山东省济南市钢城区2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

**基本信息** 2025-2026学年七年级下学期期末数学卷，150分120分钟全面考查几何、代数、概率等知识，通过无人机飞行、农产品展销等真实情境及“理想解”新定义题，培养抽象能力、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|轴对称与中心对称、二元一次方程、概率等|基础概念辨析，如第3题必然事件结合生活情境| |填空题|5/20|因式分解、完全平方式、函数交点等|第14题无人机飞行时间与高度函数交点，体现数据观念| |解答题|10/86|图形变换、统计概率、成本问题、新定义等|22题农产品展销成本问题融合方程组与不等式，24题“理想解”新定义考查推理能力，25题旋转综合培养空间观念|

2025-2026 学年度下学期期末诊断性评价 七年级数学试题 注意事项： 1.答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确。 2.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150 分，考试时间为 120 分钟。 3.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔。 4.考试结束后，由监考教师把答题卡收回。 第Ⅰ卷(选择题40分) 一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求.) 1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) 2.下列方程中，是二元一次方程的是 ( ) B. C. D. 3.下列事件中，是必然事件的是 ( ) A.367人中至少有2人公历生日相同 B.打开电视，正在播放广告 C.抛掷一枚硬币，正面朝上 D.体育课上，小刚跑完1000米所用时间为1分钟 4.若，则下列不等式一定成立的是 ( ) A. B. D. 初二数学试题(共8页 第1页) 学科网（北京）股份有限公司 5.下列各式从左到右变形中，是因式分解的是 ( ) A. B. C. D. 6.如图，转盘中6个扇形的面积都相等.任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针指向扇形中的数不小于4”的概率为( ) A. B. C D. 7.已知是二元一次方程组 的解,则的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.已知关于x的不等式组 只有4个整数解，则a的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 9.在如图所示的长方形中，放入5个形状，大小相同的小长方形(阴影部分)，其中，，则空白部分图形的面积为( ) A.18cm² B.21cm² C.24cm² D.37cm² 10.如图, 在中,, , 是上的任意一点, 连接, 将绕点按顺时针方向旋转至，使，连接.则线段长度的最小值为( ) A. 2 B. 3 C. D. 4 初二数学试题(共8页 第2页) 第Ⅱ卷 (非选择题110 分) 二、填空题(本题共5 小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4 分，共20 分) 11.因式分解： 12.如图，学校在教学楼走廊铺设4×4 的正方形防滑方格地砖，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，部分地砖区域做了黑色阴影涂鸦。课间开展抛沙包小游戏：将沙包随机抛落在地砖面上(落在地砖缝隙、落地砖外则重新投掷)，随机抛掷沙包一次，求沙包落在阴影部分的概率是 . 13.若多项式 是一个完全平方式，则的值为 . 14.如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机.如图2，在平面直角坐标系中，线段分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度与飞行时间的函数关系，其中 线段与相交于点,轴于点,点的横坐标为25,则在第 秒时1号和2号无人机在同一高度. 15.若数既使得关于的二元一次方程组 有正整数解，又使得关于的不等式组的解集为，那么所有满足条件的的值之和为 . 初二数学试题(共8页 第3页) 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题(本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤) 16.解方程组 (本小题满分7分) 17.解不等式组 (本小题满分7分) 并写出它的所有整数解. 18.(本小题满分7分) 已知, 求 的值. 19.(本小题满分8分) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 (1)若经过平移后得到,已知点的坐 标为(4, 0) , 写出顶点的坐标; (2)将绕着点 按顺时针方向旋转90°得到, 画出, (3)在轴作出点，使的值最小，并求出最小值. 初二数学试题(共8页 第4页) 学科网（北京）股份有限公司 20.(本小题满分8分) 钢城区某校开展“书香钢城，悦读成长”读书分享演讲大赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题. (1)参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ； (2)补全条形统计图；2 (3)组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率. 21.(本小题满分9分) 如图，将沿射线的方向平移4个单位长度到的位置，点的对应点分别为点 (1) 若, 求的长; (2) 若, 求的度数. 初二数学试题(共8页 第5页) 学科网（北京）股份有限公司 22. (本小题满分10分) 为迎接钢城区农产品展销会，某文具厂生产A款铁艺小摆件、B款非遗针绣卡通包，用于推广钢城文化.若生产3件A款铁艺小摆件和1件B款非遗针绣卡通包成本为170元，生产2件A款铁艺小摆件和4件B 款非遗针绣卡通包的成本为280元. (1)求每件A款铁艺小摆件、B款非遗针绣卡通包的成本分别为多少元? (2)农产品展销会结束后，文具厂计划再生产A、B两款产品共2件用于线上销售，且A款铁120艺小摆件数量不多于 B 款非遗针绣卡通包数量的 ，生产A款铁艺小摆件多少件时成本最少?最少成本是多少元? 23.(本小题满分10分) 如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为. (1)求直线的函数表达式. (2) 求四边形的面积. (3)根据图像，直接写出关于的不等式 的解集. 初二数学试题(共8页 第6页) 学科网（北京）股份有限公司 24.(本小题满分 12分) 【阅读理解】 定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“理想解”.例如,已知方程与不等式,当时, 同时成立,则称“”是方程与不等式的“理想解”. 【问题解决】 (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式(组)的“理想解”： (直接填写序号). ①; ②; (2)若 是方程组 与不等式的“理想解”，求的取值范围. (3)若关于的方程组 与不等式的“理想解”均为正数(即“理想解”中的均为正数)，直接写出的取值范围. 初二数学试题(共 8页 第7页) 25.(本小题满分12 分) 如图1，和都是等腰直角三角形，直角顶点为，固定不动， 绕着点旋转. 如图2,将绕点旋转,当点落在边上时,连接. (1)直接写出与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探索之间的数量关系，并完整地证明你的结论； (3)如图3,在中,, 以为直角边,为直角顶点向外作等腰直角连接,若 ,求长. 初二数学试题(共8页 第 8页) 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度下学期期末诊断性评价 七年级数学试题 注意事项： 1答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确。 2.本试题分第】卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分 钟。 3选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选 择题用0.5黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色 签字笔，不能用铅笔。 4.考试结束后，由监考教师把答题卡收回。 第I卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求.) 1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是() ® ®◇⊙ B C ® D 2.下列方程中，是二元一次方程的是() A.4x2+5x=6 B.2x-3y+z=5 C.x-5 8 D.3y-7=6x 3.下列事件中，是必然事件的是() A.367人中至少有2人公历生日相同 B.打开电视，正在播放广告 C.抛掷一枚硬币，正面朝上 D.体育课上，小刚跑完1000米所用时间为1分钟 4.若a<b,则下列不等式一定成立的是() A.-2a<-2b B.a+4b<5b C.Ta>ib 2 2 D.a-3>b-4 初二数学试题（共8页第1页） 5.下列各式从左到右变形中，是因式分解的是() A.6a2+4ab=2a(3a2+2b) B.a2b2-4ab+4=(ab-2)2 C.a2-2a-3=(a-1)2-4D.(x+3)(x-3)=x2-9 6如图，转盘中6个扇形的面积都相等.任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针指向 扇形中的数不小于4”的概率为() B. 6 c D.2 叱-3是二元一次方程组十y三42的解，则2mn的值为( 7.己知x=1 (第6题图) A.1 B.2 C.3 D.4 8已知关于x的不等式组仁二公，二9只有4个整数解，则口的取信范固是() A.-3<a≤-2 B.-2≤a<-1 C.-3≤a<-2 D.-2<a≤-1 9.在如图所示的长方形ABCD中，放入5个形状，大小相同的小长方形（阴影部分），其中AB=8cm, BC-14cm,则空白部分图形的面积为() A.18cm2 B.21cm2 C.24cm2 D.37cm2 10.如图，在△ABC中，AB=8,AC=14,∠C=30°，P是BC上的任意一点，连接AP,将AP绕 点A按顺时针方向旋转至AQ,使∠PAQ=∠BAC,连接BQ.则线段BQ长度的最小值为() A.2 B.3 C.43 3 D.4 (第9题图) (第10题图) 初二数学试题（共8页第2页） 第Ⅱ卷（非选择题110分） 三 二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11.因式分解：x2-9= 12.如图，学校在教学楼走廊铺设4×4的正方形防滑方格地砖，每块小正方形除颜色外都相同， 小正方形的顶点称为格点，部分地砖区域做了黑色阴影涂鸦。课间开展抛沙包小游戏：将沙包随机 抛落在地砖面上（落在地砖缝隙、落地砖外则重新投掷），随机抛掷沙包一次，求沙包落在阴影部 分的概率是一 13.若多项式x2-x+36是一个完全平方式，则k的值为 14.如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机.如图2，在平面直角坐标系中，线段OA,BC分 别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度y,次(m)与飞行时间x(s)的函数关系，其中 2=-+50,线段OA与BC相交于点P,AB⊥y轴于点B,点A的横坐标为25，则在第 18 秒时1号和2号无人机在同一高度. y/米 B 0 25 Cx/秒 19 图1 图2 (第12题图) (第14题图) 坐 ( 15.若数a既使得关于x、y的二元一次方程组 3x2)-a13有正整数解，又使得关于x的不等式组 了x+y=6 标 (3x-5>x+a ( 3-2x 的解集为x≥15，那么所有满足条件的a的值之和为 ≤-3 △ 值 初二数学试题（共8页第3页） 三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16.解方程组（本小题满分7分） (1) x+y=7 (5x-6y=9 (2) 5x+3y=41 17x-4y=-5 机 部 17.解不等式组（本小题满分7分） (5-3x<2x-1)① 并写出它的所有整数解， 分 ② 中 第 18.(本小题满分7分) 己知a+b=-4,ab=-2,求a3b-2a2b2+ab3的值， 19.(本小题满分8分) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的 坐标分别为A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3). : (1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1,已知点C的坐 B 标为(4,0)，写出顶点A1,B1的坐标； (2)将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到 : 》》》 △A2B2C2,画出△A2B2C2, (3)在y轴作出点P,使AP+CP的值最小，并求出最小 值 (第19题图) 初二数学试题（共8页第4页） 20.(本小题满分8分) 2 钢城区某校开展“书香钢城，悦读成长”读书分享演讲大赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生 的成绩分为A,B,C,D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但 均不完整，请你根据统计图解答下列问题. 数 8 5 c 5 m% 3 D A 15% 0ABCD等级 (1)参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心 2 角为 度，图中m的值为 (2)补全条形统计图； (3)组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知 A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男 生和一名女生的概率。 21.(本小题满分9分) 如图，将△ABC沿射线AB的方向平移4个单位长度到△DEF的位置，点A,B,C的对应点分 别为点D,E,F (1)若AB=6,求AE的长： (2)若∠ABC=35°，求∠CFE的度数， B (第21题图) 初二数学试题（共8页第5页） 22.(本小题满分10分) 为迎接钢城区农产品展销会，某文具厂生产A款铁艺小摆件、B款非遗针绣卡通包，用于推广钢 城文化.若生产3件A款铁艺小摆件和1件B款非遗针绣卡通包成本为170元，生产2件A款 铁艺小摆件和4件B款非遗针绣卡通包的成本为280元. (1)求每件A款铁艺小摆件、B款非遗针绣卡通包的成本分别为多少元？ (2)农产品展销会结束后，文具厂计划再生产A、B两款产品共120件用于线上销售，且A款铁 艺小摆件数量不多于B款非遗针绣卡通包数量的号，生产A款铁艺小摆件多少件时成本最少？最 少成本是多少元？ 23.(本小题满分10分) 如图，已知函数y=x+3的图象与y轴交于点A,一次函数y=+b的图象经过点B(0,-2),与 x轴以及y=x+3的图象分别交于点C,D,且点D的坐标为(1，n), (I)求直线BD的函数表达式. (2)求四边形AOCD的面积. (3)根据图像，直接写出关于x的不等式o+b>x+3的解集， D A B (第23题图) 初二数学试题（共8页第6页） 24.(本小题满分12分) 25 【阅读理解】 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组） 的“理想解”.例如，已知方程2x-1=1与不等式x+1>0,当x=1时，2x-1=2×1-1=1, 1+1=2>0同时成立，则称“x=1”是方程2x-1=1与不等式x+1>0的“理想解”. 【问题解决】 (1)请判断方程2x-3=1的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”： (直 接填写序号)· ①2x-3>4x+1; ②2(x+1)-1≥5； 3x-5>2(x-3) ③ 4≤1 ②》若是方程组仁与不等式×-心1的“理粗解·，求？的取位花图。 《3)若关于xy的方程组不等式x+2y≥+10的“理想解”均为正数（即“理想解。 中的x,y均为正数)，直接写出a的取值范围， 初二数学试题（共8页第7页） 25.(本小题满分12分) 如图1，△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，直角顶点为A,△ABE固定不动，△ACD绕着 点A旋转。 如图2，将△ACD绕点A旋转，当点D落在BE边上时，连接CE. (1)直接写出BD与CE的数量关系是 ,位置关系是 (2)探索AD,BD,DE之间的数量关系，并完整地证明你的结论： 直 (3)如图3，在△ABC中，∠ACB=45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角 △ABD,连接CD,若AC=√3，BC=4,求CD长 D B D A y A B C 图1 图2 图3 (第25题图) 解” 初二数学试题（共8页第8页）2025-2026学年度上学期期末考试 初二数学试题参考答案 一、选择题（每小题4分，共40分） 题号 3 4 6 7 8 9 10 选项 D A B B D Q A D B 二、填空题（每小题4分，共20分） 1.+3x3)12.}13.±124.9 15.-15 16.(本小题满分7分) 解： x+y=7① (){5x+3y=41② ①×3得：3x+3y=21③ ②-③得：2x=20 ,∴.x=10 ---1分 把x=10代入①得：y=-3;-2分 为10 -3分 (2) 5x-6y=9① 7x-4y=-5② ①×2得：10x-12y=18③ ②×3得：21x-12y=_15④ ④-③得：11x=-33----4分 x=-3--5分 把x=-3代入①得：y=-4;--6分 解为 x=-3 ---7分 (y=-4 17、(本小题满分7分) (5-3x<2(x-1)① 解： 13-x≥号@ 答案第1页，共6页 由①得：5-3x<2x-2, -3x-2x<-2-5, -5x<-7, x名： -2分 由②得：9-3x≥1-x, -3x+x≥1-9， -2x≥-8 x≤4， ----4分 7 .不等式组的解集为：二<x≤4，-6分 5 ∴.不等式所有的整数解为：2,3,4.--7分 18.(本小题满分7分) 解：原式=ab(a2-2ab+b2) =ab(a-b)2,---2分 当a+b=-4,ab=-2时， 原式=ab[(a+b)2-4ab]---4分 =-2×[(-4)2-4×（-2)] =-2×(16+8) =-48 -7分 19(本小题满分8分) 解：(1)A1(22),------1分 B1(3,-2)----2分 (2)作图.-5分 (3)作点-6分 2√5-8分 20(本小题满分8分) 解：(1)20,72,40.------3分 (2)补全统计图，如图所示：--5分 答案第2页，共6页 人数小 8 6 5 B D 15% A B CD等级 图1 图2 (3)列表如下： 男 女 女 男 (男，女) (男，女) 女 (男，女) (女，女) 女 (男，女) (女，女) 所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种， 42 则P(恰好是一名男生和一名女生)=6=3 --8分 21.(本小题满分9分) 解：(1)，将三角形ABC沿射线AB的方向平移4个单位长度到三角形DEF的位置， 点A,B,C的对应点分别为点D,E,F, BE=AD=4,----2分 ,AB=6, ∴.AE=AB+BE=6+4=10;----4分 (2),将三角形ABC沿射线AB的方向平移4个单位长度到三角形DEF的位置，∠ABC =35°， .∴.∠E=∠ABC=35°，-----6分 CF∥AB,----8分 ∴.∠CFE=180°-∠E=180°-35°=145。.-----9分 22.(本小题满分10分) (1)设A款铁艺小摆件的成本价是x元，B款非遗针绣卡通包的成本价是y元， 根据题意得： 3x+y=170① -3分 2x+4y=280② 答案第3页，共6页 x=40 解得：y=50 答：A款小摆件的成本价是40元，B款卡通包的成本价是50元：----5分 (2)设生产A款铁艺小摆件m件，则生产B款非遗针绣卡通包(120m)件 根据题意得：m≤2(120-m) 解得：m≤48， -7分 设成本为w元，由题意可得：w=40m+50（120-m)=-10m+6000------8 分-10<0∴.随着m的增大w减小.当m=48时，w最小，----9分 最小为w=-10×48+6000=5520(元) 答：生产A款铁艺小摆件48件时，成本最少，为5520元。…10分 23.(本小题满分10分) 解：(1)，一次函数y=a+b的图象经过点D(1,n). ∴.把(1，n)代入y=x+3得，n=1+3=4: ∴.D（1,4)-----1分 ,一次函数y=+b的图象经过点B(0,-2)与D(1,4), 快+b242分 解得化三62 .直线BD的函数表达式为y=6x-2; (2)连接OD ,直线BD的解析式为y=6x-2, 当y=0时，x= 1 ∴c3,0 :0c=3 ----4分 把x=0代入y=x+3,得y=3, A（0,3),---5分 D2)·g30 1 11 S四边0c=SAA0D+SAcD=Z×3X1+7×3X4=13/6-7分 答案第4页，共6页 (3)x>1.-------10分 24.(本小题满分10分) 解：(1)②③： -2分 ②)化贺是方专以-2+与不跨元>1的“得想解 -2m-02+9 m-n>1,---4分 解方程m2+十得：n。 -6分 9-1-(-3)>1, ∴q>-1, 即q的取值范围为q>-1;-7分 )解方样低+y8阳+得：加+县 --8分 关于了的方程n低+y38十与不等式+巧≥60的“用提解”均为正致（即“星 想解”中的x,y均为正数)， 4a+1>0① 4-a>0② (4a+1)+2(4-a)≥a+10③ 解不等式①，得：a>子 解不等式②，得：a<4, 解不等式③，得：a≥1，--11分 ∴.不等式组的解集为1≤a<4, 即a的取值范围1≤a<4.--------12分 25.(1)BD=CE,BD⊥CE,-----2分 (2)结论：BD2+DE2=2DA2. ---3分 证明：，△ABE和△ADC是等腰直角三角形， ∴.AB=AE.AD=AC.∠BAE=∠CAD=90°， ∴.∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE.即∠BAD=∠EAC. 答案第5页，共6页 :△EAC纟△BAD(SAS). BD=CE,LAEC=LB, 丫LB+LBEA=900, LBEA+LAEC=900, 即LDEC=90o· EC2+DE2 =DC2. 丫BD=CE, BD2+DE2=DC2. 丫在等腰Rt△ADC中，DC2=2AD2. :BD2+DE2=2DA2:------7分 (3)V22: 在AC的上方作等腰直角△ACE,使得LCAE=90。,AC=AE.连接BE, D y ◇ 丫AC=V, :AE=√3，EC=V6, YLACB =45 0,LACE=450, :LBCE=900, 在Rt△BCE中，BE=BC2+CE2=22. 丫LBAD=LCAE=90O· L BAD+LDAE =L CAE+LDAE.LBAE =LDAC. 丫AB=AD,AE=AC, :△ABE纟△ADC（SAS)· :CD=BE=V22.------12分 答案第6页，共6页