2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系及解法，通过概念辨析（如“x²+1/x<0是否为一元二次不等式”）和“明辨是非”衔接函数与方程知识，以表格对应关系为支架构建三者联系。 其亮点在于融合直观想象（函数图象与解集关系）、逻辑推理（含参数不等式分类讨论）、数学运算（一题多变与即学即练），通过“解题有招”总结步骤，典例“(ax-1)(x-1)>0(a>0)”分类讨论强化思维。学生能深化知识联系，教师可高效落实核心素养。

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 【学习目标】 1.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式.(直观想象、逻辑推理) 2.会利用分类讨论思想解含简单参数的一元二次不等式.(逻辑推理、数学运算) 3.理解一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式之间的关系,并能解决相应的问题.(逻辑推理) 一、一元二次不等式的概念 一般地,把只含有_____未知数,并且未知数的最高次数是__的不等式,称为 一元二次不等式. [思考] 1.不等式x2+<0是一元二次不等式吗? 提示:不是. 一个 2 二、一元二次不等式的解法 1.二次函数的零点 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),我们把使___________的实数x叫做 二次函数y=ax2+bx+c的零点. ax2+bx+c=0 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 x1,2= x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ______________ __ ax2+bx+c<0(a>0)的解集 ___________ __ __ {x|x<x1,或x>x2} R {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ [思考] 2.当Δ>0时,y=ax2+bx+c(a>0)的图象与方程ax2+bx+c=0的实数根、不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的解集之间有什么关系? 提示:当Δ>0时,y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点的横坐标x1,x2是ax2+bx+c=0的两个根,也是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的解集的区域端点. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)不等式ax2+2x>0是一元二次不等式.( ) 提示:当a≠0时,ax2+2x>0是一元二次不等式. (2)函数y=x2-4x+4的零点是(2,0).( ) 提示:函数y=x2-4x+4的零点是2. (3)若y=ax2+bx+c(a>0)的两个零点分别为1,2,则ax2+bx+c<0的解集为.( ) (4)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( ) 提示:当a>0时,解集为R;当a<0时,解集为⌀. × × √ × 类型1 解一元二次不等式(数学运算) 【典例1】(一题多变) [母题](2025·六安高一检测)不等式x2-x-2<0的解集是(　　) A.{x|-1<x<2} B.{x|x<-1或x>2} C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-2<x<1} 【解析】选A.因为方程x2-x-2=0的解为x1=-1,x2=2,结合二次函数y=x2-x-2的图象(图略),得不等式x2-x-2<0的解集是{x|-1<x<2}. √ [变式1]若把母题中不等式改为“x2-x+2<0”,求不等式的解集. 【解析】因为方程x2-x+2=0无解,结合二次函数y=x2-x+2的图象(图略),得不等式x2-x+2<0的解集是⌀. [变式2]若把母题中不等式改为“-x2+x+2<0”,求不等式的解集. 【解析】原不等式可化为x2-x-2>0,因为方程x2-x-2=0的解为x1=-1,x2=2,结合二次函数y=x2-x-2的图象(图略),得x2-x-2>0的解集是{x|x<-1或x>2}. 【解题有招】 解一元二次不等式的一般方法和步骤 【即学即练】 (2026·滨海高一检测)求下列不等式的解集. (1)x2-5x-6>0; (2)-2x2+7x+9>0; (3)9x2-6x+1>0; 【解析】(1)由x2-5x-6>0得(x+1)(x-6)>0,解得x<-1或x>6. 故原不等式的解集为. (2)原不等式即为2x2-7x-9<0, 即(x+1)(2x-9)<0,解得-1<x<, 故原不等式的解集为. (3)原不等式即为(3x-1)2>0,解得x≠, 故原不等式的解集为. 类型2 解含参数的一元二次不等式(数学运算) 【典例2】(易错·对对碰)解下列关于x的不等式: (1)(ax-1)(x-1)>0(a>0). (2)(ax-1)(x+1)>0(a<0). 【解析】(1)因为a>0,所以原不等式可化为(x-)(x-1)>0,方程(x-)(x-1)=0的两根分别为x1=,x2=1. ①当0<a<1时,因为>1,所以解得x<1或x>; ②当a=1时,原不等式即为(x-1)2>0,解得x≠1; ③当a>1时,因为<1,所以x<或x>1. 综上可知:当0<a<1时,解集为{x|x<1或x>}; 当a=1时,解集为;当a>1时,解集为. (2)因为a<0,所以原不等式可化为(x-)(x+1)<0,所以方程(x-)(x+1)=0的两根分别为x1=,x2=-1. ①当-1<a<0时,因为<-1,所以解得<x<-1; ②当a=-1时,原不等式即为(x+1)2<0,解集为⌀; ③当a<-1时,因为>-1,所以解得-1<x<. 综上可知:当a<-1时,解集为; 当a=-1时,解集为⌀;当-1<a<0时,解集为. 【解题有招】 解含参数的一元二次不等式的策略 在解含参数的一元二次不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑: (1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0). (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1<x2. 【即学即练】 (2026·长春高一检测)解关于x的不等式:ax2+x-a+1>0(a≠0). 【解析】ax2+x-a+1>0,即(x+1)(ax-a+1)>0, 若a<0时,原不等式等价于(x+1)(x-1+)<0,解得-1<x<1-. 若a>0时,原不等式等价于(x+1)(x-1+)>0. ①当0<a<时,1-<-1,解(x+1)(x-1+)>0得x<1-或x>-1. ②当a=时,1-=-1,解(x+1)2>0得x≠-1. ③当a>时,-1<1-,解(x+1)(x-1+)>0,得x<-1或x>1-. 综上所述,当a<0时,解集为{x|-1<x<1-}; 当0<a<时,解集为{x|x<1-或x>-1}; 当a=时,解集为{x|x≠-1}; 当a>时,解集为{x|x<-1或x>1-}. 类型3 “三个二次”之间的关系及应用(逻辑推理) 【典例3】(多选)(2026·三亚高一检测)若函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,且与x轴的两个交点是A(-1,0),B(2,0),则下列结论正确的是(　　) A.2b-c=0 B.a+b+c>0 C.不等式cx2-bx+a≤0的解集是 D.不等式cx2-bx+a>0的解集是 √ √ √ 【解析】选ABC.依题意,方程ax2+bx+c=0的两根是-1,2,且a<0, 即方程x2+x+=0的两根是-1,2,所以,联立可得2b-c=0,A正确, 因为a<0,-1<1<2,所以对于y=ax2+bx+c,当x=1时,a+b+c>0,B正确; cx2-bx+a≤0等价于x2-x+1≥0, 即2x2-x-1≤0⇔(2x+1)(x-1)≤0,解得-≤x≤1,C正确; cx2-bx+a>0等价于(2x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-,D错误. 【解题有招】 三个“二次”之间的关系   提醒:易因为忽视二次项系数的符号和不等号的方向而写错不等式的解集. 【即学即练】 若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-4<x<3},则有(　　) A.a>0且函数y=ax2-x-c的零点为-4,3 B.a>0且函数y=ax2-x-c的零点为3,4 C.a<0且函数y=ax2-x-c的零点为-4,3 D.a<0且函数y=ax2-x-c的零点为3,4 【解析】选C.因为不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-4<x<3}, 所以-4,3是方程ax2-x-c=0的两个根,即-4,3是函数y=ax2-x-c的零点, 所以-4+3=,-4×3=-,所以a=-1,c=-12,即a<0. √ $