专题20.2 二次根式的运算 【暑假预习】提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

专题20.2 二次根式的运算（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 八年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解同类二次根式的概念，能识别并合并同类二次根式。 · 掌握二次根式的加减运算法则，能熟练进行二次根式的加减运算。 · 掌握二次根式的乘除运算法则，能熟练进行二次根式的乘除运算。 · 掌握二次根式的混合运算顺序，能准确进行混合运算。 · 能运用二次根式运算解决化简求值、几何图形面积计算等实际问题，提升代数运算能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 同类二次根式 定义： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。 · 判断方法：先化简，再看被开方数是否相同。 · 合并法则：与合并同类项类似，系数相加减，被开方数不变。 · 注意：不是同类二次根式的不能合并。 ☑ 典型例题 1 题目： 若二次根式 与 能够合并，则 的值可能为（ ） A. 9   B. 16   C. 46   D. 52 解析： ，被开方数为3。要使 与 能合并，则 化简后被开方数也为3。当 时，，符合。 答案： C ☆ 2. 二次根式的加减法 法则： 二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 · 步骤：化简 → 识别同类二次根式 → 合并系数。 · 注意：不是同类二次根式的不能合并。 ☑ 典型例题 2 题目： 计算 的结果是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 原式 。 答案： A ☆ 3. 二次根式的乘除法 乘法法则： （，）。 除法法则： （，）。 · 逆用： ， 。 · 注意符号和被开方数的取值范围。 ☑ 典型例题 3 题目： 若 ，则 的取值范围是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 根据二次根式有意义的条件， 且 ，解得 。 答案： D ☆ 4. 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数相同：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的。 · 运算结果要化为最简二次根式。 · 注意运用乘法公式（平方差、完全平方）简化运算。 · 有理数的运算律在二次根式中同样适用。 ☑ 典型例题 4 题目： 计算 的结果是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 原式 。 答案： B ☆ 5. 二次根式的化简求值 先化简代数式，再代入已知值计算。常用整体代入、配方变形等方法。 · 注意利用完全平方公式、平方差公式进行变形。 · 整体代入可简化计算。 ☑ 典型例题 5 题目： 已知 ，求 的值。 解析： 。由 ，得 ，代入得 。 答案： ☆ 6. 二次根式的应用 利用二次根式表示几何图形的边长、面积、周长等，并进行运算。 · 常见于正方形、矩形、三角形等图形的面积和周长计算。 · 注意化简最简二次根式。 ☑ 典型例题 6 题目： 如图，从一个大正方形中裁去面积为 和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） 解析： 两个小正方形边长分别为 和 ，大正方形边长为 ，面积为 ，余下面积为 。 答案： ☆ 知识总结表 核心概念 定义/法则 注意事项 同类二次根式 化简后被开方数相同 先化简再判断 二次根式加减 化简后合并同类二次根式 不是同类不能合并 二次根式乘法 二次根式除法 混合运算 先乘方，再乘除，最后加减 结果化为最简 核心考点 ·7大典型考点精讲 【考点1】同类二次根式（第1–6题） · 先将二次根式化为最简二次根式。 · 比较化简后的被开方数是否相同。 · 合并时系数相加减，被开方数不变。 1．（2026春•潍坊期中）若二次根式与能够合并，则m的值可能为（　　） A．9 B．16 C．46 D．52 【分析】先化简得到其最简被开方数，再根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化简后被开方数相同的二次根式，逐一验证各选项即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴化简后被开方数为3，因此化简后被开方数也应为3． 根据能够合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式化简后被开方数相同逐项分析判断如下： A、当m＝9时，，被开方数为11≠3，不符合题意； B、当m＝16时，，被开方数为2≠3，不符合题意； C、当m＝46时，，被开方数为3，符合题意； D、当m＝52时，，被开方数为6≠3，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2025秋•普陀区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，据此把四个选项中的二次根式化简为最简二次根式，比较被开方数与的被开方数是否相同． 【解答】解：根据同类二次根式定义逐项分析判断如下： A、2，被开方数为a，与的被开方数不同，故此选项不符合题意； B、2|a|，被开方数为2，与的被开方数不同，故此选项不符合题意； C、，被开方数为2a，与的被开方数相同，故此选项符合题意； D、，被开方数为6a，与的被开方数不同，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 3．（2025秋•秦都区校级期中）若与最简二次根式能合并，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【分析】两个二次根式能合并的条件是它们化为最简二次根式后，被开方数相同，据此列关于m的方程求解即可． 【解答】解：根据两个二次根式能合并的条件是它们化为最简二次根式后，被开方数相同可知： ， ∴的最简形式为，被开方数为2． 又∵是最简二次根式，且能与合并， ∴m﹣3＝2， 解得：m＝5． 故选：C． 【点评】本题主要考查了同类二次根式的概念、最简二次根式、二次根式的性质等知识点，掌握同类二次根式的被开方数相同是解题的关键． 4．（2025秋•卧龙区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．同类二次根式一定是最简二次根式 B．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式 C．任何两个二次根式都可以化成同类二次根式 D．两个二次根式若不是同类二次根式就不能合并 【分析】根据题意逐一分析即可． 【解答】解：根据同类二次根式的概念逐项分析判断如下： A．同类二次根式不一定是最简二次根式；化简后被开方数可能相同，是同类二次根式，该说法错误，不符合题意； B．被开方数不同的二次根式，化简后被开方数可能相同，可能是同类二次根式，该说法错误，不符合题意； C．二次根式化简后被开方数不相同的二次根式不是同类二次根式，该说法错误，不符合题意； D．同类二次根式才能合并，该说法正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了同类二次根式的概念，熟悉其概念是解题的关键． 5．（2025春•雷州市校级期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝　2　 ． 【分析】根据最简根式和同类二次根式的定义即可求解． 【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴1+a＝2a﹣1，解得：a＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了最简根式和同类二次根式的定义，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 6．（2025秋•宁德期中）已知x，y是正整数，若是整数，则满足条件的有序实数对（x，y）是　（2，3）或（8，12）　 ． 【分析】根据，根据是整数，则均为有理数，即为同类二次根式，为同类二次根式，进行讨论求解即可． 【解答】解：∵， 由题意可得：均为有理数， ∴为同类二次根式，为同类二次根式， ∴x＝2，y＝3或x＝8，y＝12， ∴满足条件的有序实数对（x，y）是（2，3）或（8，12）． 故答案为：（2，3）或（8，12）． 【点评】本题考查二次根式的性质，正确进行计算是解题关键． 【考点2】二次根式的加减法（第7–15题） · 化简 → 合并同类二次根式。 · 注意去括号和符号变化。 · 结果要化为最简二次根式。 7．（2025春•从江县校级期中）下列各式，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则进行计算，逐项判断即可求解． 【解答】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算法则，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题关键． 8．（2024秋•广饶县期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相关性质和运算法则，逐一进行判断即可． 【解答】解：根据相关性质和运算法则，逐项分析判断如下： A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查分式的基本性质，分式的约分，二次根式的性质，二次根式的加减运算，熟练掌握以上知识点是关键． 9．（2025秋•岳阳楼区校级期中）有下列算式：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．②④ B．①③ C．③④ D．①④ 【分析】根据二次根式的运算法则进行判断即可． 【解答】解：不是同类项，①计算错误； ，②计算正确； ，③计算错误； ，④计算正确， 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 10．（2025春•兴宁区校级期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加减运算法则即可判断A、B选项；根据绝对值的意义即可判断C选项；根据二次根式的性质即可判断D选项． 【解答】解：根据二次根式的加减运算法则及绝对值的意义逐项分析判断如下： A．、不是同类二次根式，不能相加，故该选项错误； B．，故该选项错误； C．，故该选项正确； D．，故该选项错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次根式的运算，求一个数的绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 11．（2026•河南模拟）计算：（）＝　　 ． 【分析】利用二次根式加减的法则运算即可． 【解答】解：原式＝3（2）， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式的加减法，先化简再合并是解答此题的关键． 12．（2025•武安市二模）计算：，则♡表示的数为　　 ． 【分析】先化简二次根式，再运用即可求解． 【解答】解：由条件可知， 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次根式的加减混合运算，掌握其运算法则是关键， 13．（2024秋•市中区校级月考）观察下列二次根式的化简： S1， S2， S3．则　　 ． 【分析】根据规律确定S2023，然后计算求解即可． 【解答】解：由题意知， ； ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查的是规律探究，分析规律是关键． 14．（2026春•西宁期中）计算． 【分析】根据二次根式的混合运算计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握该知识点是关键． 15．（2025春•葫芦岛月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先根据算术平方根、立方根的定义计算，再算加减法即可； （2）先去括号，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1） ； （2） ＝（）+（） ． 【点评】本题考查了实数的运算，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 【考点3】二次根式的乘除法（第16–22题） · 利用乘法法则和除法法则进行计算。 · 注意被开方数的取值范围。 · 结果要化为最简二次根式。 16．（2025春•涵江区校级期中）若，则（　　） A．x＞4 B．x≥5 C．4＜x＜5 D．4≤x≤5 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x的范围，得到答案． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件列出不等式可知： x﹣4≥0，5﹣x≥0， 解得4≤x≤5， 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是关键． 17．（2025春•焦作期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】A．先判断是否有意义，然后再进行判断即可； B、C、D选项均根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可． 【解答】解：A．∵没有意义，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 18．（2025春•红谷滩区校级月考）如果，那么（　　） A．x≥0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1 【分析】二次根式的被开方数是非负数，且分式的分母不等于零． 【解答】解：因为二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于零，则 ， 解得，0≤x＜1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法．解题时，需要熟悉分式的分母不等于零和二次根式的有意义的条件． 19．（2024春•高州市月考）若，则关于M的说法正确的是（　　） A．是整数，而且是奇数 B．是整数，而且是偶数 C．不是整数，而是无理数 D．无法确定 【分析】将根号下的式子进行因式分解，求出结果是2023×2024+1，据此判断结果即可． 【解答】解：因为 ＝2023×2024+1 ＝4094553， 4094553是整数，而且是奇数， 所以M是整数，而且是奇数． 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法、实数，解决本题的关键是利用完全平方公式将式子进行因式分解． 20．（2025秋•奉贤区校级期中）计算：　　 ． 【分析】先化简二次根式，然后根据二次根式的乘除法进行计算即可． 【解答】解：原式＝6 ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的乘除法，解决本题的关键是准确进行计算． 21．（2025秋•海淀区校级期末）化简： （1）； （2）． 【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简即可； （2）先将除法转化为乘法，再计算二次根式的乘法运算． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 由题意得，a2b≥0， 原式． 【点评】本题考查二次根式的运算及化简，熟练掌握二次根式的化简方法和运算法则是解题的关键． 22．（2025秋•青浦区校级月考）化简：． 【分析】根据二次根式的运算法则和有意义的条件化简即可． 【解答】解：由题意可得a＜0， ∴ ． 【点评】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的运算法则及有意义的条件是解题的关键． 【考点4】二次根式的混合运算（第23–28题） · 按先乘方、再乘除、最后加减的顺序进行。 · 灵活运用乘法公式简化运算。 · 结果必须是最简二次根式。 23．（2026春•城中区校级期中）　﹣2　 ． 【分析】根据乘方的运算法则进行计算． 【解答】解：原式＝[（]2025 ＝﹣1 ＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 24．（2026•广州校级模拟）　　 ． 【分析】运用二次根式减法和乘法的运算法则准确计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的混合计算及二次根式的化简，熟练掌握二次根式减法和乘法的运算法则是解题的关键． 25．（2026•青岛校级模拟）计算： 　﹣6　 ． 【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 26．（2026春•海城市校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简，再算乘法，最后算加减即可； （2）先算绝对值和二次根式除法，再算加法． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 27．（2026•兰州校级模拟）计算：． 【分析】先利用平方差公式、完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 28．（2026春•西湖区校级期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先算括号内的，再算乘除，最后算加法即可； （2）利用平方差公式计算后再算加减即可． 【解答】解：（1）原式（2） ＝6 ＝6 ＝6+4 ＝10； （2）原式＝5﹣2﹣（1）（1）（1） ＝3﹣（1﹣2）（1） ＝3+1 ＝4． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【考点5】二次根式的化简求值（第29–32题） · 先化简代数式，再代入求值。 · 整体代入可简化计算。 · 注意利用完全平方公式、平方差公式。 29．（2026春•罗定市期中）已知：，，求： （1）x2﹣y2； （2）x2+3xy+y2． 【分析】（1）先求出，x﹣y＝2，再根据x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）进行求解即可； （2）先求出xy＝1，再根据x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy进行求解即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴x2+3xy+y2 ＝（x2+2xy+y2）+xy ＝（x+y）2+xy ＝8+1 ＝9． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 30．（2026春•恩平市期中）已知，，求下列各式的值： （1）x2y+xy2； （2）x2﹣xy+y2． 【分析】（1）由已知得，xy＝2，然后将x2y+xy2分解因式为xy（x+y），再整体代入计算即可； （2）将x2﹣xy+y2转化为（x+y）2﹣3xy，再整体代入计算即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ， ∴x2y+xy2 ＝xy（x+y） ； （2）x2﹣xy+y2 ＝（x+y）2﹣3xy ＝12﹣6 ＝6． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键． 31．（2025秋•扬州校级月考）已知对x+y＝﹣6，xy＝4，求的值． 【分析】利用二次根式的性质和异分母分式的加减法法则，先计算再代入求值． 【解答】解：∵x+y＝﹣6，xy＝4， ∴x＜0，y＜0． ∴ ＝3． 【点评】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的加减法法则二次根式的性质等知识点是解决本题的关键． 32．（2026春•城中区校级期中）已知，，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）． 【分析】（1）先求出a+b＝6，，再由a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）进行计算求解即可． （2）先求出ab＝1，再由进行计算求解即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ， ∴； （2）∵， ∴． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 【考点6】二次根式的应用（第33–38题） · 根据几何图形关系列出二次根式表达式。 · 进行二次根式的化简和运算。 · 注意单位的统一和结果的合理性。 33．（2026春•长春期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为28cm2和50cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（　　） A． B． C．78cm2 D． 【分析】根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键．根据开方运算，可得阴影的边长，根据二次根式的乘法，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案． 【解答】解：由条件可知两个阴影小正方形的边长是cm＝2cm，cm＝5cm， ∴大正方形的边长是（25）cm， ∴大正方形的面积是（25）2＝（78+20）cm2， ∴余下部分的面积＝大正方形的面积﹣阴影部分的面积＝（78+20）﹣28﹣50 ＝20（cm2）． 故选：A． 【点评】本题考查了算术平方根在几何图形中的应用，二次根式的运算等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 34．（2026春•潍坊校级期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（　　） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为90 【分析】根据图形可知大长方形的长既是小长方形宽的3倍，又是小长方形长的2倍，大长方形的宽是小长方形长与宽的和，由此即可判断． 【解答】解：由条件可知大长方形的长为， ∴小长方形的宽为， ∴大长方形的宽为， 即小长方形的长为，宽为；大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的周长为， 大长方形的面积为， ∴选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的应用、长方形的性质、准确地理解题意找到等量关系是解题的关键． 35．（2026春•宜兴市期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是 　72　 ． 【分析】直接利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【解答】解：∵两个小正方形面积为27和48， ∴大正方形边长为：， ∴大正方形面积为， ∴留下的阴影部分面积和为：147﹣27﹣48＝72． 故答案为：72． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用． 36．（2025秋•台江区校级期末）已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为S1，S2． （1）求S1+S2的值； （2）用一根长为16m的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【分析】（1）依据题意，由边长分别为，的两个正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2＝（）2+（）2＝5+3+25+3﹣216（m2），即可得解； （2）依据题意得，两个正方形的周长之和，又，从而可以计算得解． 【解答】解：（1）由题意，∵边长分别为，的两个正方形的面积分别为S1，S2， ∴S1+S2＝（）2+（）2 ＝5+3+25+3﹣2 ＝16（m2）； （2）由题意得，两个正方形的周长之和 ， ∵， ∴817.888＞16， ∴不能用16m的铁丝围成这两个正方形． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 37．（2026春•阎良区期中）如图，某居民小区有一块矩形菜地ABCD，菜地的长BC为，宽AB为．现要在该菜地中挖一口圆形水井（阴影部分），水井的半径为．（π取3） （1）求该菜地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）若除去水井部分，其他区域（图中空白部分）全部种植白菜，求种植白菜部分的面积． 【分析】（1）依据题意，由长BC为9（m），宽AB为5（m），则该菜地的周长＝2（95）＝28（m），即可得解； （2）依据题意，由长BC为9m，宽AB为5m，则矩形ABCD的面积＝9590（m2），又水井部分的面积（m2），从而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵长BC为9（m），宽AB为5（m）， ∴该菜地的周长＝2（95）＝28（m）． 答：该菜地的周长为28m； （2）由题意，∵长BC为9m，宽AB为5m， ∴矩形ABCD的面积＝9590（m2）． 又∵水井部分的面积（m2）， ∴种植白菜部分的面积＝矩形ABCD的面积﹣水井部分的面积 ＝90 （m2）． 答：种植白菜部分的面积为m2． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用、最简二次根式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键． 38．（2026春•惠州期中）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为900cm2．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示（π取3）． （1）圆形团扇的半径为　　 cm，正方形团扇的边长为　30　 cm； （2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【分析】（1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【解答】解：（1）设圆形团扇的半径为rcm，正方形的边长为bcm， 由题意得：πr2＝900，b2＝900， ∴， ∴r2＝300，b＝30， ∴； （2）圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：4b＝120cm， ∵289＜300＜324， ∴， ∴， ∴圆的周长较小，即圆形扇面所用的包边长度更短． 【点评】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 【考点7】创新及压轴题（第39–41题） · 海伦—秦九韶公式的应用。 · 构造对偶式求值。 · 分组分解因式简化计算。 39．（2026春•东莞市校级期中）八年级下册数学课本介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在△ABC中，BC＝a＝5，AC＝b＝6，AB＝c＝7，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据a、b、c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S，再根据三角形面积公式即可求出BC边上的高，从而可以得解． 【解答】解：∵a＝5，b＝6，c＝7， ∴， ∴6． 故选：C． 【点评】此题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 40．（2025•南湖区自主招生）已知a，b． （1）求ab及a2+b2的值； （2）求不超过a10的最大整数． 【分析】（1）先求出ab和a+b的值，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入计算即可； （2）先求出a2，a4，再计算a8＝（a4）2，最后a10＝a8•a2，即可得出结果． 【解答】解：（1）∵a，b， ∴ab1， a+b1， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣1）＝3； （2）∵a2＝（）2， ∴a4＝（）2， ∴a8＝（a4）2＝（）2， ∴a10＝a8•a2•， ∵2.236， ∴a10122， 因此，不超过a10的最大整数为122． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 41．（2024春•同步）计算： 【分析】把分子分组分解因式，再按通分的逆运算计算． 【解答】解：原式． 【点评】此题考查二次根式的混合运算，要灵活应用分组分解因式和通分、约分． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1： 二次根式计算判断 · 练习2： 秦九韶公式求面积 · 练习3： 三角形三边与二次根式化简 · 练习4： 二次根式有意义的条件 · 练习5： 二次根式混合计算 【练习1】（2026春•荔湾区校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式混合运算的计算法则来进行解答即可． 【解答】解：，不能再进行计算，故A不符合题意； ，故B符合题意； （4）2＝32，故C不符合题意； ，故D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据计算法则来进行解答． 【练习2】（2026春•平湖市期中）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积a＝2， c＝4，则S的值为　2 　 ． a，b，c，则三角形的面积．若a＝2，，c＝4，则S的值为　2　 ． 【分析】直接将a＝2，，c＝4代入公式，再根据实数的运算法则、二次根式的性质求解即可． 【解答】解：将a＝2，，c＝4代入面积， ∴ ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 【练习3】（2026春•阳江期中）若1，a，3是三角形的三边长，化简 　2a﹣6　 ． a，3是三角形的三边长，化简 　2a﹣6　 ． 【分析】根据三角形三边关系求出a的范围，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【解答】解：∵1，a，3是三角形的三边长， ∴3﹣1＜a＜1+3， 即2＜a＜4． ∴ ＝|a﹣2|﹣|a﹣4| ＝a﹣2﹣（4﹣a） ＝a﹣2﹣4+a ＝2a﹣6． 故答案为：2a﹣6． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握三角形三边关系和绝对值的运算法则． 【练习4】（2026春•瑶海区校级期中）已知：y﹣2　 　 ． y﹣2，则的值为　　 ． 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定x的值，再代入方程确定y的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法则计算即可． 【解答】解：∵， ∴1﹣4x≥0且4x﹣1≥0，解得． 将代入原方程，得y﹣2＝0+0＝0， ∴y＝2． ∴原式 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y的值是解题的关键． 【练习5】（2026春•潍坊期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式 ＝2； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1： 化简求值 · 作业2： 二次根式有意义的条件 · 作业3： 二次根式应用—周长 · 作业4： 最简二次根式合并 · 作业5： 幂的运算与二次根式 · 作业6： 规律探究 · 作业7： 二次根式混合计算 · 作业8： 整体代入求值 · 作业9： 构造对偶式 · 作业10： 二次根式应用—面积 ❤ 复习建议 先化简再判断： 判断同类二次根式前，必须先化为最简二次根式。 加减法注意合并条件： 只有被开方数相同的二次根式才能合并。 乘除法注意取值范围： 利用 时，需保证 。 混合运算巧用公式： 平方差公式和完全平方公式在二次根式运算中同样适用。 化简求值先变形： 先对代数式进行配方或整体变形，再代入计算。 【作业1】（2026春•南岗区校级月考）已知x2+4x﹣6的值为（　　） ，则代数式x2+4x﹣6的值为（　　） A． B．6 C．﹣5 D．5 【分析】先对二次代数式配方变形，简化代入计算即可求解． 【解答】解：先对二次代数式配方变形可得： x2+4x﹣6＝（x+2）2﹣10， 又∵， ∴， 将代入变形后的式子得原式． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 【作业2】（2026春•慈溪市月考）若 有意义，则（　　） A．a+b B．a﹣b C．﹣a+b D．﹣a﹣b 【分析】先根据二次根式有意义的条件，得到a，b的取值范围，再利用二次根式的性质化简求解． 【解答】解：由条件可得， 由﹣b3≥0得b3≤0，即b≤0； 由（b﹣a）3≥0得b﹣a≥0，即a≤b， ∴a≤b≤0， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，熟练掌握该知识点是关键． 【作业3】（2025秋•隆昌市校级期末）把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．20cm B． C． D． 【分析】先设小长方形卡片的长为x cm，再结合图形得出上面的阴影长方形的周长和下面的阴影长方形的周长，再把它们加起来即可求出答案． 【解答】解：设小长方形卡片的长为xcm， 根据题意得：， ∴， 则图②中两块阴影部分周长和是： ＝20（cm）， ∴图②中两块阴影部分的周长和是20cm． 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的应用，整式的加减运算，解题的关键是根据题意并结合图形列出关系式，去括号合并即可得到结果． 【作业4】（2025秋•东湖区校级月考）若最简二次根式k的值可以是（　　） 与能合并，则k的值可以是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【分析】两个最简二次根式能合并的条件是被开方数相同，因此需使8﹣3k＝2，求解k的值． 【解答】解：由条件可知8﹣3k＝2， 解得k＝2， 故选：C． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解此题的关键． 【作业5】（2026春•高唐县期中）计算　 　 ． 的结果为 　　 ． 【分析】先把原式变形为，进一步变形得到，再根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟练掌握积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算是关键． 【作业6】（2026春•长兴县期中）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程： 具体运算，发现规律． 等式1：． 等式2：． 等式3：． （1）观察、归纳，得出猜想． n为正整数，猜想等式n可表示为　（n＞0）　 ． （2）应用运算规律． 小丽写出一个等式，若该等式符合上述规律，则m﹣n的值为　﹣7或﹣13　 ． 【分析】（1）观察前三个等式，发现规律：等式左边根号内整数为n，分数分母为n+2；右边系数为n+1，根号内分数分母为n+2，归纳出等式； （2）根据规律，等式右边系数10对应n+1，得n＝9；左边根号内整数部分m2﹣2m+1＝（m﹣1）2等于n＝9，解得m＝4或m＝﹣2（取正整数解m＝4），则m﹣n＝4﹣9＝﹣5． 【解答】解：（1）观察等式1：， 其中左边根号内整数为1，分数分母为1+2＝3，右边系数为1+1＝2，根号内分数分母为1+2＝3； 等式2：， 左边根号内整数为2，分数分母为2+2＝4，右边系数为2+1＝3，根号内分数分母为2+2＝4； 等式3：， 左边根号内整数为3，分数分母为3+2＝5，右边系数为3+1＝4，根号内分数分母为3+2＝5； 由此归纳，对于正整数n，归纳出等式； 故答案为：； （2）已知等式（n＞0）， 根据第一问规律，等式右边系数为10，即n+1＝10，n＝9，分母为n+2＝9+2＝11； 等式左边根号内整数部分为m2﹣2m+1，可变形为（m﹣1）2， 根据规律，整数部分应等于n＝11，即（m﹣1）2＝9， 解得m﹣1＝±3， 即m＝4或m＝﹣2； 则m﹣n＝4﹣11＝﹣7或m﹣n＝﹣2﹣11＝﹣13． 故答案为：﹣7或﹣13． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算、分式的加减法，解决本题的关键是找出规律，按公式计算． 【作业7】（2026春•中山区校级期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据二次根式的运算法则进行计算； （2）根据二次根式的运算法则进行计算． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝3 ＝3． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 【作业8】（2026春•朝阳区校级期中）已知x2+xy+y2的值． ，，求代数式x2+xy+y2的值． 【分析】先计算出x+y＝4，xy＝1，再将所求代数式化为（x+y）2﹣xy，再整体代入计算即可． 【解答】解：由条件知，， ∴原式＝（x+y）2﹣xy ＝42﹣1 ＝15． 【点评】本题考查整式化简求值，二次根式运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握二次根式加法运算法则和完全平方公式是解题的关键． 【作业9】（2026春•桓台县期中）阅读材料：已知 ，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵，∴．这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： （1）已知，试证明为定值． （2）已知，求x的值． 【分析】（1）根据平方差公式计算，然后即可得到的值，从而可以证明结论成立； （2）先根据平方差公式变形，然后即可求出x的值． 【解答】（1）证明：（）（） ＝1+mx﹣2﹣mx ＝﹣1， ∵， ∴1÷3， ∴为定值； （2）解：∵（）（）＝10+x﹣2﹣x＝8，， ∴2， ∴（）+（）＝6， ∴3， 解得x＝﹣1． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【作业10】（2025秋•朝阳区校级期末）有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加AB增加 cm2的正方形AGFE． ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE． （1）求长方形木板ABCD的面积； （2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【分析】（1）依据题意，先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）依据题意，由矩形面积公式列式计算，然后比较大小即可； 【解答】解：（1）由题意可得：正方形的边长为：， ∴，． ∴矩形ABCD木板的面积为． （2）木工乙的想法可行，理由如下： 从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为， ∴裁出长为：， 由（1）得长方形ABCD的长为宽为， ∵4，6，， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料． ∴木工乙的想法可行． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.2 二次根式的运算（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 八年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解同类二次根式的概念，能识别并合并同类二次根式。 · 掌握二次根式的加减运算法则，能熟练进行二次根式的加减运算。 · 掌握二次根式的乘除运算法则，能熟练进行二次根式的乘除运算。 · 掌握二次根式的混合运算顺序，能准确进行混合运算。 · 能运用二次根式运算解决化简求值、几何图形面积计算等实际问题，提升代数运算能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 同类二次根式 定义： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。 · 判断方法：先化简，再看被开方数是否相同。 · 合并法则：与合并同类项类似，系数相加减，被开方数不变。 · 注意：不是同类二次根式的不能合并。 ☑ 典型例题 1 题目： 若二次根式 与 能够合并，则 的值可能为（ ） A. 9   B. 16   C. 46   D. 52 解析： ，被开方数为3。要使 与 能合并，则 化简后被开方数也为3。当 时，，符合。 答案： C ☆ 2. 二次根式的加减法 法则： 二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 · 步骤：化简 → 识别同类二次根式 → 合并系数。 · 注意：不是同类二次根式的不能合并。 ☑ 典型例题 2 题目： 计算 的结果是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 原式 。 答案： A ☆ 3. 二次根式的乘除法 乘法法则： （，）。 除法法则： （，）。 · 逆用： ， 。 · 注意符号和被开方数的取值范围。 ☑ 典型例题 3 题目： 若 ，则 的取值范围是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 根据二次根式有意义的条件， 且 ，解得 。 答案： D ☆ 4. 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数相同：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的。 · 运算结果要化为最简二次根式。 · 注意运用乘法公式（平方差、完全平方）简化运算。 · 有理数的运算律在二次根式中同样适用。 ☑ 典型例题 4 题目： 计算 的结果是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 原式 。 答案： B ☆ 5. 二次根式的化简求值 先化简代数式，再代入已知值计算。常用整体代入、配方变形等方法。 · 注意利用完全平方公式、平方差公式进行变形。 · 整体代入可简化计算。 ☑ 典型例题 5 题目： 已知 ，求 的值。 解析： 。由 ，得 ，代入得 。 答案： ☆ 6. 二次根式的应用 利用二次根式表示几何图形的边长、面积、周长等，并进行运算。 · 常见于正方形、矩形、三角形等图形的面积和周长计算。 · 注意化简最简二次根式。 ☑ 典型例题 6 题目： 如图，从一个大正方形中裁去面积为 和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） 解析： 两个小正方形边长分别为 和 ，大正方形边长为 ，面积为 ，余下面积为 。 答案： ☆ 知识总结表 核心概念 定义/法则 注意事项 同类二次根式 化简后被开方数相同 先化简再判断 二次根式加减 化简后合并同类二次根式 不是同类不能合并 二次根式乘法 二次根式除法 混合运算 先乘方，再乘除，最后加减 结果化为最简 核心考点 ·7大典型考点精讲 【考点1】同类二次根式（第1–6题） · 先将二次根式化为最简二次根式。 · 比较化简后的被开方数是否相同。 · 合并时系数相加减，被开方数不变。 1．（2026春•潍坊期中）若二次根式与能够合并，则m的值可能为（　　） A．9 B．16 C．46 D．52 2．（2025秋•普陀区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•秦都区校级期中）若与最简二次根式能合并，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 4．（2025秋•卧龙区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．同类二次根式一定是最简二次根式 B．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式 C．任何两个二次根式都可以化成同类二次根式 D．两个二次根式若不是同类二次根式就不能合并 5．（2025春•雷州市校级期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝　 　 ． 6．（2025秋•宁德期中）已知x，y是正整数，若是整数，则满足条件的有序实数对（x，y）是　 　 ． 【考点2】二次根式的加减法（第7–15题） · 化简 → 合并同类二次根式。 · 注意去括号和符号变化。 · 结果要化为最简二次根式。 7．（2025春•从江县校级期中）下列各式，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•广饶县期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（2025秋•岳阳楼区校级期中）有下列算式：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．②④ B．①③ C．③④ D．①④ 10．（2025春•兴宁区校级期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（2026•河南模拟）计算：（）＝　 　 ． 12．（2025•武安市二模）计算：，则♡表示的数为　 　 ． 13．（2024秋•市中区校级月考）观察下列二次根式的化简： S1， S2， S3．则　 　 ． 14．（2026春•西宁期中）计算． 15．（2025春•葫芦岛月考）计算： （1）； （2）． 【考点3】二次根式的乘除法（第16–22题） · 利用乘法法则和除法法则进行计算。 · 注意被开方数的取值范围。 · 结果要化为最简二次根式。 16．（2025春•涵江区校级期中）若，则（　　） A．x＞4 B．x≥5 C．4＜x＜5 D．4≤x≤5 17．（2025春•焦作期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 18．（2025春•红谷滩区校级月考）如果，那么（　　） A．x≥0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1 19．（2024春•高州市月考）若，则关于M的说法正确的是（　　） A．是整数，而且是奇数 B．是整数，而且是偶数 C．不是整数，而是无理数 D．无法确定 20．（2025秋•奉贤区校级期中）计算：　 　 ． 21．（2025秋•海淀区校级期末）化简： （1）； （2）． 22．（2025秋•青浦区校级月考）化简：． 【考点4】二次根式的混合运算（第23–28题） · 按先乘方、再乘除、最后加减的顺序进行。 · 灵活运用乘法公式简化运算。 · 结果必须是最简二次根式。 23．（2026春•城中区校级期中）　 　 ． 24．（2026•广州校级模拟）　 　 ． 25．（2026•青岛校级模拟）计算： 　 　 ． 26．（2026春•海城市校级月考）计算： （1）； （2）． 27．（2026•兰州校级模拟）计算：． 28．（2026春•西湖区校级期中）计算： （1）； （2）． 【考点5】二次根式的化简求值（第29–32题） · 先化简代数式，再代入求值。 · 整体代入可简化计算。 · 注意利用完全平方公式、平方差公式。 29．（2026春•罗定市期中）已知：，，求： （1）x2﹣y2； （2）x2+3xy+y2． 30．（2026春•恩平市期中）已知，，求下列各式的值： （1）x2y+xy2； （2）x2﹣xy+y2． 31．（2025秋•扬州校级月考）已知对x+y＝﹣6，xy＝4，求的值． 32．（2026春•城中区校级期中）已知，，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）． 【考点6】二次根式的应用（第33–38题） · 根据几何图形关系列出二次根式表达式。 · 进行二次根式的化简和运算。 · 注意单位的统一和结果的合理性。 33．（2026春•长春期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为28cm2和50cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（　　） A． B． C．78cm2 D． 34．（2026春•潍坊校级期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（　　） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为90 35．（2026春•宜兴市期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是 　 　 ． 36．（2025秋•台江区校级期末）已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为S1，S2． （1）求S1+S2的值； （2）用一根长为16m的铁丝，能否围成这两个正方形？ 37．（2026春•阎良区期中）如图，某居民小区有一块矩形菜地ABCD，菜地的长BC为，宽AB为．现要在该菜地中挖一口圆形水井（阴影部分），水井的半径为．（π取3） （1）求该菜地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）若除去水井部分，其他区域（图中空白部分）全部种植白菜，求种植白菜部分的面积． 38．（2026春•惠州期中）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为900cm2．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示（π取3）． （1）圆形团扇的半径为　 　 cm，正方形团扇的边长为　 　 cm； （2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【考点7】创新及压轴题（第39–41题） · 海伦—秦九韶公式的应用。 · 构造对偶式求值。 · 分组分解因式简化计算。 39．（2026春•东莞市校级期中）八年级下册数学课本介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在△ABC中，BC＝a＝5，AC＝b＝6，AB＝c＝7，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 40．（2025•南湖区自主招生）已知a，b． （1）求ab及a2+b2的值； （2）求不超过a10的最大整数． 41．（2024春•同步）计算： 随堂检测 · 精选练习 · 练习1： 二次根式计算判断 · 练习2： 秦九韶公式求面积 · 练习3： 三角形三边与二次根式化简 · 练习4： 二次根式有意义的条件 · 练习5： 二次根式混合计算 【练习1】（2026春•荔湾区校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【练习2】（2026春•平湖市期中）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积．若a＝2，，c＝4，则S的值为　 　 ． 【练习3】（2026春•阳江期中）若1，a，3是三角形的三边长，化简 　 　 ． 【练习4】（2026春•瑶海区校级期中）已知：y﹣2，则的值为　 　 ． 【练习5】（2026春•潍坊期中）计算： （1）； （2）； （3）． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1： 化简求值 · 作业2： 二次根式有意义的条件 · 作业3： 二次根式应用—周长 · 作业4： 最简二次根式合并 · 作业5： 幂的运算与二次根式 · 作业6： 规律探究 · 作业7： 二次根式混合计算 · 作业8： 整体代入求值 · 作业9： 构造对偶式 · 作业10： 二次根式应用—面积 ❤ 复习建议 先化简再判断： 判断同类二次根式前，必须先化为最简二次根式。 加减法注意合并条件： 只有被开方数相同的二次根式才能合并。 乘除法注意取值范围： 利用 时，需保证 。 混合运算巧用公式： 平方差公式和完全平方公式在二次根式运算中同样适用。 化简求值先变形： 先对代数式进行配方或整体变形，再代入计算。 【作业1】（2026春•南岗区校级月考）已知，则代数式x2+4x﹣6的值为（　　） A． B．6 C．﹣5 D．5 【作业2】（2026春•慈溪市月考）若有意义，则（　　） A．a+b B．a﹣b C．﹣a+b D．﹣a﹣b 【作业3】（2025秋•隆昌市校级期末）把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．20cm B． C． D． 【作业4】（2025秋•东湖区校级月考）若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【作业5】（2026春•高唐县期中）计算的结果为 　 　 ． 【作业6】（2026春•长兴县期中）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程： 具体运算，发现规律． 等式1：． 等式2：． 等式3：． （1）观察、归纳，得出猜想． n为正整数，猜想等式n可表示为　 　 ． （2）应用运算规律． 小丽写出一个等式，若该等式符合上述规律，则m﹣n的值为　 　 ． 【作业7】（2026春•中山区校级期中）计算： （1）； （2）． 【作业8】（2026春•朝阳区校级期中）已知，，求代数式x2+xy+y2的值． 【作业9】（2026春•桓台县期中）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵，∴．这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： （1）已知，试证明为定值． （2）已知，求x的值． 【作业10】（2025秋•朝阳区校级期末）有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE． （1）求长方形木板ABCD的面积； （2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $