4.3.2 对数函数的图象和性质新授课2026-2027学年高一上学期必修一

该高中数学课件聚焦对数函数y=log₂x的图象和性质，通过类比y=log₁/₂x与指数函数的关系导入，搭建从具体函数到一般性质的学习支架，衔接必备知识探新知、关键能力攻重难及课堂检测固双基的教学脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，如通过“类比y=log₂x性质推导y=log₁/₂x性质”培养数学思维，结合图象翻折平移实例发展几何直观（数学眼光），归纳提升环节帮助学生用数学语言表达规律。题型分层设计，学生提升逻辑推理与应用能力，教师可高效开展教学。

§3　对数函数 3.2　对数函数y＝log2x的图象和性质 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　函数y＝log2x的性质 (1)函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是______函数，且值域为______； (2)若x＞1，则y______0；若x＝1，则y＝0；若0＜x＜1，则_________； (3)函数y＝log2x与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称． 增　 知识点 R　 ＞　 y＜0　 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 ×　 ×　 √　 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） A　 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　y＝g(x)与y＝log2x互为反函数，故g(x)＝2x，故g(2)＝22＝4． D　 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 函数y＝log2x的图象及其变换  　　　　作出函数y＝|log2x|＋2的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域． [解析]　先作出函数y＝log2x的图象，如图甲．再将y＝log2x在x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的图象不变)，得函数y＝|log2x|的图象，如图乙； 例 1 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 然后将y＝|log2x|的图象向上平移2个单位长度，得函数y＝|log2x|＋2的图象，如图丙．由图丙得函数y＝|log2x|＋2的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(0，1)，值域是[2，＋∞)． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD）   [归纳提升]　利用函数y＝log2x的图象，可以得到的函数y＝log2(－x)，y＝|log2x|，y＝log2|x|等常见的函数图象，要熟悉这些函数的图象，并加以推广． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❶　求函数y＝f(x)＝log2|x|的定义域，并画出它的图象并写出单调区间． [解析]　函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}． 因为f(－x)＝log2|－x|＝log2|x|＝f(x)， 所以函数y＝log2|x|为偶函数．所以函数的图象关于 y轴对称，结合函数y＝log2x的图象，可得函数y＝ log2|x|的图象如图所示． 单调增区间为(0，＋∞)；单调减区间为(－∞，0)． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 比较两个数的大小  例 2 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　关于对数大小的比较 (1)对于底数相同的数，首先考查所涉及的函数的单调性，再比较真数的大小，最后利用单调性比较两个数的大小． (2)对于底数不同的数，可以借助换底公式化同底，再比较大小． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） a＜c＜b　 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 函数y＝log2x的性质的应用  　　　　使不等式log2(2x)＞log2(5x－3)成立的实数x的集合为 ____________． 例 3 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　关于与对数函数有关的不等式(方程)的解法 (1)转化：将含对数的不等式(方程)转化为一元一次、一元二次不等式(方程)求解． (2)定义域：求出的范围(值)要与定义域取交集(验证是否在定义域内)． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） (2)将本例的不等式变为log2(2－3x)＜－2，则实数x的取值范围是_______________． {x|x＞1}　 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 1．函数y＝log2x的图象大致是 (　　) [解析]　∵对数函数y＝log2x的底数大于1， ∴y＝log2x为增函数． 又对数函数的图象必过(1，0)点．故可得到答案C． C　 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 2．函数y＝log2x在[1，2]上的值域是 (　　) A．R　 B．[0，＋∞) C．(－∞，1]　 D．[0，1] [解析]　∵1≤x≤2，∴log21≤log2x≤log22，即0≤y≤1，故选D． D　 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） B　 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 4．使不等式log2(2x－1)＞－1成立的实数x的集合为____________． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 思考：(1)类比函数y＝log2x的性质，函数y＝logx有什么样的性质？ (2)函数y＝log2x与函数y＝2x的定义域、值域之间有什么关系？ 提示：(1)logx＝－log2x，函数y＝logx在定义域(0，＋∞)上是减函数，且值域为R． (2)函数y＝log2x的定义域是函数y＝2x的值域；函数y＝log2x的值域是函数y＝2x的定义域． 1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y＝log2x的图象都在y轴的左侧． (　　) (2)函数y＝logx在定义域(0，＋∞)上是增函数． (　　) (3)函数y＝log2x的图象在直线x＝1右侧，图象位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图象位于x轴下方． (　　) [解析]　(1)函数y＝log2x的图象都在y轴的右侧． (2)函数y＝logx在定义域(0，＋∞)上是减函数． (3)由函数y＝log2x的图象可知正确． 2．函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可 以是 (　　) A．　　　 B．2 C．e　　　 D．10 [解析]　y＝logax的图象是下降的，故a可以是． 3．已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，则g(2)的值为 (　　) A．9　 B．1 C．　 D．4 　　　　比较下列各组数的大小． (1)log23.2，log23.8； (2)，； (3)log3.2，log3.6． [解析]　(1)因为函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且3.2＜3.8，所以log23.2＜log23.8． (2)因为函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且0.5＜0.8，所以log20.5＜log20.8＜0，所以＜． (3)因为函数y＝logx在定义域(0，＋∞)上是减函数，且3.2＜3.6，所以log3.2＞log3.6． 【对点练习】❷　已知a＝log20.2，b＝log0.2，c＝log42，则a，b，c由小到大的顺序为____________． [解析]　因为a＝log20.2＜0，b＝log0.2＝log＝log25，c＝log42＝log222＝log22＝log2＜log25＝b，所以a＜c＜b． 　 [解析]　因为函数y＝log2x是(0，＋∞)上的增函数， 所以解得＜x＜1． 所以使不等式log2(2x)＞log2(5x－3)成立的实数x的集合为． 【对点练习】❸　(1)将本例中不等式中对数的底数变为，则实数x的范围是______________． 　 [解析]　(1)因为函数y＝logx是(0，＋∞)上的减函数， 所以解得x＞1． 所以使不等式log(2x)＞log(5x－3)成立的实数x的集合{x|x＞1}． (2)不等式变为log2(2－3x)＜log2，因为函数y＝log2x是(0，＋∞)上的增函数，所以解得＜x＜．所以使不等式log2(2－3x)＜－2成立的实数x的取值范围是． 3．函数y＝logx经过点 (　　) A．(1，1)　 B．(1，0) C．(0，1)　 D．(0，0) [解析]　由对数函数y＝logx＝－log2x，又因为y＝log2x的图象过点(1，0)，所以y＝logx的图象也恒过定点(1，0)，故选B． 　 [解析]　不等式log2(2x－1)＞－1变为log2(2x－1)＞log2，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，所以2x－1＞，解得x＞． $