3.3 第2课时 指数函数的图象和性质的综合应用课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数图象和性质的综合应用，涵盖比较幂的大小、指数型函数性质及图象变换等核心内容，通过基础自测题衔接前期单调性、图象特征知识，为复合函数性质探究搭建学习支架。 其亮点在于以题型探究为载体，结合数学思维的推理能力和数学眼光的几何直观，如比较幂的大小用中间值法，复合函数单调性分析用定义法与复合法则，图象变换问题强化平移对称技巧。这帮助学生提升综合应用能力，也为教师提供系统的题型与方法总结，便于高效教学。

§3　指数函数 第2课时　指数函数的图象和性质的综合应用 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　比较幂的大小 比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断．也可利用幂函数的性质． (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 知识点1 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 　　　有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域 形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域． 求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论． 求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域． 知识点2 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） (2)判断复合函数的单调性 令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数． (3)研究函数的奇偶性 一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性． 二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 B　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 2．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为 (　　) A．3 000×1.06×7元　 B．3 000×1.067元 C．3 000×1.06×8元　 D．3 000×1.068元 [解析]　由题意知，2021年底该地区农民人均收入为3 000×(1＋6%)7＝3 000×1.067，故选B． B　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　按规律，C1，C2，C3，C4的底数a依次增大，故选D． D　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） m＜n　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 比较数的大小  　　　　(1)已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是 (　　) A．b＞a＞c　 B．c＞a＞b C．c＞b＞a　 D．a＞b＞c 例 1 B　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） B　 C　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　(1)中间值法：当要比较的数底数、指数均不同时，要考虑将1，0等作为中间值进行比较； (2)利用幂函数：对于底数不同，指数相同的数，可以利用对应的幂函数的单调性进行比较． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） D　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 指数函数图象的应用  　　　　(1)若函数f(x)＝2ax＋m－n(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(－1，4)，则m＋n＝ (　　) A．3　 B．1 C．－1　 D．－2 (2)要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为 (　　) A．t≤－1　 B．t＜－1 C．t≤－3　 D．t≥－3 例 2 C　 C　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　(1)因为函数的图象恒过点(－1，4)，所以m－1＝0且2·am－1－n＝4，解得m＝1，n＝－2所以m＋n＝－1． (2)指数函数y＝3x过定点(0，1)， 函数g(x)＝3x＋1＋t过定点(0，3＋t)且为增函数， 要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限， 只须函数g(x)＝3x＋1＋t与y轴的交点的纵坐标不大于0即可，如图所示． 即图象不过第二象限，则3＋t≤0，所以t≤－3，则t的取值范围为：t≤－3． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　与指数函数相关的图象问题 1．定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可． 2．平移问题：对于横坐标x满足“加左减右”． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 3．底数大小：对于y＝a，y＝a，y＝a，y＝a，如图，0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） C　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 指数型函数的单调性  [分析]　此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可根据复合函数的单调性对其讨论． 例 3 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　(1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]单调性． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❸　求函数f(x)＝2x2－6x＋17的定义域、值域、单调区间． [解析]　函数f(x)的定义域为R．令t＝x2－6x＋17，则y＝2t．∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在(－∞，3)上是减函数，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在(－∞，3)上为减函数．又∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在[3，＋∞)上为增函数，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在[3，＋∞)为增函数．∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴f(x)＝2x2－6x＋17≥28＝256，∴函数f(x)的值域为[256，＋∞)． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型四 指数型复合函数的奇偶性  　　　　设函数f(x)＝kax－a－x(a＞0，且a≠1)是定义在R上的奇函数． (1)求k的值； (2)若f(1)＞0，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)＞0的解集． 例 4 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，求解时一般利用函数奇偶性的定义． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） C　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 学科素养 数形结合思想的应用——图形变换技巧 1．平移变换 当m＞0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 2．对称(翻折)变换 y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于x轴上方的部分不变，而将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 　　　　画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的． (1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝－2x；(4)y＝2|x|； (5)y＝|2x－1|；(6)y＝－2－x． [分析]　用描点法作出图象，然后根据图象判断． 例 5 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　如图所示． (1)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到的． (2)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到的． (3)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称． (4)y＝2|x|的图象是由y＝2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的． (5)y＝|2x－1|的图象是由y＝2x的图象向下平移1个单位，然后将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的． (6)y＝－2－x的图象与y＝2x的图象关于原点对称． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） B　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 2．已知对于任意实数a(a＞0，且a≠1)，函数f(x)＝7＋ax－1的图象恒过点P，则点P的坐标是 (　　) A．(1，8)　 B．(1，7) C．(0，8)　 D．(8，0) [解析]　在函数f(x)＝7＋ax－1(a＞0，且a≠1)中，当x＝1时，f(1)＝7＋a0＝8．所以函数f(x)＝7＋ax－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P(1，8)．故选A． A　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 3．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为 (　　) A．a＞b＞c　 B．b＞a＞c C．c＞a＞b　 D．b＞c＞a B　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 4．若函数y＝ax＋(b－1)(a＞0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有 (　　) A．a＞1且b＜1　 B．0＜a＜1且b≤1 C．0＜a＜1且b＞0　 D．a＞1且b≤0 [解析]　由函数图象不过第二象限知a＞1，且x＝0时，a0＋(b－1)≤0，∴b≤0，故选D． D　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 1．已知＞，则a，b的大小关系是 (　　) A．1＞a＞b＞0　　　 B．a＜b C．a＞b　 D．1＞b＞a＞0 [解析]　因为y＝在(0，＋∞)上是单调递减函数，＞，所以a＜b，故选B． 3．如图所示是指数函数的图象，已知a的值取，，，，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a依次为 　　　(　　) A．，，，　 B．，，， C．，，，　 D．，，， 4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为__________． [解析]　∵a＝∈(0，1)， ∴f(x)＝ax为减函数，故由am＞an，解得m＜n． (2)(2021·永州高一检测)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则 (　　) A．a＞c＞b　 B．a＞b＞c C．c＞a＞b　 D．b＞c＞a (3)如果＜＜＜1，那么 (　　) A．aa＜ab＜ba　 B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba　 D．ab＜ba＜aa [解析]　(1)因为指数函数y＝0.8x在R上是减函数，所以1＞0.80.7＞0.80.9．因为指数函数y＝1.2x在R上是增函数，所以1.20.8＞1．综上可得c＞a＞b． (2)0.30.3＞0.30.4，即b＞c． 而＝＝＞1，即a＞b，所以a＞b＞c． (3)函数f(x)＝在R上是减函数，且＜＜＜1，所以1＞b＞a＞0，所以ab＜aa＜ba． 【对点练习】❶　若0＜x＜1，则2x，，0.2x之间的大小关系是 (　　) A．2x＜0.2x＜　 B．2x＜＜0.2x C．＜0.2x＜2x　 D．0.2x＜＜2x [解析]　由指数函数性质可知，当0＜x＜1时，2x＞20＝1，＜＝1，而y＝0.2x与y＝在0＜x＜1时，y＝0.2x在y＝图象的下方，故0.2x＜＜2x．故选D． 【对点练习】❷　函数y＝f(x)＝(a＞1)的图象的大致形状是 (　　) [解析]　f(x)是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f(x)＝所以x＞0时，图象与y＝ax在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y＝ax的图象关于x轴对称． 　　　　讨论函数f(x)＝的单调性，并求其值域． [解析]　解法一：∵函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， 设x1、x2∈(－∞，＋∞)且有x1＜x2， ∴f(x2)＝，f(x1)＝．＝ ＝＝． (1)当x1＜x2≤1，x1＋x2＜2，即有x1＋x2－2＜0． 又∵x2－x1＞0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)＜0，则知＞1．又对于x∈R，f(x)＞0恒成立． ∴f(x2)＞f(x1)．∴函数f(x)在(－∞，1]上单调递增． (2)当1≤x1＜x2时，x1＋x2＞2，即有x1＋x2－2＞0． 又∵x2－x1＞0，∴(x2－x1)(x1＋x2－2)＞0，则知0＜＜1， ∴f(x2)＜f(x1)．∴函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减． 综上，函数f(x)在区间(－∞，1]上是增函数；在区间[1，＋∞)上是减函数． ∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，0＜＜1，∴0＜≤＝3．∴函数f(x)的值域为(0，3]． 解法二：∵函数f(x)的定义域为R，令u＝x2－2x，则g(u)＝． ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1，在(－∞，1)上是减函数，g(u)＝在其定义域内是减函数， ∴函数f(x)在(－∞，1]内为增函数． 又g(u)＝在其定义域内为减函数，而u＝x2－2x＝(x－1)2－1在[1，＋∞)上是增函数． ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数．求值域同解法一． [解析]　(1)方法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0，即k－1＝0，∴k＝1． 当k＝1时，f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)， 故k＝1符合题意． 方法二：∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)在定义域R上恒成立， ∴解得k＝1． (2)∵f(1)＝a－＞0，又a＞0，且a≠1，∴a＞1． ∴y＝ax，y＝－a－x都是R上的增函数， ∴f(x)是R上的增函数． 故f(x2＋2x)＋f(4－x2)＞0⇔f(x2＋2x)＞－f(4－x2)＝f(x2－4)⇔x2＋2x＞x2－4⇔x＞－2． ∴f(x)在R上单调递增，且不等式的解集为{x|x＞－2}． 【对点练习】❹　f(x)＝＋是偶函数，则a＝ (　　) A．1　 B．－1 C．±1　 D．2 [解析]　依题意，对一切x∈R，有f(－x)＝f(x)， 即＋a·2x＝＋． ∴＝0对一切x∈R成立， 则a－＝0，∴a＝±1． 1．若a＝0.5，b＝0.5，c＝0.5，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c　　　　 B．a＜b＜c C．a＜c＜b　 D．b＜c＜a [解析]　∵函数y＝0.5x是R上的减函数，又∵＞＞，∴a＜b＜c，故选B． [解析]　a＝30.2＜31＝3，b＝0.2－3＝53＝125， c＝(－3)0.2＝(－3)＜0， ∴b＞a＞c． 5．已知函数f(x)＝＋a为奇函数，则a的值为________． －　 [解析]　解法一：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0， 即＋a＋＋a＝0， ∴2a＝－－＝－＝－1，∴a＝－． 解法二：f(0)＝＋a＝＋a， 又f(0)＝0，∴a＝－． $