四棱锥D-PABC的高， 又因为AP=aD*0=T-,所以0-号P=9 2 1+213 又因为SAPCE= x1= 2 2 所以四楼锥D-PABC的体积-DO{x号2-2 3 3224 (2)在矩形ABCD中，AP=BP=√2，AB=2, .AP2+BP2=AB2,AP⊥BP 又平面ADP⊥平面ABCP,BPC平面ABCP,平面ADPO平面ABCP=AP .BP⊥平面ADP, DPC平面ADP,BP⊥DP, .BD2=DP2+BP2=1+2=3. 在△ADB中，AB2=AD2+BD2,.AD⊥DB, 又PD⊥AD,PDC平面ADP,BDC平面ADB,平面ADPA平面ADB=AD, .∠PDB为二面角P-AD-B的平面角， 在RtPDB中，cOS∠PDB=DP-L-3 ΓBDV53 ·二面角P-AD-B的余弦值为5 3 (3)存在.如图所示： 连接AC、BP,设AC交BP于点F, cp∥aB,且cP48,月 CA PB 3 取DC的三等分点，使需-片速接即、四、B,对BFAD 又EFC平面PBE,ADZ平面PBE, .AD//平面PBE. 故存在满足条件的点E,且E是线段CD上靠近点C的三等分点. 第4页/共4页