山东济南市钢城区2025-2026学年度下学期期末诊断性评价八年级数学试题

**基本信息** 八年级下学期期末数学卷，以秦九韶《数书九章》历史情境、露营销售等真实问题为载体，融合方程、函数、几何等核心知识，考查抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|一元二次方程定义、三角函数、反比例函数图像|基础概念辨析，如第3题反比例函数图像点的特征| |填空题|5/20|代数式求值、解直角三角形、平行四边形面积|几何与代数结合，如13题热气球测量楼高| |解答题|10/90|方程求解、几何证明、函数应用、旋转探究|分层设计，21题露营利润模型、25题旋转综合实践，考查推理与创新|

2025-2026学年度下学期期末诊断性评价 八年级数学试题答案 一、选择题 5 9 10 A 0 B D 一、填空题 1 11.3 12.2 13.200W3 14.7015.36 三、解答题 16.(7分) (1)tan 300 cos 300-sin 600 -5x55: 322 …2 13 Γ24 …3 2m60-5-2斗-(r-31④+(-分 =V5+5-2-1+4 …………6 =23+1 ……7 17.(7分) (1)x2-6x-7=0: 解：x+1)(x-7)=0 …2 x1=-1,x2=7 .3 (2)2x2-6x-3=0: 解：a=2,b=-6,c=-3 ……4 x=-b±VB2-4ac 2a x=6±V-62-4x2x(-3) 2×2 5 书=3+G 3-5 2= 2 7 18.(7分) (1)证明：，∠AED=∠C,∠A=∠A, ∴.△AED∽△ACB: 3 (2),△AED∽△ACB, AEAD ..AC AB 5 AB=9,AD=6,AC-7, AE 6 .79 AF=14 3 .7 19.(8分) (1)解：如图，△AB,C即为所求： ……4 6 4 B 43-2-1 456 B 3 A (2)1:4 .6 (3)14 ………8 20.(8分) (1)证明：a=1,b=m+4,c=m :△=b2-4ac =(+4)2一4m =n2+4m+16 =(m+2}+12 .(H2》2≥0 :(m+2)2+12>0 .方程总有两个不相等的实数根。…3 (2)解：+书=--4,3=m .5 :一1m-4+m=m-4m m=2 ……8 21.(9分) 200-x×20 解：(1) 10 .4 (2)设该款帐篷每套涨价x元， 40+x(200-X×20)=9000 根据题意得 10 .6 解得七1=10，七2=50 …8 因为最大限度让利于消费者，所以涨价10元。 .9 答：该款帐篷每套应涨价10元. 22.(10分) (1)解：设CE、OF交于点H,设EH=x米。 3 在Rt△F亚中，∠EF=30°，亚=x.tan30°=3 …………1 在Rt△OHE中，∠HOE=30°，OE=2x。 …2 OH 30*3 c0s300= 30+x-3 x=15V3 在Rt△OHE中，∠HOE=30, OE 2x 2, ……3 0B=2x=30W3≈51.9m 答：0E的长为51.9m。 …………4 (2)求楼AB与CD之间的距离AC 解：过O点做OM⊥AC,交AC于点M。 由(1)知，点0到楼CD的水平距离为45m,即CM=45m.5 OM 在RIA OMA中，OM=80m,∠A0=70°。AM=tan700≈29.09m。8 总距离AC=AM+CM=29.09+45=74.09m。 精确到0.1米，得74.1m。 答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为74.1米。 …10 23.(10分) (1)解：水温上升时，即当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为y=x+b, 〔7k+b=100 [k=10 由图像可得： b=30 ,解得： b=30 y关于x的函数关系式为y=10x+30 ……2 J= 水温下降时，即当x>7时，设y关于x的函数关系式为x, 100=迎 由图像可得： 7,解得：m=700, 少÷700 y关于x的函数关系式为x; ………4 (2)解：当y=50℃时，50=10x+30,解得x=2: 50=700 x,解得x=14: .在一个循环内水温高于50℃的时间为14-2=12（分钟)；.8 (3)解：由题意可得，当y=80℃时，80=10x+30,解得：x=5, .40-5=35,即8：35开机接通电源比较合适， .10 24.(1)解：将4(4,2)代入直线y=-2x+b得， -2×(4)+b=2 解得，b=6, …………1 k 再将4(42)代入=得，k=4x2=8 2 [y=-2x-6 {8 联立1yx得：22+6x-8=0 解得：=4（舍去），=1 B1,8): …3 (2)作点E关于x轴的对称点E',点E的坐标为(0，-6)，其关于x轴的对称点E'的坐标为(0,6)。 根据轴对称性质，PE=PE,所以PE+PB=PE+PB。当E'、P、B三点在一条直线上 时，PE+PB的值最小，最小值为线段EB的长度。 .………4 EB=V1-02+(-8-62=:V197 .PE+PB的最小值为√197 。 ………5 设直线EB的方程为y=mx+c。将E'(0,6)和B(1,-8)代入： 6=c -8=m+c 解得c=6,1m=-14。 .直线EB的方程为y=-14x+6 ………6 3 令y=0,得0=-14x+6,解得 x= ,0 所以，点卫的坐标为 7 (3)解：如图，过C作CT∥y轴交AB于点T, ………8 8 设C(c,-c),(c〈0)，则T(c,-2c-6), ,CT=-8+2c+6 C ..S.ABC=S.ACT S.BCT …………10 =cT-(k。-x) =82*小s =30,解得91=1,6=4（舍去）， .点C的坐标为(-1,8)： 25.解：(1)CF=V5DG ……2 (2),∠CAD=∠FAG,旋转角为a, ∴.∠CAF=∠CAD-∠FAD=∠FAG-∠FAD=∠DAG .AD_AG 1 4=4= .∴.△ACF~AADG 、DG1 “CF-.F 即CF=V5DG ………6 (3)当矩形ABCD的边AD=AB时，四边形ABCD为正方形， ①如图3，当点E在线段CD上时，连接AC、AH, 图3 ”四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，且点H为正方形AEFG的对称中心， 2CD-∠EA4,怨-指-V5, :∠CAE=∠DAH, :△ACE~△ADH 器-5 2 AD-CD-=6,DE-2. :CE=6-2=4, DH=② E=212: ……9 ②如图4，当点E在线段CD延长线上时，连接AC、AH, D 图4 "四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，且点H为正方形AEFG的对称中心， 2CAD-∠EAH=459,5=铝=V2, ∠CAE=∠DAH, :△ACE~△ADH, 兴-光-号 -21 AD-CD-6,DE-2. :CE=6+2=8, DH=竖cE=4W2 …………12 综上所述，DH的长为2√2或者422025-2026学年度下学期期末诊断性评价 八年级数学试题 注意事项： 1.答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确。 2.本试题分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用 0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能 用铅笔。 4,考试结束后，由监考教师把答题卡收回。 第I卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求.） 1.下列关于x方程中是一元二次方程的是() A.x2+5x-2=0 B.3x+1=0 c.x2+1=3 D.x-5y=6 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=3,则cosB的值是（) A B 4 D. 3.若点(2,5)在反比例函数y=k的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（） A.(-2,5) B.(-5,-2) C.(2,-5) D.(-5,2) 4.一元二次方程x2+4x+7=0根的情况为（) A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根 D.只有一个实数根 5.大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图P为AB的黄金分割点(AP<BP) 如果BP的长度为6cm,那么AP的长度是()cm. A. B.V5+1 C.3 D.3V5-3 6.若4(2W、B1ym、C6三点都在函数的y=-2图象上，则2为的大小关系是() A.y3<y1<y2 B.y1<y2<y3 C.y1<y3<y2 D.无法确定 八年级数学试题（第1页共8页) 7.南宋数学家秦九韶在其传世名著《数书九章》的“市易”卷中，曾探讨过商贾资本与货物周转的 增值问题.书中记载，某丝绸商号在淳熙三年冬至时，用于采买生丝的本金为2000贯；至淳熙五年 冬至，因经营有方、丝价上涨，该商号的总资木增至约3200贯若设这两年间商号本金平均每年的 增长率为x,则可列方程() A.2000(1+x)-3200B.2000(1+2x)=3200C.2000(1+x)2-3200D.2000(1+x2)=3200 8.函数y= _k与)=+k(《40)在同一坐标系内的图象大致为图中的（ F (第5题图) (第9题图) (第10题图) 9.如图，在△ABC中，AC=BC-8,∠C=90°，以A点为圆心，AC长为半径作圆弧交AB于E,连接CE, 再分别以C、E为圆心，大于CE的长度为半径作弧，两弧交于点P,作射线AP交BC与点D,连接 DE,则下列说法中错误的是() A.DE=CD B.△BDE∽△BAC C.AB=AC+DE D.BD=8√2-8 IO.如图，正方形ABCD的边长为6，点E,F分别在边DC,BC上，且BF=CE,AE平分∠CAD,连 接DF,分别交AE,AC于点G,M,P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC垂足为N,连接 PM,有下列四个结论：①AE垂直平分DM;②PM+PN的最小值为3V2;③CF2=GE·AE; ④SM=6N5.其中正确的个数() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 八年级数学试题（第2页共8页） 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 1.已知号务则代微式6-巴的值为 6 12.若关于x的方程(k+2)x2-2+4x-3=0是一元二次方程，则k= 13.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球 与楼的水平距离为150m,这栋楼有多高 (结果保留根号) A (第13题图) (第14题图) (第15题图) 14.如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上的一点，连结EC,BD交于点F; 若AE:ED=3:2,△DFE的面积为8，则△BCD的面积是 15.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OC在x轴正半轴上，四边形OABC为平行四边形， 反比例函数y=的图象经过点A与边BC相交于点D,若SAABC=I5,CD=2BD,则M=一· 三、解答题（本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.计算： (1)tan30°cos30°-sin260° 2）a60-W5-2斗-6-34+(-2之2 17.解下列方程： (1)x2-6x-7=0: (2)2x2-6x-3=0: 八年级数学试题（第3页共8页） 18.如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED=∠C (1)求证：△AED∽△ACB: (2)若AB=9,AD=6,AC=7,求AE的长 B (第18题图) 19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(1,1),C(3,-2). 6 54 321 B -5-4-321 01 3.456x 5 6 (I)以原点O为位似中心，在y轴的左侧作△AB,C,使它与△ABC的相似比为2：1，点A,B,C的对 应点分别为A,B,C: (2)△ABC与△A,B,C,的面积比为， (3)△AB,C的面积是 20.关于x的一元二次方程x2+(m+4)x+m=0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若x、2是方程的两个实根，且x,+x2+xx2=m2-4m,求m的值. 八年级数学试题（第4页共8页) 21.近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长.经市场调研发现，当某款帐篷每套盈 利40元时，月销售量为200套，现对这款帐篷的销售单价进行调整，已知这款帐篷每套每涨价10元 月销售量将减少20套。 (1)若该帐篷每套涨价x元，则此时月销售量y是多少套？（用含x的代数式表示) (2)若要使这款帐篷的月销售利润达到9000元，并最大限度让利给消费者，那么该款帐篷每套应涨 价多少元？ 22.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校 “综合与实践”活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量 方案：无人机在AB,CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为8Om,此时观测到楼AB底部1 点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行30m到达点F,测得点E处 俯角为60°，其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内 (1)求0E的长； (2)求楼AB与CD之间的距离AC的长 (结果精确到0.1米)（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，√3≈1.73） 0 F 70y730° 760 (第22题图) 八年级数学试题（第5页共8页) 23.学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机.如图，楼道里的饮水机上午8：00接通电源就 进入自动程序，开机加热时，每分钟上升10℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水 温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系，直至水温降至30℃时，饮水机会再次启动加热，重复 上述自动程序.若水温为30℃时，接通电源，水温y(C)与时间x(min)的关系如图所示. Ay/C 100 2224 50 30 x/min (第23题图) (1)分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式. (2)求在一个循环内水温高于50℃的时间. (3)若饮水机早上已加满水，开机温度是30℃，为了使8：40下课时水温达到80℃及以上，并节约能 源，请通过计算写出饮水机在上午什么时候接通电源比较合适。 八年级数学试题（第6页共8页) 24.如图1，在平面直角坐标系x0y中，直线y=-2x+b与反比例函数y=冬的图象交于A4,2八、 B两点， 图1 图 (第24题图) (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标： (2)直线y=-2x+b与y轴交于点E,在x轴上找一点P,使得PE+PB最小，求P点坐标，并求出最 小值： (3)如图2：C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧，连接AC、BC,当△ABC的 面积为30时，求点C的坐标 八年级数学试题（第7页共8页） 25.(本题满分12分)综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动。 B E E G G D 图1 图2 图3 备用图 (第25题图) 【问题发现】 1 (I)如图l,在矩形ABCD中，tan∠ACD= 点F在对角线AC上，过F点分别作AB和AD的垂线，垂 足为E,G,则四边形AEFG为矩形.请问线段CF与DG的数量关系为 【拓展探究】 (2)如图2，将图1中的矩形AEFG绕点A逆时针旋转，记旋转角为a,当0°<a<180时，连接CF,DG, 在旋转的过程中，CF与DG的数量关系是否发生变化？请利用图2进行证明. 【解决问题】 (3)如图3，当矩形ABCD的边AD=AB时，点E为射线CD上异于D,C的一点，以AE为边在AE右侧作 正方形AEFG,点H为正方形AEFG的对称中心，连接DH,若AD=6,DE=2,求出DH的长， 八年级数学试题（第8页共8页) 2025-2026学年度下学期期末诊断性评价 八年级数学试题 注意事项： 1.答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确。 2.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150分，考试时间为 120分钟3.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔。 4.考试结束后，由监考教师把答题卡收回。 第Ⅰ卷(选择题40分) 一、选择题(本题共 10 小题，每小题4 分，共 40 分，每小题只有一个选项符合要求.) 1.下列关于方程中是一元二次方程的是( ) B. D. 2.在中, °, , ,则的值是( ) A. B. C. D. 3.若点(2，5)在反比例函数 的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上( ) A. (-2,5) B. (-5,-2) C. (2,-5) D. (-5,2) 4.一元二次方程 根的情况为( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 5.大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图为的黄金分割点()如果的长度为6cm,那么的长度是( ) cm. C. 3 6.若三点都在函数的 图象上,则的大小关系是( ) A. B. C. D.无法确定 八年级数学试题(第1页共8页) 学科网（北京）股份有限公司 7.南宋数学家秦九韶在其传世名著《数书九章》的“市易”卷中，曾探讨过商贾资本与货物周转的增值问题.书中记载，某丝绸商号在淳熙三年冬至时，用于采买生丝的本金为2000贯；至淳熙五年冬至，因经营有方、丝价上涨，该商号的总资本增至约3200贯.若设这两年间商号本金平均每年的增长率为，则可列方程( ) A. B. C. D. 8.函数 与在同一坐标系内的图象大致为图中的( ) 9.如图, 在中, , , 以点为圆心, 长为半径作圆弧交于, 连接,再分别以为圆心，大于 的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交与点，连接，则下列说法中错误的是 ( ) A. B. ∽ C. 10. 如图, 正方形的边长为6, 点分别在边上, 且, 平分连接,分别交于点是线段上的一个动点,过点作垂足为,连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为3 ; ③; 其中正确的个数( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 八年级数学试题(第2页 共8页) 学科网（北京）股份有限公司 第Ⅱ卷(非选择题 110分) 二、填空题(本题共5 小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分) 11. 已知 则代数式 的值为 . 12.若关于的方程 是一元二次方程，则 . 13.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为150m，这栋楼有多高 (结果保留根号). 14.如图，平行四边形中，点是边上的一点，连结EC，BD交于点F；若AE:ED=3:2, △DFE的面积为8, 则△BCD的面积是 . 15.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，在轴正半轴上，四边形为平行四边形，反比例函数 的图象经过点与边相交于点，若 , 则 . 三、解答题(本题共 10 小题，共90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 计算: 17.解下列方程： 八年级数学试题 (第3页 共 8页) 学科网（北京）股份有限公司 18.如图,在中,是上一点,是上一点, 且. (1) 求证: ≌; (2) 若求的长. 19.如图, 在平面直角坐标系中,三个顶点的坐标分别为 (1)以原点为位似中心, 在轴的左侧作, 使它与的相似比为2:1, 点的对应点分别为;(2)与的面积比为 . (3)的面积是 . 20.关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个实根，且 求的值. 八年级数学试题(第4页 共 8页) 学科网（北京）股份有限公司 21.近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长.经市场调研发现，当某款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套.现对这款帐篷的销售单价进行调整，已知这款帐篷每套每涨价10元，月销售量将减少20套。 (1)若该帐篷每套涨价x元，则此时月销售量y是多少套?(用含的代数式表示) (2)若要使这款帐篷的月销售利润达到9000价元，并最大限度让利给消费者，那么该款帐篷每套应涨多少元? 22.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点处，点距地面的高度为80m，此时观测到楼底部点处的俯角为70°，楼上点处的俯角为30°，沿水平方向由点飞行30m到达点，测得点处俯角为60°,其中点均在同一竖直平面内. (1)求的长； (2)求楼与之间的距离的长. (结果精确到0.1米) (参考数据: sin70°≈0.94, cos70°≈0.34, tan70°≈2.75,≈1.73) 八年级数学试题(第5页 共 8页) 学科网（北京）股份有限公司 23.学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机.如图，楼道里的饮水机上午8：00接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升10℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系，直至水温降至30℃时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序.若水温为30℃时，接通电源，水温(℃)与时间(min)的关系如图所示. (1)分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式. (2)求在一个循环内水温高于50℃的时间. (3)若饮水机早上已加满水，开机温度是30℃，为了使8：40下课时水温达到及以上，并节约能源，请通过计算写出饮水机在上午什么时候接通电源比较合适。 八年级数学试题(第6页 共 8页) 学科网（北京）股份有限公司 24.如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数 的图象交于两点.. (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2：为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接，当的面积为30时，求点的坐标. 八年级数学试题(第7页 共8页) 学科网（北京）股份有限公司 25.(本题满分12分)综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动。 【问题发现】 (1)如图1, 在矩形中, 点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，则四边形为矩形.请问线段与的数量关系为 . 【拓展探究】 (2)如图2, 将图1中的矩形绕点逆时针旋转, 记旋转角为, 当时, 连接在旋转的过程中，与的数量关系是否发生变化?请利用图2进行证明. 【解决问题】 (3)如图3, 当矩形的边时, 点为射线上异于的一点, 以为边在右侧作正方形,点为正方形的对称中心,连接, 若, 求出的长. 八年级数学试题(第8页 共8页) 学科网（北京）股份有限公司 $