第05讲 二次根式及其性质 暑假预习讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第05讲 二次根式及其性质（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：二次根式的概念 知识点02：二次根式有意义的条件 知识点03：二次根式的性质 知识点04：化简二次根式 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：二次根式的识别 题型02：二次根式有意义的条件 题型03：求二次根式中的参数 题型04：求二次根式的值 题型05：化简二次根式 题型06：复合二次根式的化简 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】二次根式的概念 二次根式的定义：形如的代数式（其中a为有理式）叫作二次根式． 【知识点02】二次根式有意义的条件 在实数范围内，负数没有平方根，所以如(b<0)这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0，即a≥0. 【知识点03】二次根式的性质 性质1：； 性质2：； 性质3：（，）； 性质4：（，）． 【知识点04】化简二次根式 把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式” 【题型01】二次根式的识别 【典例1-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】．（24-25八年级上·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-3】．式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】．下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】．（23-24八年级上·上海·期中）下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【变式1-3】．（25-26八年级上·上海·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-4】．下列各式是否二次根式？说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)（a＜0）． 【题型02】二次根式有意义的条件 【典例2-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【典例2-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果二次根式 有意义，那么实数 满足条件的范围是 （    ） A． B． C． D． 【典例2-3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）当________时，有意义． 【变式2-1】．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）二次根式有意义的条件是___________． 【变式2-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当时，下列二次根式没有意义的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）当_____时，在实数范围内有意义． 【变式2-4】．（25-26八年级上·上海·课后作业）当为何值时，二次根式有意义？ 【题型03】求二次根式中的参数 【典例3-1】．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 【变式3-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）对于，当是整数时，最小的正整数______． 【变式3-2】．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__． 【变式3-3】．若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 【题型04】求二次根式的值 【典例4-1】．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例4-2】．当时，代数式的值是__________． 【典例4-3】．当时，求二次根式的值． 【变式4-1】．当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式4-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【变式4-3】．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【题型05】化简二次根式 【典例5-1】．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）化简：_______． 【典例5-2】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）化简：_____． 【典例5-3】．已知，化简______． 【变式5-1】．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）化简：________． 【变式5-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化各式为最简二次根式：①___________；②__________； 【变式5-3】．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【变式5-4】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； ，验证：； (1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明． 【题型06】复合二次根式的化简 【典例6-1】．设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：_______． 【典例6-3】．（2025八年级上·上海·专题练习）化简：． 【变式6-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： （1）______； （2）______． 【变式6-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【变式6-3】．（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 1. 二次根式的定义 一般地，形如 的式子叫做二次根式。 要点：被开方数 必须是非负数，所以二次根式有意义的条件是：。 2. 二次根式的双重非负性（必考） 且 常见题型：若几个非负数的和为0，则每一项都为0。 常见非负数：、、。 3. 二次根式的两条基本性质（核心） 性质一： 意义：非负数的算术平方根的平方等于它本身。 性质二： 化简口诀：开方得绝对值，正数直接出，负数变相反数 即： 4. 易错点归纳 ① 和 不一样：前者只能 ，后者 可为任意数； ② 化简结果一定是非负数，不要直接写成 ； ③ 根式化简、求值时，必须先保证被开方数非负。 5. 课堂总结 本节课重点掌握二次根式的定义、双重非负性和两大基础性质，能正确判断根式有意义的条件、熟练化简二次根式，为后续二次根式的运算打好基础。 一、单选题 1．若，则x的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 5．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 6．若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 二、填空题 7．二次根式的值是 _________． 8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 9．当时，二次根式的值是__________． 10．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 11．化简______． 12．化简：_______；_______：_______． 13．写出一个使在实数范围内有意义的整数x的值_______． 14．若，则x取值范围是________． 15．n为正整数，且是整数，那么n的最小值是______． 16．如果 ，那么 ________． 17．化各式为最简二次根式：①___________；②__________； 18．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则___________，___________． 三、解答题 19．化简： (1)； (2)； (3)． 20．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．若实数x，y满足，求的值． 22．已知，求的值 23．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 24．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 25．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 26．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二次根式及其性质（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：二次根式的概念 知识点02：二次根式有意义的条件 知识点03：二次根式的性质 知识点04：化简二次根式 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：二次根式的识别 题型02：二次根式有意义的条件 题型03：求二次根式中的参数 题型04：求二次根式的值 题型05：化简二次根式 题型06：复合二次根式的化简 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 【知识点01】二次根式的概念 二次根式的定义：形如的代数式（其中a为有理式）叫作二次根式． 【知识点02】二次根式有意义的条件 在实数范围内，负数没有平方根，所以如(b<0)这样的式子没有意义，有意义的条件是代数式a的值不小于0，即a≥0. 【知识点03】二次根式的性质 性质1：； 性质2：； 性质3：（，）； 性质4：（，）． 【知识点04】化简二次根式 把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式” 【题型01】二次根式的识别 【典例1-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，二次根式的根指数为2，可省略不写． 【详解】解：选项A，，根指数为2，符合二次根式形式，是二次根式． 选项B，，根指数为2，被开方数，是二次根式． 选项C，，根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 选项D，，，可得，且根指数为2，是二次根式． 【典例1-2】．（24-25八年级上·上海·期中）下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、，不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、是三次根式，不是二次根式，不符合题意； 故选C． 【典例1-3】．式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】二次根式的识别 【分析】此题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．据此进行判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得，式子，是二次根式，中，的取值范围不确定，不能保证，故不一定是二次根式； 故选：B． 【变式1-1】．下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式． ②：被开方数，无意义，不是二次根式． ③：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． ④：被开方数为，当，即时才有意义．但题目未限定的范围，无法保证被开方数非负，故不是二次根式． ⑤：无论取何值，，被开方数恒正，是二次根式． ⑥：分母，被开方数恒正，是二次根式． 综上，符合条件的有①⑤⑥，共3个， 故选B． 【变式1-2】．（23-24八年级上·上海·期中）下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【答案】 【知识点】二次根式的识别 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，对各式子逐个判断． 【详解】解：，被开方数，满足，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，被开方数，不满足定义，不是二次根式； ，由得，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，根据平方的非负性，可得，被开方数满足非负要求，是二次根式； 综上所述，二次根式的个数是3个． 【变式1-3】．（25-26八年级上·上海·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 【变式1-4】．下列各式是否二次根式？说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)（a＜0）． 【答案】(1)是二次根式 (2)根号下小于零，不是二次根式 (3)是三次根式，不是二次根式 (4)是二次根式 【详解】（1）是二次根式； （2），被开方数小于零，不是二次根式； （3），是三次根式，不是二次根式； （4）是二次根式． 【题型02】二次根式有意义的条件 【典例2-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及分式二次根式的性质．等式 成立的条件是 且 ，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：D． 【典例2-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果二次根式 有意义，那么实数 满足条件的范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子称为二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵二次根式 有意义， ∴， ∴． 故选：B． 【典例2-3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）当________时，有意义． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，列出不等式组，求解不等式组即可． 【详解】∵有意义， ∴ 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 【变式2-1】．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）二次根式有意义的条件是___________． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数必须大于或等于零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式2-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当时，下列二次根式没有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．二次根式有意义即被开方数为非负数，当被开方数为负数时无意义，由此判断即可． 【详解】解：A、当时，，二次根式没有意义，故此选项符合题意； B、当时，，二次根式有意义，故此选项不符合题意； C、当时，，二次根式有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，二次根式有意义，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式2-3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）当_____时，在实数范围内有意义． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，据此列出一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：由题意得， 解得. 【变式2-4】．（25-26八年级上·全国·课后作业）当为何值时，二次根式有意义？ 【答案】或 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：要使该二次根式有意义，需满足且， 所以或 解得或， 所以当或时，二次根式有意义． 【题型03】求二次根式中的参数 【典例3-1】．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是5． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 【变式3-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）对于，当是整数时，最小的正整数______． 【答案】 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 【变式3-2】．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__． 【答案】． 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可． 【详解】解：由得， 有意义，且， 方程没有实数根，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围． 【变式3-3】．若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 【答案】2， 13， 22， 29， 34， 37， 38 【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次根式的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵n是自然数， 是整数， ∴，，且是平方数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴自然数 n 所有可能的值为2， 13， 22， 29， 34， 37， 38． 【题型04】求二次根式的值 【典例4-1】．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求二次根式的值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 【典例4-2】．当时，代数式的值是__________． 【答案】0 【知识点】求二次根式的值 【分析】将代入计算即可． 【详解】解：将代入得， ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二次根式的求值，解题关键在于正确地计算． 【典例4-3】．当时，求二次根式的值． 【答案】3 【知识点】求二次根式的值 【分析】直接将代入二次根式即可求解． 【详解】解：将代入二次根式，得 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是利用二次根式的性质直接开平方． 【变式4-1】．当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】求二次根式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【详解】解：当时，． 故选：B． 【变式4-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【变式4-3】．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 【题型05】化简二次根式 【典例5-1】．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）化简：_______． 【答案】3 【知识点】利用二次根式的性质化简 【详解】解：． 【典例5-2】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）化简：_____． 【答案】 【详解】解：． 【典例5-3】．已知，化简______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）化简：________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用算术平方根的性质，将根式内的乘积分解为各因数的算术平方根的乘积，并根据条件 简化表达式． 【详解】解：因为 ，所以 ， 则， 故答案为 ． 【变式5-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化各式为最简二次根式：①___________；②__________； 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可． 【详解】解：① ②． 故答案为：，． 【变式5-3】．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查化简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式5-4】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； ，验证：； (1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明． 【答案】(1)，验证见解析 (2)（为自然数，且） 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简． （1）仿照题干计算即可； （2）根据已知等式找出规律即可． 【详解】（1）解：，验证如下： ； （2）解：由题干和（1）可知，（为自然数，且）． 证明：． 【题型06】复合二次根式的化简 【典例6-1】．设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【详解】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键． 【典例6-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：_______． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【详解】解：∵， ∴ ． 【典例6-3】．（2025八年级上·上海·专题练习）化简：． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是完全平方公式的应用． 可设，先求出然后开方即可． 【详解】解：设原式，则． 因为，所以原式． 【变式6-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： （1）______； （2）______． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查复式二次根式的化简，掌握二次根式的性质和化简方法是解答本题的关键． （1）从最里层的二次根式进行化简即可； （2）设，两边平方后对比系数求出的值即可． 【详解】解：（1） ； （2）设（为正有理数）， 平方得：， 对比系数得： 尝试，，则，， 解得，， 而， 所以，满足条件， 所以，． 故答案为：（1）；（2）． 【变式6-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 【变式6-3】．（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用， （1）将原式化为，再开方即可； （2）将原式化为． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 1. 二次根式的定义 一般地，形如 的式子叫做二次根式。 要点：被开方数 必须是非负数，所以二次根式有意义的条件是：。 2. 二次根式的双重非负性（必考） 且 常见题型：若几个非负数的和为0，则每一项都为0。 常见非负数：、、。 3. 二次根式的两条基本性质（核心） 性质一： 意义：非负数的算术平方根的平方等于它本身。 性质二： 化简口诀：开方得绝对值，正数直接出，负数变相反数 即： 4. 易错点归纳 ① 和 不一样：前者只能 ，后者 可为任意数； ② 化简结果一定是非负数，不要直接写成 ； ③ 根式化简、求值时，必须先保证被开方数非负。 5. 课堂总结 本节课重点掌握二次根式的定义、双重非负性和两大基础性质，能正确判断根式有意义的条件、熟练化简二次根式，为后续二次根式的运算打好基础。 一、单选题 1．若，则x的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的性质，根据，可得到． 【详解】根据题意，可得 变形，得 解得 2．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     B．∵的根指数是3，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     C．∵，∴是二次根式，故此选项符合题意； D．当时，是二次根式，原选项没有说明的取值范围，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使为整数，需满足是完全平方数，由，即可确定n的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， 则是完全平方数， ∴n的最小值为：6． 故选：D． 4．已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 5．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 6．若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，确定整数x的取值范围，并分别计算即可． 【详解】解：∵ 和有意义， ∴ 且 ， 即 ． 又∵ 是整数， ∴ 可取1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，． ∴ 的值为或2， 故选：C． 二、填空题 7．二次根式的值是 _________． 【答案】 【分析】先计算被开方数，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 因此． 8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， 解得． 9．当时，二次根式的值是__________． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次根式求值，准确计算是解题的关键．将代入二次根式求值即可． 【详解】解：当时，二次根式． 故答案为：3． 10．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 11．化简______． 【答案】 【详解】解：=====． 12．化简：_______；_______：_______． 【答案】 7 / 【分析】本题主要考查的是二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．依据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：，，， 故答案为：，7，． 13．写出一个使在实数范围内有意义的整数x的值_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求解． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 解得， 使在实数范围内有意义的整数可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 14．若，则x取值范围是________． 【答案】 【分析】先将等式左边利用二次根式的性质化简为绝对值形式，再根据绝对值的性质列不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 由题意得 ∴ 解得． 15．n为正整数，且是整数，那么n的最小值是______． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，掌握二次根式的性质，二次根式的定义是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简为：，由题意可知，必须是整数，即必须是一个完全平方数，当时，，4是完全平方数，进而得出答案． 【详解】解：为正整数，且是整数， 必须是整数，即必须是一个完全平方数， 当时，，4是完全平方数， 此时， 是整数， 的最小值是． 故答案为：． 16．如果 ，那么 ________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的非负性求出的值，再代入式子求出的值，最后即可求解． 【详解】∵， ∴据题意可得，，解得：， ∴， ∴，解得：， ∴． 17．化各式为最简二次根式：①___________；②__________； 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可． 【详解】解：① ②． 故答案为：，． 18．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则___________，___________． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了双重二次根式的化简，完全平方公式变形等知识．先把变形为，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2,2 三、解答题 19．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质及化简求解（1）（2）（3）小问即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 20．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) ： (2)： (3)： (4)： 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式． 把二次根式中能开得尽方的因数开出来，即可得到最简二次根式； 把二次根式分母有理化，即可得到最简二次根式； 把根号下的化为分数，再进行分母有理化； 把二次根式分母有理化． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 21．若实数x，y满足，求的值． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，可得，的值，根据代数式求值，可得答案． 【详解】解：由题意，得 ，， 解得， 当时，． 当，时，． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出，的值是解题关键． 22．已知，求的值 【答案】28 【分析】由二次根式有意义的条件求得，再代入求得，据此代入计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴且， ∴， 当时，， ∴． 23．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可； 【详解】解：把代入，得． 解得． 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 24．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 【答案】 【分析】根据求代数式的值的基本方法解答即可． 本题考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式的值的基本方法是解题的关键． 【详解】解：当时， ． 答：肉眼能看到的地面最远距离大约是． 25．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 26．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据，比较对应项系数即可． （2）根据，得；根据得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $