4.2 对数的运算新授课2026-2027学年高一上学期北大师版必修一

该高中数学课件聚焦对数的运算性质（积、商、幂的对数）及换底公式，通过回顾指数运算性质引导推导对数运算性质，构建从指数到对数的知识支架，帮助学生理解两者内在联系。 其亮点是以数学运算为核心，通过题型探究（如化简求值、换底公式应用）、误区警示（强调真数大于0）和学科素养应用（指数与对数转化），培养逻辑推理与转化能力。例如用“收拆凑”法化简对数式，换底公式统一底数计算，助力学生提升运算严谨性，教师可借系统题型与方法指导提高教学效率。

§2　对数的运算 【素养目标】 1．结合指数的运算性质推导对数运算性质．(数学运算) 2．结合教材实例了解换底公式及其推导．(数学运算) 3．能利用对数的运算性质、换底公式进行简单的化简求值．(数学运算) 【学法解读】 对数的运算性质是对数式化简、计算的工具，灵活运用它们能够简化解题过程，提高做题速度． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　对数的运算性质 知识点1 logaM＋logaN　 logaM－logaN　 nlogaM　 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？ 提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 　　　换底公式 若a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1，则有logab＝______． 知识点2 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 [解析]　由对数运算法则知，均不正确．故选ABCD． ABCD　 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 2．log62＋log63等于 (　　) A．1　　 B．2 C．5　　 D．6 [解析]　log62＋log63＝log6(2×3)＝log66＝1． A　 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 3．计算：log25·log32·log59＝_____． 2　 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 利用对数的运算性质化简求值  例 1 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　利用对数运算性质化简求值 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合为积(商)的对数，即公式逆用． (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用． (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2×lg(5×10) ＝(lg 5)2＋lg 2×(1＋lg 5) ＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 对数的运算性质的应用  例 2 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 换底公式的应用  [分析]　(1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？ (2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值． 例 3 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 误区警示 忽视真数大于零致误 　　　　解方程：log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1． 例 4 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [错因分析]　解题过程中忽视对数logaN中真数N必须大于0时对数才有意义．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义．另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [方法点拨]　在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根．故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误．也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 学科素养 例 5 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　1．应用换底公式应注意的事项 (1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用． 2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路： 思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值． 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 1．2log510＋log50.25＝ (　　) A．0　 B．1 C．2　 D．4 [解析]　原式＝log5102＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2． C　 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 2．已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则 (　　) A．a＝bc　 B．b2＝ac C．c＝ab　 D．c2＝ab [解析]　设log2a＝log3b＝log6c＝k， 则a＝2k，b＝3k，c＝6k，所以c＝ab． C　 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第四章　对数运算与对数函数 数学（必修·第一册　BSD） 条件 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 性质 loga(MN)＝_________________ loga＝_________________ logaMn＝_________(n∈R) 　 思考2：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示什么形式？ (2)你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logNnMm＝logNM吗？ 提示：(1)logab＝，logab＝． (2)logNnMm＝＝＝·＝logNM． 1．(多选题)若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子中错误的是 (　　　　) A．logax·logay＝loga(x＋y)； B．logax－logay＝loga(x－y)； C．loga＝logax÷logay； D．loga(xy)＝logax·logay． [解析]　原式＝·· ＝··＝2． 4．求下列各式的值： (1)log3(27×92)；(2)lg 5＋lg 2；(3)ln 3＋ln ；(4)log35－log315． [解析]　(1)方法一：log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7； 方法二：log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7． (2)lg 5＋lg 2＝lg(5×2)＝lg 10＝1． (3)ln 3＋ln ＝ln(3×)＝ln 1＝0． (4)log35－log315＝log3＝log3＝log33－1＝－1． 　　　　计算下列各式的值： (1)log5； (2)log2(32×42)； (3)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2． [解析]　(1)原式＝log5625＝log554＝． (2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9． (3)原式＝2 lg 5＋×3lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2 ＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 5×lg 2＋(lg 2)2 ＝2＋1－lg 2＋lg 2×(1－lg 2)＋(lg 2)2＝3． 【对点练习】❶　计算下列各式的值： (1)(2022·湖南衡阳高一期末测试)log3＋lg－lg 4； (2)(2022·江苏、苏州市高一期中测试)(lg 5)2＋lg 2×lg 50． [解析]　(1)原式＝log33＋lg ＝＋lg＝＋lg 10－1 ＝－1＝． 　　　　用logax，logay，logaz表示： (1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga． [解析]　(1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay． (2)loga(x)＝logax＋loga＝logax＋logay． (3)loga＝loga＝[logax－loga(yz2)]＝(logax－logay－2logaz)． 【对点练习】❷　用logax，logay，logaz表示下列各式： (1)loga(x3y5)；　(2)loga． [解析]　(1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay． (2)loga＝loga－loga(yz) ＝logax－(logay＋logaz) ＝logax－logay－logaz． 　　　　(1)计算log2·log3·log5； (2)若log34·log48·log8m＝log42，求m的值． [解析]　(1)原式＝·· ＝＝－12． (2)由题意，得··＝＝， ∴lg m＝lg 3，即lg m＝lg 3， ∴m＝． [归纳提升]　关于换底公式的用途和本质： (1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题． (2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法． (3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab＝；logaan＝n，logambn＝logab；lg 2＋lg 5＝1等，将会达到事半功倍的效果． 【对点练习】❸　计算下列各式的值： (1)log89·log2732； (2)log927； (3)log2·log3·log5． [解析]　(1)log89·log2732＝·＝·＝·＝． (2)log927＝＝＝＝． (3)log2·log3·log5＝log25－3·log32－5·log53－1 ＝－3log25·(－5log32)·(－log53) ＝－15··· ＝－15． [错解]　原方程变形为log2(x＋1)－log2(x＋4)＝1， ∴log2(x＋1)－log2＝1，∴log2＝log22， ∴＝2，∴x2－2x－15＝0，∴x＝－3或x＝5， 故原方程的解为x＝－3或x＝5． [正解]　∵log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1，∴log4＝1， ∴解得x＝5或x＝－3(舍去)． ∴方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝5． 转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力 　　　　(1)设3x＝4y＝36，求＋的值； (2)已知log23＝a，3b＝7，求log1256． [分析]　(1)欲求＋的值，已知3x＝36，4y＝36，由此两式怎样得到x，y，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决． (2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22，56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论loganbm＝logab，将条件中的对数式log23＝a化为指数式解答． [解析]　(1)由已知分别求出x和y， ∵3x＝36，4y＝36， ∴x＝log336，y＝log436， 由换底公式得：x＝＝，y＝＝， ∴＝log363，＝log364，∴＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1． (2)解法一：因为log23＝a，所以2a＝3．又3b＝7，故7＝(2a)b＝2ab，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2， 从而log1256＝log2a＋223＋ab＝． 解法二：因为log23＝a，所以log32＝．又3b＝7，所以log37＝b．从而 log1256＝＝＝＝＝． 3．log612－log6＝______． 　 [解析]　原式＝log612－log62 ＝log6＝log66＝． 4．计算下列各式的值： (1)2lg 5＋lg 4＋eln 2＋log2； (2)(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)． [解析]　(1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋2＋3＝2(lg 5＋lg 2)＋5＝7． (2)原式＝ ＝ ＝log23×log32＝． $