4.2.2换底公式 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数换底公式，通过计算器仅有常用对数和自然对数键的现实问题（如计算log₂5）导入，衔接对数定义与运算性质，搭建从具体运算到公式推导的学习支架。 其亮点是以现实问题驱动培养数学眼光，通过设元证明、多方法推导发展数学思维，以规范公式表述和技巧总结强化数学语言。含推导步骤、例题及解题技巧，助力学生理解应用，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

数学北师大版 高一上 4.2.2 换底公式 有些计算器上只有常用对数键“LOG”(即“lg”)和自然对数键“LN”(即“ln”)．对一般的底数，且和，要计算 ，必须将它转换成常用对数或自然对数． 如何转换呢? 用计算器求的值 操作步骤： 设， 则5， 等式两边取常用对数： 得，所以． 用计算器中的常用对数键“LOG”算出的值: (计算器显示的数位是有限的，所以得到的结果一般是近似值)． 同理可得．这就同样可以用计算器中的自然对数键“LN”算出的值． 一般地，若，，，且，，则， 常见的有：或． 这个结论称为对数的换底公式． 注意：(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义； (2) 换底公式用于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算及证明； 你能用其他方法证明对数的换底公式吗? 证明：令，则，， 计算，故，等式两边同时取对数： ， 所以． 常用结论：①(a>0且，b>0且 ②且，，． ③且，b>0 计算：（1）；（2）；（3）（0，0，且，）． 解： 根据对数的换底公式，得 （1）； （2）； （3）． 计算：（1）； （2）． 解：根据对数的换底公式，得 （1） 计算：（1）； （2）． 解：根据对数的换底公式，得 （2） 在对数运算中,要特别注意观察对数的特点,若是同底数对数的加减运算,通常运用对数的运算性质,先将对数之间的加减运算转化为真数之间的乘除运算,然后再进行对数运算;若不是同底数对数,则要考虑使用换底公式化为同底数对数再计算. (1)已知，，试用，表示． (2)设，求的值． 解：(1)由，得． 又，则． (2)由，得，， 由换底公式得，，则． 技巧总结：(1)用已知对数表示其他对数的思路： ①统一底数：巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种问题的关键； ②分拆代换：结合对数运算法则，把所求向已知条件靠拢，巧妙代换求值． (2)指数式的连等式求值方法： 第一步：可令连等式等于k（k>0），然后将指数式用对数式表示； 第二步：由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数； 第三步：运用对数的运算性质化简求值． 计算：（1）；（2）； （3）；（4）． 解：（1）； （2）； （3） ； （4） ． 计算：（1）；（2）； （3）；（4）． 分别计算下列各式，你能得出什么结论?（1）； （2）；（3）． 解：（1）； （2））； （3） 通过观察得出结论：且，，． 设0，0，0且，，利用对数的换底公式证明：（1）;（2）． 证明：（1）； （2）． 设 是正数，且，求的值． 解：因为0，0，，所以 因为，所以， 即，所以，所以． 换底公式：一般地，若，，，且，，则． 常用结论： ①(a>0且，b>0且 ②且，，． ③且，b>0 教材第104页习题4-2A 组第6-7题． $