专题20.2 二次根式的运算 【暑假预习】 讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

专题20.2 二次根式的运算（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 八年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解同类二次根式的概念，能识别并合并同类二次根式。 · 掌握二次根式的加减运算法则，能熟练进行二次根式的加减运算。 · 掌握二次根式的乘除运算法则，能熟练进行二次根式的乘除运算。 · 掌握二次根式的混合运算顺序，能准确进行混合运算。 · 能运用二次根式运算解决化简求值、几何图形面积计算等实际问题，提升代数运算能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 同类二次根式 定义： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。 · 判断方法：先化简，再看被开方数是否相同。 · 合并法则：与合并同类项类似，系数相加减，被开方数不变。 · 注意：不是同类二次根式的不能合并。 ☑ 典型例题 1 题目： 若二次根式 与 能够合并，则 的值可能为（ ） A. 9   B. 16   C. 46   D. 52 解析： ，被开方数为3。要使 与 能合并，则 化简后被开方数也为3。当 时，，符合。 答案： C ☆ 2. 二次根式的加减法 法则： 二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 · 步骤：化简 → 识别同类二次根式 → 合并系数。 · 注意：不是同类二次根式的不能合并。 ☑ 典型例题 2 题目： 计算 的结果是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 原式 。 答案： A ☆ 3. 二次根式的乘除法 乘法法则： （，）。 除法法则： （，）。 · 逆用： ， 。 · 注意符号和被开方数的取值范围。 ☑ 典型例题 3 题目： 若 ，则 的取值范围是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 根据二次根式有意义的条件， 且 ，解得 。 答案： D ☆ 4. 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数相同：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的。 · 运算结果要化为最简二次根式。 · 注意运用乘法公式（平方差、完全平方）简化运算。 · 有理数的运算律在二次根式中同样适用。 ☑ 典型例题 4 题目： 计算 的结果是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 原式 。 答案： B ☆ 5. 二次根式的化简求值 先化简代数式，再代入已知值计算。常用整体代入、配方变形等方法。 · 注意利用完全平方公式、平方差公式进行变形。 · 整体代入可简化计算。 ☑ 典型例题 5 题目： 已知 ，求 的值。 解析： 。由 ，得 ，代入得 。 答案： ☆ 6. 二次根式的应用 利用二次根式表示几何图形的边长、面积、周长等，并进行运算。 · 常见于正方形、矩形、三角形等图形的面积和周长计算。 · 注意化简最简二次根式。 ☑ 典型例题 6 题目： 如图，从一个大正方形中裁去面积为 和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） 解析： 两个小正方形边长分别为 和 ，大正方形边长为 ，面积为 ，余下面积为 。 答案： ☆ 知识总结表 核心概念 定义/法则 注意事项 同类二次根式 化简后被开方数相同 先化简再判断 二次根式加减 化简后合并同类二次根式 不是同类不能合并 二次根式乘法 二次根式除法 混合运算 先乘方，再乘除，最后加减 结果化为最简 核心考点 ·7大典型考点精讲 【考点1】同类二次根式（第1–6题） · 先将二次根式化为最简二次根式。 · 比较化简后的被开方数是否相同。 · 合并时系数相加减，被开方数不变。 【考点2】二次根式的加减法（第7–15题） · 化简 → 合并同类二次根式。 · 注意去括号和符号变化。 · 结果要化为最简二次根式。 【考点3】二次根式的乘除法（第16–22题） · 利用乘法法则和除法法则进行计算。 · 注意被开方数的取值范围。 · 结果要化为最简二次根式。 【考点4】二次根式的混合运算（第23–28题） · 按先乘方、再乘除、最后加减的顺序进行。 · 灵活运用乘法公式简化运算。 · 结果必须是最简二次根式。 【考点5】二次根式的化简求值（第29–32题） · 先化简代数式，再代入求值。 · 整体代入可简化计算。 · 注意利用完全平方公式、平方差公式。 【考点6】二次根式的应用（第33–38题） · 根据几何图形关系列出二次根式表达式。 · 进行二次根式的化简和运算。 · 注意单位的统一和结果的合理性。 【考点7】创新及压轴题（第39–41题） · 海伦—秦九韶公式的应用。 · 构造对偶式求值。 · 分组分解因式简化计算。 随堂检测 · 精选练习 · 练习1： 二次根式计算判断 · 练习2： 秦九韶公式求面积 · 练习3： 三角形三边与二次根式化简 · 练习4： 二次根式有意义的条件 · 练习5： 二次根式混合计算 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1： 化简求值 · 作业2： 二次根式有意义的条件 · 作业3： 二次根式应用—周长 · 作业4： 最简二次根式合并 · 作业5： 幂的运算与二次根式 · 作业6： 规律探究 · 作业7： 二次根式混合计算 · 作业8： 整体代入求值 · 作业9： 构造对偶式 · 作业10： 二次根式应用—面积 ❤ 复习建议 先化简再判断： 判断同类二次根式前，必须先化为最简二次根式。 加减法注意合并条件： 只有被开方数相同的二次根式才能合并。 乘除法注意取值范围： 利用 时，需保证 。 混合运算巧用公式： 平方差公式和完全平方公式在二次根式运算中同样适用。 化简求值先变形： 先对代数式进行配方或整体变形，再代入计算。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.2 二次根式的运算（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 八年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解同类二次根式的概念，能识别并合并同类二次根式。 · 掌握二次根式的加减运算法则，能熟练进行二次根式的加减运算。 · 掌握二次根式的乘除运算法则，能熟练进行二次根式的乘除运算。 · 掌握二次根式的混合运算顺序，能准确进行混合运算。 · 能运用二次根式运算解决化简求值、几何图形面积计算等实际问题，提升代数运算能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 同类二次根式 定义： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。 · 判断方法：先化简，再看被开方数是否相同。 · 合并法则：与合并同类项类似，系数相加减，被开方数不变。 · 注意：不是同类二次根式的不能合并。 ☑ 典型例题 1 题目： 若二次根式 与 能够合并，则 的值可能为（ ） A. 9   B. 16   C. 46   D. 52 解析： ，被开方数为3。要使 与 能合并，则 化简后被开方数也为3。当 时，，符合。 答案： C ☆ 2. 二次根式的加减法 法则： 二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 · 步骤：化简 → 识别同类二次根式 → 合并系数。 · 注意：不是同类二次根式的不能合并。 ☑ 典型例题 2 题目： 计算 的结果是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 原式 。 答案： A ☆ 3. 二次根式的乘除法 乘法法则： （，）。 除法法则： （，）。 · 逆用： ， 。 · 注意符号和被开方数的取值范围。 ☑ 典型例题 3 题目： 若 ，则 的取值范围是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 根据二次根式有意义的条件， 且 ，解得 。 答案： D ☆ 4. 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数相同：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的。 · 运算结果要化为最简二次根式。 · 注意运用乘法公式（平方差、完全平方）简化运算。 · 有理数的运算律在二次根式中同样适用。 ☑ 典型例题 4 题目： 计算 的结果是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 原式 。 答案： B ☆ 5. 二次根式的化简求值 先化简代数式，再代入已知值计算。常用整体代入、配方变形等方法。 · 注意利用完全平方公式、平方差公式进行变形。 · 整体代入可简化计算。 ☑ 典型例题 5 题目： 已知 ，求 的值。 解析： 。由 ，得 ，代入得 。 答案： ☆ 6. 二次根式的应用 利用二次根式表示几何图形的边长、面积、周长等，并进行运算。 · 常见于正方形、矩形、三角形等图形的面积和周长计算。 · 注意化简最简二次根式。 ☑ 典型例题 6 题目： 如图，从一个大正方形中裁去面积为 和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） 解析： 两个小正方形边长分别为 和 ，大正方形边长为 ，面积为 ，余下面积为 。 答案： ☆ 知识总结表 核心概念 定义/法则 注意事项 同类二次根式 化简后被开方数相同 先化简再判断 二次根式加减 化简后合并同类二次根式 不是同类不能合并 二次根式乘法 二次根式除法 混合运算 先乘方，再乘除，最后加减 结果化为最简 核心考点 ·7大典型考点精讲 【考点1】同类二次根式（第1–6题） · 先将二次根式化为最简二次根式。 · 比较化简后的被开方数是否相同。 · 合并时系数相加减，被开方数不变。 1．（2026春•潍坊期中）若二次根式与能够合并，则m的值可能为（　　） A．9 B．16 C．46 D．52 2．（2025秋•普陀区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•秦都区校级期中）若与最简二次根式能合并，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 4．（2025秋•卧龙区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．同类二次根式一定是最简二次根式 B．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式 C．任何两个二次根式都可以化成同类二次根式 D．两个二次根式若不是同类二次根式就不能合并 5．（2025春•雷州市校级期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝　 　 ． 6．（2025秋•宁德期中）已知x，y是正整数，若是整数，则满足条件的有序实数对（x，y）是　 　 ． 【考点2】二次根式的加减法（第7–15题） · 化简 → 合并同类二次根式。 · 注意去括号和符号变化。 · 结果要化为最简二次根式。 7．（2025春•从江县校级期中）下列各式，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•广饶县期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（2025秋•岳阳楼区校级期中）有下列算式：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．②④ B．①③ C．③④ D．①④ 10．（2025春•兴宁区校级期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（2026•河南模拟）计算：（）＝　 　 ． 12．（2025•武安市二模）计算：，则♡表示的数为　 　 ． 13．（2024秋•市中区校级月考）观察下列二次根式的化简： S1， S2， S3．则　 　 ． 14．（2026春•西宁期中）计算． 15．（2025春•葫芦岛月考）计算： （1）； （2）． 【考点3】二次根式的乘除法（第16–22题） · 利用乘法法则和除法法则进行计算。 · 注意被开方数的取值范围。 · 结果要化为最简二次根式。 16．（2025春•涵江区校级期中）若，则（　　） A．x＞4 B．x≥5 C．4＜x＜5 D．4≤x≤5 17．（2025春•焦作期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 18．（2025春•红谷滩区校级月考）如果，那么（　　） A．x≥0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1 19．（2024春•高州市月考）若，则关于M的说法正确的是（　　） A．是整数，而且是奇数 B．是整数，而且是偶数 C．不是整数，而是无理数 D．无法确定 20．（2025秋•奉贤区校级期中）计算：　 　 ． 21．（2025秋•海淀区校级期末）化简： （1）； （2）． 22．（2025秋•青浦区校级月考）化简：． 【考点4】二次根式的混合运算（第23–28题） · 按先乘方、再乘除、最后加减的顺序进行。 · 灵活运用乘法公式简化运算。 · 结果必须是最简二次根式。 23．（2026春•城中区校级期中）　 　 ． 24．（2026•广州校级模拟）　 　 ． 25．（2026•青岛校级模拟）计算： 　 　 ． 26．（2026春•海城市校级月考）计算： （1）； （2）． 27．（2026•兰州校级模拟）计算：． 28．（2026春•西湖区校级期中）计算： （1）； （2）． 【考点5】二次根式的化简求值（第29–32题） · 先化简代数式，再代入求值。 · 整体代入可简化计算。 · 注意利用完全平方公式、平方差公式。 29．（2026春•罗定市期中）已知：，，求： （1）x2﹣y2； （2）x2+3xy+y2． 30．（2026春•恩平市期中）已知，，求下列各式的值： （1）x2y+xy2； （2）x2﹣xy+y2． 31．（2025秋•扬州校级月考）已知对x+y＝﹣6，xy＝4，求的值． 32．（2026春•城中区校级期中）已知，，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）． 【考点6】二次根式的应用（第33–38题） · 根据几何图形关系列出二次根式表达式。 · 进行二次根式的化简和运算。 · 注意单位的统一和结果的合理性。 33．（2026春•长春期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为28cm2和50cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（　　） A． B． C．78cm2 D． 34．（2026春•潍坊校级期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（　　） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为90 35．（2026春•宜兴市期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是 　 　 ． 36．（2025秋•台江区校级期末）已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为S1，S2． （1）求S1+S2的值； （2）用一根长为16m的铁丝，能否围成这两个正方形？ 37．（2026春•阎良区期中）如图，某居民小区有一块矩形菜地ABCD，菜地的长BC为，宽AB为．现要在该菜地中挖一口圆形水井（阴影部分），水井的半径为．（π取3） （1）求该菜地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）若除去水井部分，其他区域（图中空白部分）全部种植白菜，求种植白菜部分的面积． 38．（2026春•惠州期中）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为900cm2．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示（π取3）． （1）圆形团扇的半径为　 　 cm，正方形团扇的边长为　 　 cm； （2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【考点7】创新及压轴题（第39–41题） · 海伦—秦九韶公式的应用。 · 构造对偶式求值。 · 分组分解因式简化计算。 39．（2026春•东莞市校级期中）八年级下册数学课本介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在△ABC中，BC＝a＝5，AC＝b＝6，AB＝c＝7，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 40．（2025•南湖区自主招生）已知a，b． （1）求ab及a2+b2的值； （2）求不超过a10的最大整数． 41．（2024春•同步）计算： 随堂检测 · 精选练习 · 练习1： 二次根式计算判断 · 练习2： 秦九韶公式求面积 · 练习3： 三角形三边与二次根式化简 · 练习4： 二次根式有意义的条件 · 练习5： 二次根式混合计算 【练习1】（2026春•荔湾区校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【练习2】（2026春•平湖市期中）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积．若a＝2，，c＝4，则S的值为　 　 ． 【练习3】（2026春•阳江期中）若1，a，3是三角形的三边长，化简 　 　 ． 【练习4】（2026春•瑶海区校级期中）已知：y﹣2，则的值为　 　 ． 【练习5】（2026春•潍坊期中）计算： （1）； （2）； （3）． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1： 化简求值 · 作业2： 二次根式有意义的条件 · 作业3： 二次根式应用—周长 · 作业4： 最简二次根式合并 · 作业5： 幂的运算与二次根式 · 作业6： 规律探究 · 作业7： 二次根式混合计算 · 作业8： 整体代入求值 · 作业9： 构造对偶式 · 作业10： 二次根式应用—面积 ❤ 复习建议 先化简再判断： 判断同类二次根式前，必须先化为最简二次根式。 加减法注意合并条件： 只有被开方数相同的二次根式才能合并。 乘除法注意取值范围： 利用 时，需保证 。 混合运算巧用公式： 平方差公式和完全平方公式在二次根式运算中同样适用。 化简求值先变形： 先对代数式进行配方或整体变形，再代入计算。 【作业1】（2026春•南岗区校级月考）已知，则代数式x2+4x﹣6的值为（　　） A． B．6 C．﹣5 D．5 【作业2】（2026春•慈溪市月考）若有意义，则（　　） A．a+b B．a﹣b C．﹣a+b D．﹣a﹣b 【作业3】（2025秋•隆昌市校级期末）把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．20cm B． C． D． 【作业4】（2025秋•东湖区校级月考）若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【作业5】（2026春•高唐县期中）计算的结果为 　 　 ． 【作业6】（2026春•长兴县期中）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程： 具体运算，发现规律． 等式1：． 等式2：． 等式3：． （1）观察、归纳，得出猜想． n为正整数，猜想等式n可表示为　 　 ． （2）应用运算规律． 小丽写出一个等式，若该等式符合上述规律，则m﹣n的值为　 　 ． 【作业7】（2026春•中山区校级期中）计算： （1）； （2）． 【作业8】（2026春•朝阳区校级期中）已知，，求代数式x2+xy+y2的值． 【作业9】（2026春•桓台县期中）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵，∴．这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： （1）已知，试证明为定值． （2）已知，求x的值． 【作业10】（2025秋•朝阳区校级期末）有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE． （1）求长方形木板ABCD的面积； （2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $