1.3.2空间向量运算的坐标表示同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础运算到综合应用梯度递进，适配新授课知识巩固与空间向量核心素养提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|空间向量坐标运算、模长、垂直/平行判定、中点坐标|以选择、填空为主，直接应用公式，强化运算能力与概念理解| |综合运用|向量共线、夹角、模的最值、正方体几何情境应用|结合几何模型（如正方体），培养空间观念与推理意识| |拓展提高|含参数向量夹角范围、三角形面积与高计算|探究性问题设计，提升创新意识与复杂问题解决能力|

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 一、基础巩固 1.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等于(　　) A.3 B.2 C. D.5 2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是(　　) A.1 B. C. D. 3.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C的距离为(　　) A. B. C. D. 4.已知向量a=(2,-3,0),b=(k,0,3),若a与b的夹角为120°,则实数k的值为(　　) A. B.- C.6 D.-6 5.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则m+n的值为(　　) A.0 B.-1 C.1 D.-2 7.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥b,b∥c,则|a+b|等于(　　) A.2 B. C.3 D.4 8.已知a=(-1,2,1),b=(2,0,1),则(2a+3b)·(a-b)=　　　　.  9.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为　　　　.  10.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x+y=　　　　.  11.若a=(1,2,-1),b=(-2,3,4). (1)若(ka+b)∥(a-2b),求实数k的值; (2)若(ka+b)⊥(a-2b),求实数k的值. 二、综合运用 12.(多选)已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),则下列结论正确的有(　　) A.(2a+b)∥a B.5|a|=|b| C.a⊥(5a+6b) D.a与b夹角的余弦值为 13.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是　　　　.  14.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点. (1)求证:EF⊥CF; (2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值; (3)求CE的长. 三、拓展提高 15.(多选)已知在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,t-4,3),B(2,4,t),则(　　) A.若向量,的夹角是锐角,则t的取值范围是(2,+∞) B.若向量,的夹角是钝角,则t的取值范围是(-∞,2) C.存在t∈R,使得||=2|| D.存在t∈R,使得||=2 16.已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5), C(3,2,-5). (1)求△ABC的面积; (2)求△ABC中AB边上的高. 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 一、基础巩固 1.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等于(　　) A.3 B.2 C. D.5 答案　A 解析　∵a-b+2c=(9,3,0), ∴|a-b+2c|==3. 2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是(　　) A.1 B. C. D. 答案　D 解析　ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-4=0, 解得k=. 3.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意得AB中点M, 又C(0,1,0),所以=,故M到C的距离为CM=||==. 4.已知向量a=(2,-3,0),b=(k,0,3),若a与b的夹角为120°,则实数k的值为(　　) A. B.- C.6 D.-6 答案　B 解析　由题意知,cos 120°===-, 即=,k2=39, 显然k<0,所以k=-. 5.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案　C 解析　因为=(3,4,-8),=(2,-3,1),=(5,1,-7),于是·=10-3-7=0,而||=,||=5, 所以△ABC是直角三角形. 6.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则m+n的值为(　　) A.0 B.-1 C.1 D.-2 答案　A 解析　因为=(m-1,1,m-2n-3), =(2,-2,6),由题意得∥, 所以==, 所以m=0,n=0,所以m+n=0. 7.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥b,b∥c,则|a+b|等于(　　) A.2 B. C.3 D.4 答案　C 解析　∵b∥c,∴2y=-4×1,∴y=-2, ∴b=(1,-2,1), ∵a⊥b, ∴a·b=x+1×(-2)+1=0, ∴x=1,∴a=(1,1,1), ∴a+b=(2,-1,2), ∴|a+b|==3. 8.已知a=(-1,2,1),b=(2,0,1),则(2a+3b)·(a-b)=　　　　.  答案　-4 解析　易得2a+3b=(4,4,5),a-b=(-3,2,0), 则(2a+3b)·(a-b)=4×(-3)+4×2+5×0=-4. 9.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为　　　　.  答案　 解析　∵=(0,3,3),=(-1,1,0), ∴||=3,||=, ·=0×(-1)+3×1+3×0=3, ∴cos<,>==, 又∵<,>∈[0,π], ∴<,>=. 10.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x+y=　　　　.  答案　 解析　由BP⊥平面ABC, 可得BP⊥AB,BP⊥BC,又⊥, ∴即 解得x=,y=-,z=4, ∴x+y=-=. 11.若a=(1,2,-1),b=(-2,3,4). (1)若(ka+b)∥(a-2b),求实数k的值; (2)若(ka+b)⊥(a-2b),求实数k的值. 解　∵a=(1,2,-1),b=(-2,3,4), ∴ka+b=(k-2,2k+3,-k+4), a-2b=(5,-4,-9). (1)∵(ka+b)∥(a-2b), ∴==,解得k=-. (2)∵(ka+b)⊥(a-2b), ∴(ka+b)·(a-2b)=0, 即5(k-2)-4(2k+3)-9(-k+4)=0, 解得k=. 二、综合运用 12.(多选)已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),则下列结论正确的有(　　) A.(2a+b)∥a B.5|a|=|b| C.a⊥(5a+6b) D.a与b夹角的余弦值为 答案　BC 解析　因为2a+b=(-1,2,7),a=(-2,-1,1), 而≠≠, 所以2a+b与a不共线,故A不正确; 因为|a|=,|b|=5, 所以5|a|=|b|,故B正确; 因为a·(5a+6b)=5a2+6a·b=5×(4+1+1)+6×(-6-4+5)=0, 所以a⊥(5a+6b),故C正确; 因为a·b=-5, 所以cos<a,b>==-,故D不正确. 13.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是　　　　.  答案　 解析　由已知,得b-a=(2,t,t)-(1-t,1-t,t)=(1+t,2t-1,0), ∴|b-a|===, ∴当t=时,|b-a|取最小值,最小值为. 14.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点. (1)求证:EF⊥CF; (2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值; (3)求CE的长. 解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 则D(0,0,0),E,C(0,1,0),F,G. 所以=, =,=, =. (1)证明　因为·=×+×+×0=0, 所以⊥,即EF⊥CF. (2)因为·=×1+×0+×=,||==, ||==, 所以cos<,>===.所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为. (3)CE=||==. 三、拓展提高 15.(多选)已知在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,t-4,3),B(2,4,t),则(　　) A.若向量,的夹角是锐角,则t的取值范围是(2,+∞) B.若向量,的夹角是钝角,则t的取值范围是(-∞,2) C.存在t∈R,使得||=2|| D.存在t∈R,使得||=2 答案　BC 解析　对于A,=(1,t-4,3),=(2,4,t),向量,的夹角是锐角, 则·>0且,不共线, 又·=1×2+4(t-4)+3t=7t-14>0, 解得t>2, 若,共线,设=λ(λ>0), 即解得 所以≠λ,t≠6, 综上所述,若向量,的夹角是锐角, 则t的取值范围是(2,6)∪(6,+∞),故A错误; 对于B,若向量,的夹角是钝角,则·<0且,不共线,即7t-14<0且≠λ (λ∈R),根据A中结果,有t<2,所以若向量,的夹角是钝角,则t的取值范围是(-∞,2),故B正确; 对于C,||=,||=, 因为||=2||, 所以=2, 整理得3t2-32t+84=0, Δ=(-32)2-4×3×84=16>0, 所以存在t∈R,使得||=2||,故C正确; 对于D,=(1,8-t,t-3),因为||=2,即||==2, 整理得t2-11t+35=0,Δ=(-11)2-4×1×35=-19<0,所以不存在t∈R,使得||=2,故D错误. 16.已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5), C(3,2,-5). (1)求△ABC的面积; (2)求△ABC中AB边上的高. 解　(1)由已知,得=(1,-3,2), =(2,0,-8), ∴||==, ||==2, ·=1×2+(-3)×0+2×(-8) =-14, ∴cos<,>===, ∴sin<,>==. ∴S△ABC=||||sin<,> =××2×=3. (2)设AB边上的高为CD,则||=||·sin<,>=3,即△ABC中AB边上的高为3. 学科网（北京）股份有限公司 $