第4章 2.1 对数的运算性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) 2.1　 对数的运算性质 (教师独具内容) 课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件． 教学重点：对数的运算性质． 教学难点：对数运算性质的应用． 知识点　对数的运算性质 若a＞0，且a≠1，M ＞0，N＞0，b∈R，则对数运算具有如下运算性质： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMb＝blogaM． (1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N＋)． (2)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(M·N)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，loga＝，logaMn＝(logaM)n. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　) (2)loga(xy)＝logax·logay.(　　) (3)log2(－5)2＝2log2(－5)．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)log325－log35＝________． (2)lg 8＋3lg 5＝________． (3)计算：4lg 2＋3lg 5－lg ＝________． 答案：(1)log35　(2)3　(3)4 题型一　对数运算性质的应用 　(1)若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N＋，则下列各式： ①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga(xy)＝logax·logay；④＝loga；⑤(logax)n＝logaxn；⑥logax＝－loga；⑦＝loga；⑧loga＝－loga. 其中式子成立的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 [解析]　对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴logax·logay＝loga(x＋y)不成立；对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴logax－logay＝loga(x－y)不成立；对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3，∴loga(xy)＝logax·logay不成立；对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则＝2≠log2＝1，∴＝loga不成立；对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立；对于⑥，由于－loga＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax，所以⑥成立；对于⑦，由于loga＝logax＝logax，所以⑦成立；对于⑧，由于loga＝loga＝－loga，所以⑧成立． [答案]　A (2)化简：①； ②2log32－log3＋log38－5log53； ③log2＋log2. [解]　①原式＝ ＝＝. ②原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2)－3＝－1. ③原式＝log2(·)＝log24＝2. 【感悟提升】　利用对数运算性质解决相关问题的思路 (1)利用对数的运算性质解决问题的一般思路：①把复杂的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算性质，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值． (2)要注意一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，lg ＝－lg a等． 【跟踪训练】 1．计算： (1)lg 25＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； (2)log535－2log5＋log57－log51.8. 解：(1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2. 题型二　条件等式求值 　已知log189＝a，18b＝5，试用a，b表示log3645. [解]　∵18b＝5，∴log185＝b. 令log3645＝x，则36x＝45，两边取以18为底的对数，得 log1836x＝log1845，变形，得 xlog1836＝log18(5×9)， ∴x＝＝＝＝. 【感悟提升】　条件等式求值的技巧 (1)根据题意通常要先进行指数式与对数式的互化． (2)对等式两边取对数是一种常用的技巧，一般地说，给出的等式是以指数形式出现时，常用此法，值得一提的是，在取对数时，要注意对底数的合理选取． 【跟踪训练】 2．已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771.求lg . 解：lg ＝lg 45＝lg ＝(lg 9＋lg 10－lg 2)＝(2lg 3＋1－lg 2)＝lg 3－lg 2＋≈0.4771－0.1505＋0.5＝0.8266. 题型三　解与对数方程有关的问题 　解下列关于x的方程： (1)log5(2x＋1)＝log5(x2－2)； (2)(lg x)2＋lg x3－10＝0； (3)10(lg x)2＋xlg x＝20. [解]　(1)由log5(2x＋1)＝log5(x2－2)得2x＋1＝x2－2，即x2－2x－3＝0， 解得x＝－1或x＝3. 经检验知，当x＝－1时，2x＋1<0，x2－2<0，不满足真数大于0，舍去；当x＝3时，2x＋1>0，x2－2>0，符合题意． 故x＝3. (2)原方程整理得(lg x)2＋3lg x－10＝0，即(lg x＋5)(lg x－2)＝0，∴lg x＝－5或lg x＝2，解得x＝10－5或x＝102. (3)10(lg x)2＋xlg x＝20可化为(10lg x)lg x＋xlg x＝20，则xlg x＋xlg x＝20，∴xlg x＝10，两边同时取常用对数得(lg x)2＝1，∴lg x＝±1，解得x＝10或x＝. 【感悟提升】　 (1)解对数方程的实质是转化，通过指数式与对数式的互化、换元等方法，将对数方程转化为代数方程进行求解． (2)去掉对数符号，将原方程转化为一元二次方程后，会扩大x的取值范围，因此在解对数方程时要注意对结果进行检验． 【跟踪训练】 3．(1)方程log2(2－x)＋log2(3－x)＝log212的解x＝________． 答案：－1 解析：∵log2(2－x)＋log2(3－x)＝log212， ∴即解得x＝－1. (2)方程log2(9x－1－5)＝log2(3x－1－2)＋2的解为________． 答案：x＝2 解析：∵log2(9x－1－5)＝log2(3x－1－2)＋2， ∴log2(9x－1－5)＝log2[4(3x－1－2)]，∴9x－1－5＝4(3x－1－2)．化简为(3x)2－12·3x＋27＝0，即(3x－3)(3x－9)＝0，∴3x＝3或3x＝9，解得x＝1或x＝2.经过验证，x＝1不满足条件，舍去．∴x＝2. 1．已知a＝lg 3，b＝lg 7，则lg ＝(　　) A．a－b B．a＋b C. D. 答案：A 解析：由对数的运算性质可得，lg ＝lg 3－lg 7＝a－b. 2．2log510＋log50.25＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案：C 解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2. 3．log3＋log3＋log22＝________． 答案： 解析：log3＋log3＋log22＝log3＋log22＋log2＝0＋1＋＝. 4．若10x＝2y，则＝________． 答案：lg 2 解析：若10x＝2y，则lg 10x＝lg 2y，xlg 10＝ylg 2，＝lg 2. 5．(1)计算： 2(lg )2＋lg ·lg 5＋； (2)已知log35＝m，3n＝7，用m，n表示log3245. 解：(1)原式＝lg (2lg ＋lg 5)＋＝lg (lg 2＋lg 5)＋1－lg ＝lg ＋1－lg ＝1. (2)由3n＝7，得log37＝n，log3245＝log3(5×49)＝log35＋log372＝log35＋2log37＝m＋2n. 课后课时精练 一、选择题 1.＝(　　) A．3 B．2 C. D．1 答案：B 解析：＝＝2. 2．若2x＝5，2y＝50，则y－2x＝(　　) A．5 B．2 C．1 D. 答案：C 解析：由2x＝5，得x＝log25，由2y＝50，得y＝log250，则y－2x＝log250－2log25＝log2＝1. 3．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则＝(　　) A．4 B．2 C. D. 答案：B 解析：由已知，得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝4－2＝2. 4．已知log3x＝m，log3y＝n，则log3用m，n可表示为(　　) A.m－n B.m－n C.－ D.m－n 答案：D 解析：log3＝log3－log3＝log3x－log3(y·y)＝log3x－log3y＝m－n. 5．(多选)下列等式不成立的是(　　) A．ln e＝1 B．log31＝0 C．lg (MN)＝lg M＋lg N D．log2(－5)2＝2log2(－5) 答案：CD 解析：根据对数式的运算，可得ln e＝1，log31＝0，故A，B成立；取M＝－2，N＝－1，发现C不成立；log2(－5)2＝log252＝2log25，故D不成立．故选CD. 二、填空题 6．计算：＝________． 答案：1 解析：原式＝＝＝＝1. 7．若x＝log53，5y＝，则x＋y＝________． 答案：0 解析：由5y＝，得y＝log5，x＋y＝log53＋log5＝log51＝0. 8．若m>0，n＞0，mn＝nm，且m＝2n，则n＝________． 答案：2 解析：若mn＝nm，则nlg m＝mlg n，又m＝2n，∴nlg 2n＝2nlg n，∴lg 2＋lg n＝2lg n，∴n＝2. 三、解答题 9．若a＝lg 2，b＝lg 3，用a，b表示lg －lg . 解：解法一：lg －lg ＝2(lg 6－lg 5)－(lg 4＋lg 27－lg 5) ＝2(lg 2＋lg 3－1＋lg 2)－(2lg 2＋3lg 3－1＋lg 2) ＝4a＋2b－2－3a－3b＋1 ＝a－b－1. 解法二：lg －lg ＝lg ＝lg ＝－(lg 5＋lg 3) ＝－(1－lg 2＋lg 3) ＝lg 2－lg 3－1 ＝a－b－1. 10．计算：(1)； (2)(log62)2＋(log63)2＋3log62·. 解：(1) ＝ ＝ ＝－4. (2)(log62)2＋(log63)2＋3log62· ＝(log62)2＋(log63)2＋3log62·log6 ＝(log62)2＋(log63)2＋3log62·log6 ＝(log62)2＋(log63)2＋2log62·log63 ＝(log62＋log63)2 ＝1. 11．设3x＝4y＝36，求＋的值． 解：对等式3x＝4y＝36各边都取以6为底的对数，得log63x＝log64y＝log636， 即xlog63＝ylog64＝2， ∴＝log63，＝log62， ∴＋＝log63＋log62＝log66＝1， 即＋＝1. 12．1909年一位丹麦生物化学家提出溶液pH值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中p源自德语，意思是浓度，H代表氢离子．pH的定义式为pH＝－lg c(H＋)，c(H＋)指的是溶液中氢离子浓度．若溶液甲中氢离子浓度为31622776.60168379，溶液乙中氢离子浓度为31622.77660168.则溶液甲的pH值与溶液乙的pH值的差约为多少？ 解：由题意可知，溶液甲的pH值与溶液乙的pH值的差为 －lg 31622776.60168379＋lg 31622.77660168 ＝lg ≈lg 10－3＝－3. 9 学科网（北京）股份有限公司 $