第三章 3.2 指数函数的图象和性质(二)-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

指数函数的图象和性质(二) 学习目标 1.掌握指数函数的性质，培养逻辑推理的核心素养.　2.学会用指数函数的性质解决求函数的定义域、值域以及与单调性有关的问题，培养数学运算的核心素养. 任务一　指数函数的性质 问题.结合指数函数y＝2x，y＝3x，y＝，y＝的图象，类比研究幂函数性质的方法，函数y＝ax(a＞0，且a≠1) 有什么性质呢？ 提示：可以从函数的定义域、值域、单调性、图象的变化特征等方面考虑. 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质 图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 过定点(0，1)，即当x＝0时，y＝1 当x＜0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1 当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 在R上是增函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在R上是减函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 函数y＝ax和y＝(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反 [微思考]　指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的底数a对图象有哪些影响？ 提示：底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的增减性：a＞1时，图象单调递增；0＜a＜1时，图象单调递减. 底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越小，函数图象越靠近x轴；底数越大，函数图象越靠近y轴. 角度1　比较大小 (链教材P85例1，P88例3，P90例5)比较下列各题中两个数的大小： (1)1.40.3与1.40.4；(2)0.31.4与0.31.5；(3)a－3.14与(a＞0且a≠1)；(4)1.20.3和0.81.2. 解：(1)因为函数y＝1.4x在R上是增函数，且0.3＜0.4，所以1.40.3＜1.40.4. (2)因为函数y＝0.3x在R上是减函数，且1.4＜1.5，所以0.31.4＞0.31.5. (3)当a＞1时，因为函数y＝ax在R上是增函数，且－3.14＞－π，故a－3.14＞a－π＝. 当0＜a＜1时，因为函数y＝ax在R上是减函数，且－3.14＞－π，故a－3.14＜a－π＝. (4)由指数函数的性质，1.20.3＞1.20＝1，又0.81.2＜0.80＝1，所以1.20.3＞0.81.2. 比较幂值大小的三种类型及处理方法 对点练1.(1)(多选题)下列判断正确的有(　　) A.＞ B.20.3＜20.5 C.π2＞ D.0.70.8＜0.70.7 答案：BCD 解析：因为函数y＝在R上是减函数，且－1.4＞－2.1，所以＜，故A不正确；因为函数y＝2x在R上是增函数，且0.3＜0.5，所以20.3＜20.5，故B正确；因为函数y＝πx在R上是增函数，且2＞，所以π2＞，故C正确；因为函数y＝0.7x在R上是减函数，0.8＞0.7，所以0.70.8＜0.70.7，故D正确.故选BCD. 学生用书⬇第93页 (2)比较下列各题中两个幂的值的大小： ①(2.3，(2.4； ②(，(； ③(－0.31，0.3. 解：①因为y＝是(0，＋∞)上的增函数，且2.3＜2.4，所以(2.3＜(2.4. ②因为y＝是(0，＋∞)上的减函数，且＜，所以(＞(. ③因为y＝为偶函数，且是(0，＋∞)上的增函数，而｜－0.31｜＜｜0.35｜，所以(－0.31＜0.3. 角度2　解简单的指数不等式 (链教材P85例2)解下列不等式： (1)＜32x； (2)≤； (3)＜ax＋6(a＞0，且a≠1). 解：(1)因为函数y＝3x在R上是增函数， 所以x2－2x＋3＜2x， 即x2－4x＋3＜0，解得1＜x＜3， 所以原不等式的解集为{x｜1＜x＜3}. (2)因为＝， 所以原不等式等价于≤， 因为函数y＝在R上是减函数，所以解得x≥16， 所以原不等式的解集为{x｜x≥16}. (3)当0＜a＜1时，因为函数f(x)＝ax在R上是减函数， 则不等式＜ax＋6化为x2－3x＋1＞x＋6，即x2－4x－5＞0，解得x＜－1或x＞5； 当a＞1时，因为函数f(x)＝ax在R上是增函数， 则不等式＜ax＋6化为x2－3x＋1＜x＋6，即x2－4x－5＜0，解得－1＜x＜5， 综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x｜x＜－1，或x＞5}； 当a＞1时，原不等式的解集为. 指数型不等式的解法 1.指数型不等式af(x)＞(a＞0，且a≠1)的解法：当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x). 2.如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝ (a＞0，且a≠1)等.再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响. 对点练2.(1)不等式＞16的解集为(　　) A. B.∪ C.∪ D. (2)集合A＝{x｜y＝}，则集合A中实数x的取值范围为　　　　. 答案：(1)B　(2)[－3，＋∞) 解析：(1)由不等式＞16等价于＞24，可得＞4，所以2x＋1＜－4或2x＋1＞4，解得x＜－或x＞，所以不等式＞16的解集为∪.故选B. (2)由题意得4x－≥0，所以4x≥4－3，所以x≥－3.即实数x的取值范围为[－3，＋∞). 任务二　指数型函数的定义域与值域 (链教材P88例4)求下列函数的定义域和值域： (1)y＝；(2)y＝. 解：(1)因为x应满足x－4≠0，所以x≠4， 所以定义域为{x｜x≠4，x∈R}. 因为≠0，所以≠1， 所以y＝的值域为{y｜y＞0，且y≠1}. (2)由题意知1－≥0，所以≤1＝，所以x≥0，所以定义域为{x｜x≥0，x∈R}. 因为x≥0，所以≤1. 又因为＞0， 所以0＜≤1. 所以0≤1－＜1，所以0≤y＜1， 所以此函数的值域为[0，1). 指数型函数的定义域、值域的求法 1.求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝af(x)型还是y＝f(ax)型，前者的定义域与f(x)的定义域一致，求后者的定义域时，往往转化为解指数不等式(组). 2.求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性. 对点练3.已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点. (1)求a的值； (2)求函数g(x)＝a｜x－1｜(－3≤x≤3)的值域. 解：(1)因为f(x)＝ax的图象经过点， 则a4＝4，又a＞0，所以a＝. (2)当－3≤x≤3时，－4≤x－1≤2， 则0≤≤4， 因为＞1，所以f(x)＝()x在R上是增函数， 则()0≤(≤()4， 即1≤(≤4， 所以g(x)的值域为. 学生用书⬇第94页 任务三　指数函数性质的综合应用 已知函数f(x)＝－. (1)判断f(x) 的奇偶性，并说明理由； (2)当x∈[1，2] 时，求f(x) 的值域. 解：(1)f(x)为奇函数，理由如下： 由题意知，f(x)的定义域为R，关于原点对称， 由f(x)＝－＝，得f(－x)＝－＝－＝， 所以f(x)＝－f(－x)，故f(x)为奇函数. (2)f(x)＝－，因为函数y＝2x＋1在[1，2]上是增函数， 所以函数y＝在[1，2]上是减函数，则函数y＝－在[1，2]上是增函数， 故函数f(x)在[1，2]上是增函数，且f(1)＝，f(2)＝， 所以f(x)在[1，2]上的值域为［，］. 函数性质的综合应用 1.解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解，如本题中奇偶性、单调性的应用. 2.一元二次不等式的恒成立问题，可以结合相应的一元二次函数的图象，转化为等价的条件求解，恒成立问题还可以利用分离参数，转化为最值问题求解. 对点练4.已知函数f(x)＝2x＋a·2－x是定义在R上的偶函数. (1)求a的值，并证明函数f(x)在上单调递增； (2)求函数h(x)＝f(x)＋f，x∈[0，1]的值域. 解：(1)因为函数f(x)在R上为偶函数，所以f(x)＝f(－x)， 即2x＋a·2－x＝2－x＋a·2x，(1－a)(2x－2－x)＝0恒成立， 即a＝1.所以f(x)＝2x＋2－x， 对任意的0≤x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝(＋)－(＋) ＝， 因为0≤x1＜x2，＜，＞0，－1＞0， 所以f(x1)＜f(x2)，f(x)在区间上是单调递增函数. (2)函数h(x)＝f(x)＋f＝2x＋2－x＋22x＋2－2x＝＋－2. 令t(x)＝2x＋2－x＝2x＋， 因为x∈[0，1]，所以2x∈[1，2]，所以t∈， 令φ(t)＝t2＋t－2， 故函数φ(t)在上单调递增， 当t＝2时，h(x)min＝φ(2)＝4； 当t＝时，h(x)max＝φ＝. 则函数h(x)的值域为. 任务 再现 指数函数的性质及应用 方法 提炼 单调性法、中间变量法、数形结合法、换元法、分类讨论法 易错 警示 求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax＞0；利用单调性解决问题时，易忽视对底数的讨论 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.[0，2] B.[2，4] C.(－∞，2] D.[2，＋∞) 答案：C 解析：函数f(x)＝有意义，则必有4－2x≥0，解得x≤2，所以定义域为(－∞，2].故选C. 2.函数y＝2x－1－2(x≤2)的值域为(　　) A. B.(－∞，0] C. D. 答案：C 解析：因为x≤2，那么可知x－1≤1，而函数y＝2x在R上是增函数，故有0＜2x－1≤21＝2，所以－2＜y＝2x－1－2≤0，所以函数的值域为(－2，0]，故C正确.故选C. 3.设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则y1，y2，y3的大小关系为(　　) A.y3＞y1＞y2 B.y2＞y1＞y3 C.y1＞y2＞y3 D.y1＞y3＞y2 答案：D 解析：利用幂的运算性质可得，y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝＝21.5，再由y＝2x是增函数，知y1＞y3＞y2.故选D. 4.设函数f(x)＝2x－2－x，则使得f(x2)＋f(2x－3)＜0成立的x的解集是　　　　　　. 答案：(－3，1) 解析：函数f(x)＝2x－2－x的定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，f(x)＝2x－2－x＝2x－，因为y＝2x在R上为增函数，y＝在R上为减函数，所以y＝－在R上为增函数，所以f(x)在R上为增函数，不等式f(x2)＋f(2x－3)＜0化为f(x2)＜－f(2x－3)＝f(3－2x)，即x2＜3－2x，解得－3＜x＜1，所以原不等式的解集为(－3，1). 课时分层评价26　指数函数的图象和性质(二) (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A. B.∪ C. D.∪ 答案：D 解析：函数f(x)＝解得x≥2且x≠5.则函数定义域为∪.故选D. 2.已知0.3m＞0.3n，则m，n的大小关系为(　　) A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.不能确定 答案：B 解析：函数y＝0.3x是R上的减函数，由0.3m＞0.3n，得m＜n.故选B. 3.函数y＝2｜x｜的最小值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B 解析：因为｜x｜≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，且y＝2x在R上单调递增，可得y＝2｜x｜≥20＝1，所以函数y＝2｜x｜的最小值为1.故选B. 4.函数y＝－x＋b与y＝b－x(其中b＞0，且b≠1)在同一坐标系中的图象只可能是(　　) 答案：C 解析：因为函数y＝－x＋b的图象是一条直线，函数y＝b－x的图象是一条曲线，又由k＝－1＜0，b＞0，故函数y＝－x＋b的图象过一、二、四象限，故可以排除A，B；又由C，D中函数y＝b－x的图象都是上升的，故0＜b＜1，则函数y＝－x＋b的图象与y轴的交点在点(0，1)下方.故选C. 5.已知f(x)＝3x－b(b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(4)的值为(　　) A.3 B.6 C.9 D.81 答案：C 解析：因为f(x)＝3x－b(b为常数)的图象经过点(2，1)，f(2)＝32－b＝1，所以2－b＝0，可知b＝2，所以f(x)＝3x－2，f(4)＝9，可知C正确.故选C. 6.(多选题)已知e＝2.718 28…为自然常数，π＝3.141 59…为圆周率，则(　　) A.e3＜eπ B.e3＞3π C.3e＜πe D.3e＞π3 答案：AC 解析：因为函数y＝ex是增函数，且3＜π，所以e3＜eπ，故A正确；因为函数y＝x3是增函数，且e＜3，所以e3＜33，又函数y＝3x是增函数，且3＜π，所以33＜3π，所以e3＜3π，故B错误；因为函数y＝xe在(0，＋∞)上是增函数，且3＜π，所以3e＜πe，故C正确；因为函数y＝πx是增函数，且e＜3，所以πe＜π3，所以3e＜πe＜π3，故D错误.故选AC. 7.函数f(x)＝的定义域为　　　　　　　　. 答案：{x｜－1≤x≤1，且x≠0} 解析：要使f(x)有意义，则：解得－1≤x≤1且x≠0，所以f(x)的定义域为{x｜－1≤x≤1，且x≠0}. 8.若函数f(x)＝则f(x)的值域为　　　　. 答案：∪ 解析：当x＞0时，f(x)＝2；当x≤0时，f(x)＝2x∈，故f(x)的值域为∪. 9.若函数f(x)＝在上单调递增，则实数m的最小值为　　　　. 答案：3 解析：因为f(x)＝＝作函数f(x)＝的图象如下， 结合图象可知，函数f(x)＝在[3，＋∞)上单调递增，所以m≥3，则实数m的最小值为3. 10.(10分)已知指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过点. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)＝f2(x)－2f(x)＋5在x∈上的值域. 解：(1)因为函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过点，则f(3)＝a3＝8， 解得a＝2，因此f(x)＝2x. (2)g(x)＝－2×2x＋5， 令t＝2x，因为x∈，则t∈， 令h(t)＝t2－2t＋5＝＋4， 当t∈时，函数h(t)单调递减， 此时，x∈[－1，0]， 当t∈时，函数h(t)单调递增，此时，x∈， 故当x∈时，g(x)min＝g(0)＝4， 又因为g(－1)＝＋4＝， g(2)＝＋4＝13，故g(x)max＝13， 所以函数g(x)在. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.设f(x)＝，x∈R，则f(x)是(　　) A.奇函数且在(－∞，0)上单调递减 B.偶函数且在(－∞，0)上单调递减 C.奇函数且在(0，＋∞)上单调递减 D.偶函数且在(0，＋∞)上单调递减 答案：D 解析：依题意，得x∈R，且f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数.当x＞0时，f(x)＝＝，则f(x)单调递减；当x＜0时，f(x)＝＝＝3x，则f(x)单调递增.故选D. 12.(多选题)设函数f(x)＝a－｜x｜(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　) A.f(－2)＞f(－1) B.f(－1)＞f(－2) C.f(－2)＞f(2) D.f＞f(3) 答案：AD 解析：因为f(x)＝a－｜x｜，f(2)＝4，所以a－2＝4，解得a＝(负值舍去)，则f(x)＝＝2｜x｜，易得f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(－2)＞f(－1)，f(－2)＝f(2)，f(－4)＝f(4)＞f(3)，故A，D正确，B，C错误.故选AD. 13.若函数f(x)＝当x∈时，f(x)有最小值，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(－∞，0) 解析：由指数函数和二次函数图象可得f(x)在上的图象如图所示，显然当a＜0时，f(x)≥f(0)＝1，此时f(x)有最小值；当0≤a＜1时，f(x)＞f(a)，没有最小值，所以实数a的取值范围为(－∞，0). 14.(10分)已知函数f(x)＝b·ax(a，b为常数且a＞0，且a≠1)的图象经过点A(1，27)，B(2，243). (1)试求a，b的值； (2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，0]时恒成立，求实数m的取值范围. 解：(1)由于函数f(x)的图象经过A(1，27)，B(2，243)，所以解得a＝9，b＝3. (2)原不等式＋－m≥0 即为＋－m≥0， 即m≤＋在x∈(－∞，0]时恒成立，而y＝＋在x∈(－∞，0]时单调递减， 故在x＝0时，＋有最小值为2，故m≤2. 所以实数m的取值范围是(－∞，2]. 15.(5分)(新定义)(多选题)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－π]＝－4，[1.5]＝1，已知函数f(x)＝，设g(x)＝[f(x)]，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)是奇函数 B.g(x)是奇函数 C.f(x)在R上是增函数 D.g(x)的值域是{－1，0} 答案：ACD 解析：由f(－x)＝＝＝－f(x)且x∈R，则f(x)是奇函数，故A正确；由f(x)＝1－，根据指数函数、复合函数单调性易知：f(x)在R上是增函数，故C正确；由g(1)＝[f(1)]＝［1－］＝0，g(－1)＝[f(－1)]＝［1－］＝－1，显然g(－1)≠－g(1)，故B错误；当x≥0时，1＋2x≥2，则f(x)＝1－∈[0，1)，此时g(x)＝0；当x＜0时，1＜1＋2x＜2，则f(x)＝1－∈(－1，0)，此时g(x)＝－1；所以g(x)的值域是{－1，0}，故D正确.故选ACD. 16.(15分)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝1－. (1)求函数f(x)在R上的解析式； (2)若对任意实数m，f(m)＋f(m2－t)＞0恒成立，求实数t的取值范围. 解：(1)任取x＜0，则－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－1＝， 当x＞0时，f(x)＝1－＝，而f(0)＝0符合上式， 所以函数f(x)在R上的解析式为f(x)＝. (2)任取x1，x2∈R且x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝－ ＝＝， 由x1＜x2，得＞0，＜1，＋1＞0，＋1＞0， 则f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)， 因此f(x)在R上单调递增， 而f(x)是奇函数，原不等式化为f(m)＞－f(m2－t)＝f(t－m2)， 于是m＞t－m2，即t＜m2＋m，依题意，对∀m∈R，t＜m2＋m恒成立， 而m2＋m＝(m＋)2－≥－， 当且仅当m＝－时取等号，从而t＜－， 所以实数t的取值范围为(－∞，－). 学生用书⬇第95页 学科网（北京）股份有限公司 $