第07讲 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（暑假预习培优讲义，4题型技巧4重难拓展+中考真题+提分培优）（暑假自学课）新九年级数学新教材人教版

第07讲 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 （暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 二次函数一般式化顶点式 2 知识点02 画二次函数 y=ax²+bx+c 的图象的方法 2 知识点03 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质 4 知识点04 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与系数的关系 4 剖题型·讲技巧 题型1 把二次函数的一般式化为顶点式 5 题型2 二次函数y=ax²+bx+c 的图象的平移 6 题型3 二次函数y=ax²+bx+c 的图象和性质 7 题型4 二次函数y=ax²+bx+c 的图象与系数的关系 8 释疑惑·重难拓展 题型1 函数值的大小比较 10 题型2 用待定系数法求二次函数的解析式 11 题型3 二次函数图象的对称性的应用 12 题型4 一般式二次函数综合压轴 13 知中考·真题探源 17 练好题·提分培优 21 课标要点 知识技能：理解二次函数一般式 的概念与图象特征；熟练掌握对称轴、顶点、开口、增减性、最值等核心性质；掌握三种解析式的互化方法，能根据条件灵活求解函数解析式。 数形结合：能结合函数图象分析系数的符号及代数式取值，建立图象与代数的对应关系。 运算推理：熟练运用配方法推导顶点与最值公式；掌握自变量限定区间内的最值分类讨论方法，具备含参数二次函数的基础推理能力。 应用拓展：能利用二次函数图象与性质解决平移变换、对称变换、函数值大小比较、恒成立问题等中档及培优压轴题型，提升综合解题与逻辑推理素养。 知识点01 二次函数一般式化顶点式 一般式转化为顶点式的固定推导公式，所有题型通用： 通过该公式可直接得出二次函数对称轴、顶点坐标与最值，无需重复配方。 练习 1．（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 画二次函数 y=ax²+bx+c 的图象的方法 (1) 描点法 ① 利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式； ② 确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，在对称轴两侧对称取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线. (2) 平移法 ① 利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式，明确顶点 (h，k)； ② 作出抛物线y=ax2； ③ 将抛物线 y=ax2平移，使其顶点平移到 （h，k ）处. 练习 2．（25-26九年级上·贵州黔东南·阶段检测）已知二次函数． (1)直接写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 知识点03 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质 函数  y=ax²+bx+c (a>0)  y=ax²+bx+c (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 直线  增减性 当时，y随x的增大而减小（左减）； 当时，y随x的增大而增大（右增）。 当时，y随x的增大而增大（左增）； 当时，y随x的增大而减小（右减）。 最值 当，y最小值= 当 x= 时，y最大值= 练习 3．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 知识点04 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与系数的关系 1.a的符号：开口向上a>0，开口向下a<0； 2.b的符号：依据“左同右异”，结合a的符号和对称轴位置判断； 3.c的符号：抛物线与y轴上交c>0，下交c<0，过原点c=0； 4.a+b+c的符号：令x=1，对应图象上点的纵坐标； 5.a-b+c的符号：令x=-1，对应图象上点的纵坐标； 6.2a+b的符号：对比对称轴与直线x=1的大小关系； 7.2a-b的符号：对比对称轴与直线x=-1的大小关系。 8.4a+2b+c对应的是x=2时的函数值； 9.4a-2b+c对应的是x=-2时的函数值. 练习 4．（25-26九年级上·云南怒江·期末）已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（   ） ①   ②  ③   ④ A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 题型1 把二次函数的一般式化为顶点式 【典例1-1】（24-25九年级下·广西桂林·阶段检测）用配方法将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25九年级上·山东滨州·期末）若二次函数配方后为，则h和k的值分别为______． 【变式1-1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）抛物线化成顶点式是____________． 【变式1-2】（24-25九年级上·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的最小值为________． 【变式1-3】（25-26九年级上·四川广安·期末）已知抛物线． (1)将配方成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向和对称轴； (3)当时，求的取值范围． 题型2 二次函数y=ax²+bx+c 的图象的平移 方法技巧 所有平移、对称变换，一律先化顶点式，禁止直接改动一般式a、b、c。 平移只改变顶点位置，不改变a值，抛物线形状始终不变。 逆向平移题型：已知平移后解析式，反求原解析式，口诀反向使用（左减右加、下加上减）。 【典例2-1】（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【典例2-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象可由的图象通过（    ）得到的 A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【变式2-1】（25-26九年级下·山西太原·开学考试）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为___________（用顶点式表示）． 【变式2-2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的解析式为___________． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线，点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧．若，则的取值范围为___________． 题型3 二次函数y=ax²+bx+c 的图象和性质 【典例3-1】（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【典例3-2】（25-26九年级上·福建南平·期末）已知点，为二次函数图象上的两点，若＞成立，则m的值可以为_______．（写出一个符合条件的值即可） 【变式3-1】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【变式3-2】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，抛物线与都经过轴负半轴上的点和轴上的点．点都在第二象限，且分别在上，轴，则的最大值为___________． 【变式3-3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是_____． 题型4 二次函数y=ax²+bx+c 的图象与系数的关系 方法技巧 2a+b符号判断：对比对称轴与x=1。对称轴在x=1左侧，则；右侧则，结合a的正负化简判断。 2a-b符号判断：对比对称轴与x=-1，同理推导，是填空高频难点。 特殊值速判：x=1得a+b+c，x=-1得a-b+c，x=2得4a+2b+c，无需解方程，直接看对应点高低判正负。 【典例4-1】（25-26九年级上·四川成都·自主招生）如图，已知二次函数的图像如图所示，则下列6个代数式，，，，，中其值为正的式子个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例4-2】（25-26九年级上·山东东营·期中）如图是抛物线的图象，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．（的实数） 【变式4-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，点的横坐标为4，点的横坐标在和0之间，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确结论的序号有___________． 【变式4-3】（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 题型1 函数值的大小比较 1．（25-26九年级上·天津·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南平顶山·三模）已知点，，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知点，，在抛物线的图像上，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 4．（25-26九年级上·青海海西·期末）已知点，在抛物线，若，则1，，的大小关系是________（用“＜”连接）． 题型2 用待定系数法求二次函数的解析式 5．（2026·河南平顶山·三模）二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象沿 轴方向平移，平移距离为个单位长度，当时，新函数的最大值是8，求n的值． 6.二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 7．（2026·河南信阳·一模）抛物线的图象经过点，点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)点在y轴上，过点D作x轴的平行线，与抛物线相交于P，Q两点（P在Q左侧），若点D为线段的三等分点，求d的值． (3)若点和点均为图象上的点，且，请直接写出m的取值范围． 题型3 二次函数图象的对称性的应用 8．（25-26九年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 9．（25-26九年级上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，且它的对称轴是直线． (1)求此二次函数的表达式； (2)当时，直接写出y的取值范围. 10．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 11．（25-26九年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图①，在x轴上找一点E，使得的周长最小，求点E的坐标； (3)如图②，P为直线上的动点，过点P作垂直x轴，与抛物线交于H，是否存在点使得直线把分成面积比为的两部分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型4一般式二次函数综合压轴 12．（25-26九年级上·全国·期末）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 13．（2026·天津和平·三模）已知抛物线（，，是常数，）与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，为第一象限内的抛物线上一动点． (1)若，， ①求该抛物线的顶点坐标； ②过点作轴的垂线，垂足为，交线段于点，若，求点的坐标． (2)若，是直线与抛物线的交点，若，（点在点的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为时，求点，的坐标． 14．（2026·安徽·二模）已知抛物线的对称轴在轴右侧，当时，的最小值为，最大值为． (1)求整数，的值； (2)在（1）的条件下，直线与抛物线在范围内有两个交点，点，均在抛物线上，在的左侧． ①求的取值范围； ②若，过点作轴，垂足为，交直线于点．设的面积为，的面积为，若，且，求的近似值． 15．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．直线经过，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，点，为轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点．若满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 16．（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点B在抛物线上．设其横坐标为m．点C是平面直角坐标系中异于点B的一点，其坐标是，连接，当不与坐标轴垂直时，以为斜边作 ，使轴． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当点B在抛物线对称轴左侧，且是等腰直角三角形时，求m的值； (3)当的边与抛物线有公共点时，求m的取值范围； (4)当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 17．（2026·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线（b，c为常数）上，该抛物线与y轴的交点为．点P在该抛物线上，其横坐标为m．当点P不在坐标轴上时，过点P分别向x轴与y轴作垂线，垂足分别为点M和点Q． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)当点Q在抛物线上时，求m的值． (3)当，且四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点与最低点的纵坐标的差为时，求m的值． (4)当四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小，且此抛物线的顶点在四边形的对角线所在的直线上时，直接写出m的值． 1．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A．B．C． D． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）点是抛物线的顶点，点、在抛物线上（其中）．下列结论： ①当点在轴上时，；②点在直线上；③；④当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是；⑤当点在原点时，过点的直线与抛物线交于、两点，则． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 5．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 6．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 7．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 8．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 9．（2026·湖北·中考真题）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点在直线上，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，点是抛物线上位于第四象限的点，平行于轴．当时，求点的坐标； (3)点在直线上且位于点的右上方，．过点，分别作轴和轴的垂线，四条垂线围成四边形．若四边形的边与抛物线有两个交点，，记，的纵坐标之和为． ①当点在线段上时，求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的值． 10．（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 一、单选题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南三门峡·三模）若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江温州·三模）已知二次函数的图象上有两点，，设，若，，则下列结论正确的是（     ） A．S有最大值，也有最小值 B．S有最小值，但没有最大值 C．S有最大值，但没有最小值 D．S没有最小值，也没有最大值 二、填空题 4．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 5．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知点A是二次函数对称轴左侧抛物线上一点，轴于D，以为边在右侧作正方形，其中点B在抛物线上，点C在x轴上，则点A的坐标为______． 6．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，点是函数图象上的两点，则；④．其中正确结论有____． 三、解答题 7．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 8．（2026·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 9．（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到抛物线，无论为何值，抛物线恒过，过作轴的垂线交抛物线于，两点（在的左侧），交抛物线于，两点（在的左侧），则的值存在最小值吗？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 10．（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．点在抛物线上，点的横坐标为，过点作直线的垂线，垂足为．将线段关于点中心对称得到线段（点的对称点为点），依次连接、、、得到平行四边形． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当和两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)当时，抛物线在平行四边形内部及边界的图象记为．若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为1，求的值； (4)当线段与该抛物线有两个公共点时，设两个公共点是和，当时，直接写出的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 （暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 二次函数一般式化顶点式 2 知识点02 画二次函数 y=ax²+bx+c 的图象的方法 3 知识点03 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质 4 知识点04 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与系数的关系 5 剖题型·讲技巧 题型1 把二次函数的一般式化为顶点式 6 题型2 二次函数y=ax²+bx+c 的图象的平移 8 题型3 二次函数y=ax²+bx+c 的图象和性质 10 题型4 二次函数y=ax²+bx+c 的图象与系数的关系 14 释疑惑·重难拓展 题型1 函数值的大小比较 19 题型2 用待定系数法求二次函数的解析式 22 题型3 二次函数图象的对称性的应用 26 题型4 一般式二次函数综合压轴 31 知中考·真题探源 46 练好题·提分培优 65 课标要点 知识技能：理解二次函数一般式 的概念与图象特征；熟练掌握对称轴、顶点、开口、增减性、最值等核心性质；掌握三种解析式的互化方法，能根据条件灵活求解函数解析式。 数形结合：能结合函数图象分析系数的符号及代数式取值，建立图象与代数的对应关系。 运算推理：熟练运用配方法推导顶点与最值公式；掌握自变量限定区间内的最值分类讨论方法，具备含参数二次函数的基础推理能力。 应用拓展：能利用二次函数图象与性质解决平移变换、对称变换、函数值大小比较、恒成立问题等中档及培优压轴题型，提升综合解题与逻辑推理素养。 知识点01 二次函数一般式化顶点式 一般式转化为顶点式的固定推导公式，所有题型通用： 通过该公式可直接得出二次函数对称轴、顶点坐标与最值，无需重复配方。 练习 1．（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ； 故选A. 知识点02 画二次函数 y=ax²+bx+c 的图象的方法 (1) 描点法 ① 利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式； ② 确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，在对称轴两侧对称取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线. (2) 平移法 ① 利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式，明确顶点 (h，k)； ② 作出抛物线y=ax2； ③ 将抛物线 y=ax2平移，使其顶点平移到 （h，k ）处. 练习 2．（25-26九年级上·贵州黔东南·阶段检测）已知二次函数． (1)直接写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）解：令，则， 令，则， 解得，， 所以，过，，的函数图象如图所示： 知识点03 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质 函数  y=ax²+bx+c (a>0)  y=ax²+bx+c (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 直线  增减性 当时，y随x的增大而减小（左减）； 当时，y随x的增大而增大（右增）。 当时，y随x的增大而增大（左增）； 当时，y随x的增大而减小（右减）。 最值 当，y最小值= 当 x= 时，y最大值= 练习 3．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵，， ∴，即， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，整理得， 两边平方得， 展开得， 化简得， 解得， 选项中只有满足，因此的值可能是． 知识点04 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与系数的关系 1.a的符号：开口向上a>0，开口向下a<0； 2.b的符号：依据“左同右异”，结合a的符号和对称轴位置判断； 3.c的符号：抛物线与y轴上交c>0，下交c<0，过原点c=0； 4.a+b+c的符号：令x=1，对应图象上点的纵坐标； 5.a-b+c的符号：令x=-1，对应图象上点的纵坐标； 6.2a+b的符号：对比对称轴与直线x=1的大小关系； 7.2a-b的符号：对比对称轴与直线x=-1的大小关系。 8.4a+2b+c对应的是x=2时的函数值； 9.4a-2b+c对应的是x=-2时的函数值. 练习 4．（25-26九年级上·云南怒江·期末）已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（   ） ①   ②  ③   ④ A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故①正确； ∵对称轴在y轴的右侧， ∴，故②正确； ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴，故③错误； ∵当时，， ∴，故④正确． 故选D． 题型1 把二次函数的一般式化为顶点式 【典例1-1】（24-25九年级下·广西桂林·阶段检测）用配方法将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 故选D． 【典例1-2】（24-25九年级上·山东滨州·期末）若二次函数配方后为，则h和k的值分别为______． 【答案】，． 【详解】解：， ∵二次函数配方后为， ∴h和k的值分别为，， 故答案为：，． 【变式1-1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）抛物线化成顶点式是____________． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25九年级上·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的最小值为________． 【答案】 【详解】解：， 当时，取到最小值为：， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·四川广安·期末）已知抛物线． (1)将配方成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向和对称轴； (3)当时，求的取值范围． 【详解】（1）解： （2）解：由，得， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 （3）解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，取最小值 将代入，得 将代入，得 ∵，且函数在时随着的增大而减小，在时随着的增大而增大 ∴的取值范围为． 题型2 二次函数y=ax²+bx+c 的图象的平移 方法技巧 所有平移、对称变换，一律先化顶点式，禁止直接改动一般式a、b、c。 平移只改变顶点位置，不改变a值，抛物线形状始终不变。 逆向平移题型：已知平移后解析式，反求原解析式，口诀反向使用（左减右加、下加上减）。 【典例2-1】（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 【典例2-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象可由的图象通过（    ）得到的 A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】D 【详解】解：可将二次函数转化为， 需将向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到． 故选：D． 【变式2-1】（25-26九年级下·山西太原·开学考试）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为___________（用顶点式表示）． 【答案】 【详解】解： ， 抛物线的顶点坐标为， 根据抛物线平移规律，将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 平移后的抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的解析式为． 【变式2-2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的解析式为___________． 【答案】 【详解】解：平移后的解析式为， 故答案为： 【变式2-3】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线，点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧．若，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴抛物线图象上的点离直线越远，函数值越小， ∵点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型3 二次函数y=ax²+bx+c 的图象和性质 【典例3-1】（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 【典例3-2】（25-26九年级上·福建南平·期末）已知点，为二次函数图象上的两点，若＞成立，则m的值可以为_______．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】1 【详解】解：二次函数的对称轴为，抛物线开口向上， ∴点A的横坐标，点B的横坐标， 由，得，即，简化得，解绝对值不等式， 由得，即， 由得即， ∴，m可取1， 故答案为：1． 【变式3-1】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 【变式3-2】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，抛物线与都经过轴负半轴上的点和轴上的点．点都在第二象限，且分别在上，轴，则的最大值为___________． 【答案】 【详解】解：中，令，则， 解得或， ， 过点， ， ， ， ， 轴，设， ， ∴当时，的最大值为， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，， 当时，， ∴，， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵点是抛物线上的任意一点，轴交于点， ∴， ∴，， ∵位于线段的上方， ∴，， ∵，的长度随增大而减小， ∴， ∴的取值范围是． 故答案为： 题型4 二次函数y=ax²+bx+c 的图象与系数的关系 方法技巧 2a+b符号判断：对比对称轴与x=1。对称轴在x=1左侧，则；右侧则，结合a的正负化简判断。 2a-b符号判断：对比对称轴与x=-1，同理推导，是填空高频难点。 特殊值速判：x=1得a+b+c，x=-1得a-b+c，x=2得4a+2b+c，无需解方程，直接看对应点高低判正负。 【典例4-1】（25-26九年级上·四川成都·自主招生）如图，已知二次函数的图像如图所示，则下列6个代数式，，，，，中其值为正的式子个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线交y轴的负半轴， ∴， ∴； 当时，， 即； 当时，， 即； ∵， ∴， ∴，，， 所以其值为正的式子的个数为2个． 故选：B． 【典例4-2】（25-26九年级上·山东东营·期中）如图是抛物线的图象，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．（的实数） 【答案】D 【详解】由图象可知：抛物线开口向下（），对称轴在y轴右侧（，故），与y轴交于正半轴（）． A：，乘积为负，A正确，不符合题意； B：当时，（图象中对应点在轴上方），B正确，不符合题意； C：当时，，结合对称轴，推导得，C正确，不符合题意； D：时函数取最大值，故，即，D结论错误，符合题意． 【变式4-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，点的横坐标为4，点的横坐标在和0之间，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，故， 与y轴交于正半轴，故， 对称轴在轴右侧，故， 又∵， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由题意得，当时， ， ∵点B在到之间，且在点B的左边， ∴，故B选项错误，不符合题意； 由题意得，当时， ， ∵是抛物线与x轴交点， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵点的横坐标在和0之间， ∴， ∵， ∴ ，故D选项正确，符合题意． 故选D． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确结论的序号有___________． 【答案】①③④ 【详解】解：①由图象可知：，，， ∴， ∴，故此选项正确； ②由图象可知：当时，函数值小于0，即，故此选项错误； ③由对称知，当时的函数值等于时的函数值， ∴当时，函数值大于0，即，故此选项正确； ④由图象可知：， ∴， 由对称知，当时的函数值等于时的函数值， ∴当时，函数值小于0，即， ∴，故此选项正确； ⑤由图象可知：当时，y的值最大，此时， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，故此选项错误； 故①③④正确． 故答案为：①③④． 【变式4-3】（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 【答案】①②③④ 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 题型1 函数值的大小比较 1．（25-26九年级上·天津·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数为， 对于点，， 对于点，， 对于点，， ∴，，， ∴， ∴ ． 故选：C． 2．（2026·河南平顶山·三模）已知点，，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，，则抛物线开口向上． ∵， ∴点A到对称轴的距离小于点C到对称轴的距离，即，两边平方，可得， 解得； ∵， ∴点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即， 两边平方，可得， 解得． 综上所述，m的取值范围是． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知点，，在抛物线的图像上，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【详解】解：由解析式得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越小， 对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点 到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·青海海西·期末）已知点，在抛物线，若，则1，，的大小关系是________（用“＜”连接）． 【答案】 【详解】解：∵点，在抛物线， ∴，， ∵， ∴，， 又∵， ∴． 故答案为：． 题型2 用待定系数法求二次函数的解析式 5．（2026·河南平顶山·三模）二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象沿 轴方向平移，平移距离为个单位长度，当时，新函数的最大值是8，求n的值． 【详解】（1）解：代入，得： ， 解得：， 故表达式为． （2）解：∵， ∴原函数顶点为 ， 当向左平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， ∵， ∴， ∵新函数图象开口向上， ∴时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）； ∴； 当向右平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， 而， 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：，两个值均不符合题意，舍去； 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）， 综上，满足题意的n的值为或． 6.二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 7．（2026·河南信阳·一模）抛物线的图象经过点，点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)点在y轴上，过点D作x轴的平行线，与抛物线相交于P，Q两点（P在Q左侧），若点D为线段的三等分点，求d的值． (3)若点和点均为图象上的点，且，请直接写出m的取值范围． 【详解】（1）解：设二次函数表达式为， 把，，代入得： ， 解得： 二次函数表达式为； （2）解：由（1）得， ∴抛物线对称轴为， ∵轴， ∴关于直线对称， 设，则， ∵点为线段的三等分点，且在的左侧， ∴点在之间，且， 若，则，即， 联立，解得：， 当时，， 若，则，即， 联立，解得：，与矛盾，舍去， ∴； （3）解：由点和点在图象上，可得： ，， ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围是：． 题型3 二次函数图象的对称性的应用 8．（25-26九年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴点，关于直线对称． ∴． （2）解：若，则． 当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 若，则． 当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 综上，的取值范围是或． 9．（25-26九年级上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，且它的对称轴是直线． (1)求此二次函数的表达式； (2)当时，直接写出y的取值范围. 【详解】（1）解：根据对称轴得，， ∴， ∴， 将点和点代入解析式得， 解得 ∴， ∴此二次函数的表达式为； （2）解：由得，， ∴抛物线开口向上， 当时，； 当时，； 当时，； ∴． 10．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【详解】（1）解：将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将和代入得， ，解得， ∴，，； （3）解： 由对称轴公式可得，抛物线的对称轴为直线， ∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称， 又∵点在抛物线对称轴上， ∴由轴对称的性质可得，， ∴， 当B、E、C三点共线时，最小，即最小， 将代入得， ， ∴点E的坐标为． 11．（25-26九年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图①，在x轴上找一点E，使得的周长最小，求点E的坐标； (3)如图②，P为直线上的动点，过点P作垂直x轴，与抛物线交于H，是否存在点使得直线把分成面积比为的两部分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由题意知，当时，， 解得：，， ∵点A在点B的左侧， ∴点A坐标为， 当时，， ∴点C坐标为， ∵， ∴顶点D坐标为． （2）解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴当的周长最小时，点E坐标为． （3）解：设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为， ∵点P为直线上的动点，点H在抛物线上， ∴设点P坐标为， ∵轴， ∴设点H坐标为， 如图，设直线与交于点M，将代入得， ∴，， ①当时： 则，即， 整理得：，解得，， ∵时，点P与点A重合，故舍去， ∴点P坐标为； ②当时： 则，即， 整理得：，解得，， ∵时，点P与点A重合，故舍去， ∴点P坐标为， 综上所述，点P坐标为或． 题型4一般式二次函数综合压轴 12．（25-26九年级上·全国·期末）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【详解】（1）解；点的坐标为， 则点, 由题意得，解得；, 则抛物线的表达式为；; （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 理由；为最小， ∵抛物线的对称轴为直线，点B的坐标为， ∴点， 设过点的直线为， ，解得， 直线的表达式为， 当时，， 即点； （3）如图2所示；过点作轴，交于点， ， ， ， 由（2）知，直线的解析式为， 设，则， ， 当时，有最大值，最大值为， 的最大面积， 四边形的面积的最大值． 13．（2026·天津和平·三模）已知抛物线（，，是常数，）与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，为第一象限内的抛物线上一动点． (1)若，， ①求该抛物线的顶点坐标； ②过点作轴的垂线，垂足为，交线段于点，若，求点的坐标． (2)若，是直线与抛物线的交点，若，（点在点的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为时，求点，的坐标． 【详解】（1）解：①， 抛物线 ， 抛物线 与轴相交于点， ，解得 ， 抛物线的解析式为． 顶点坐标为 ； ②对于， 令 ，得 ，令 ，得 或 ， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 如图，设直线的解析式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 轴于点，交于点， 设点的坐标为， 点的坐标为， ，， ， ， 解得，(舍去)， 当时，， 点的坐标为． （2）解：抛物线与轴相交于点， ，又， ， 抛物线的解析式为， 直线与抛物线相交于点， 点的坐标为，点的坐标为， 如图②，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在线段上截取，连接与轴交于点，在上截取，连接，易得点的坐标为，点的坐标为， ， 四边形为平行四边形， ， 又∵的长为是定值， 当满足条件的点落在上时，的最小值为，即取得最小值， 的最小值为， 在中，，， ， 解得，(舍去)， 点的坐标为，点的坐标为， 直线的解析式为， 当时，，解得， 点的坐标为，点的坐标为． 14．（2026·安徽·二模）已知抛物线的对称轴在轴右侧，当时，的最小值为，最大值为． (1)求整数，的值； (2)在（1）的条件下，直线与抛物线在范围内有两个交点，点，均在抛物线上，在的左侧． ①求的取值范围； ②若，过点作轴，垂足为，交直线于点．设的面积为，的面积为，若，且，求的近似值． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， 对称轴为， 由对称轴在轴右侧得 ∴ ∵当时，的最小值为，最大值为 情形一：当对称轴在时，即， 又 ∴ ∴最小值为，即最小值在顶点处，得：，即① 最大值在或， 当时，， 代入①解得：，或，（舍去） 当时，， 代入①解得：（舍去）或（舍去） 情形二：当对称轴时，即 ∴， ∴最大值为时， 最小值为时， 解得：，不是整数， 综上所述，，； （2）解：①联立直线与抛物线 得 ∵直线与抛物线在范围内有两个交点， 设， ∴且， 解 ∴或 解得： 解得 综上所述： ②设的面积为，的面积为，， ∵在上， ∴，，， ∴，， 又∵，则 ∴ ∴ ∵ ∴① ∵在的左侧 ∴，则 ∴ （i）当时， ∴ 当时， 解得：（舍去） （ii）当或时， ∴ 当时， 解得： 15．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．直线经过，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，点，为轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点．若满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【详解】（1）解：对于： 令，则，则； 令，则，则． 把点，代入中， 得， 解得， 所以，该抛物线的函数表达式为； （2）解：设，则，， 此时，， ， 且， 当时，取得最大值，此时． 对于：令，则，，则， 点，为轴上的动点，， 将向上平移1个单位长度得到， ， ； （3）解：，．过程如下： 抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ，即， ，， 轴， ， ， ． 分两种情况讨论： ①当时，， ，即， 解得：，， ，， ②当时，， ，即，无解． 综上，，． 16．（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点B在抛物线上．设其横坐标为m．点C是平面直角坐标系中异于点B的一点，其坐标是，连接，当不与坐标轴垂直时，以为斜边作 ，使轴． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当点B在抛物线对称轴左侧，且是等腰直角三角形时，求m的值； (3)当的边与抛物线有公共点时，求m的取值范围； (4)当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数表达式为． （2）解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B横坐标为m， ∴ ， 由点在对称轴左侧，得， ∵，是 的斜边， ∴ ， 又∵轴， ∴轴，， ∵， ∴ ， ∴轴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ ，， ∴， 此时分两种情况讨论： ①， 解得， ∵， ∴ ； ② ， 解得， ∵， ∴ 由不与坐标轴垂直得，两个解均满足条件， ∴m的值为或． （3）解：∵是竖直线段， ∴横坐标为，纵坐标范围介于和之间， 若与抛物线有公共点，则抛物线在处的纵坐标需满足要求， ∴抛物线在处的纵坐标为， ∴， 代入整理得， ∴所有零点为，，，， 解得或， ∵不与坐标轴垂直， ∴，即， ∴m的取值范围是 或 ． （4）抛物线的对称轴为，当时随增大而减小，当时随增大而增大； 如图所示，当点在抛物线上时，即, 解得 如图所示，当时，抛物线在三角形内部随增大而增大， ∵不与坐标轴垂直， ∴， 解得， 当抛物线与三角形无公共部分在三角形的内部， 当时，抛物线在三角形内部也具有单调性， ∴的取值范围是或． 17．（2026·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线（b，c为常数）上，该抛物线与y轴的交点为．点P在该抛物线上，其横坐标为m．当点P不在坐标轴上时，过点P分别向x轴与y轴作垂线，垂足分别为点M和点Q． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)当点Q在抛物线上时，求m的值． (3)当，且四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点与最低点的纵坐标的差为时，求m的值． (4)当四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小，且此抛物线的顶点在四边形的对角线所在的直线上时，直接写出m的值． 【详解】（1）解：由题意，点和在抛物线上， 可得，解得， 该抛物线对应的函数解析式为． （2）解：点P在该抛物线上，其横坐标为m， ， 过点P分别向y轴作垂线，垂足为点Q， 则 ， 在抛物线上， ， 可得，解得或， 不在坐标轴上， ． （3）解：如图， 抛物线，顶点， 由（2）得，， 令，解得， ，， 当时，如图： 四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ，解得或（舍）， ， 当时，四边形内部（包括边界）与抛物线仅有一个交点，不符合题意； 当时，如图： 四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ，解得或（舍）， ， 综上， 或． （4）解：由题意，，，，． 抛物线顶点在对角线或 上． 设对角线的函数解析式为， 可得，解得， ， 代入 可得，化简得 解得或， 如图， 当或时，四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小，符合题意； 设对角线的函数解析式为， 可得，解得， ， 代入 可得，化简得， ， ， ， 如图，此时点在的右边， 此时，四边形内部没有抛物线上的点，不符合题意； 综上，或． 1．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 2．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，的最小值为， 分三种情况讨论： ①当在对称轴左侧，即， 解得时，随的增大而减小 ， 当时，取得最小值； ②当包含对称轴，即， 解得时，的最小值为顶点的纵坐标， ； ③当在对称轴右侧，即时，随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 综上所述，与的函数关系为：， 观察图象可知，当时，图象为平行于轴的线段； 当或时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A符合题意． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）点是抛物线的顶点，点、在抛物线上（其中）．下列结论： ①当点在轴上时，；②点在直线上；③；④当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是；⑤当点在原点时，过点的直线与抛物线交于、两点，则． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ①若在轴上，则顶点纵坐标为，即， 解得，故①正确； ②将代入，当时，， ∴点不在直线上，故②错误； ③∵，纵坐标相同，对称轴为， ∴， 解得， 将代入抛物线得， ∴， 当时，不满足，故③错误； ④∵顶点坐标为， ∴， ∴所在直线为， 将代入得，， 解得， ∵当点所在直线与线段没有交点时， ∴或， ∴或， 整理得，或， ∵， ∴， ∴无解； ∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵点在原点， ∴，， ∴， ∴抛物线为， 当过的直线是时，此时直线与抛物线只有一个交点不符合题意， 则可设过的直线为， 联立得， 整理得，， 设，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴ ∴， ∴， 同理可得，， ∴，故⑤正确． 综上，正确结论为①④⑤，共3个． 4．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 5．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 6．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 【答案】4 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 7．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 8．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 9．（2026·湖北·中考真题）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点在直线上，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，点是抛物线上位于第四象限的点，平行于轴．当时，求点的坐标； (3)点在直线上且位于点的右上方，．过点，分别作轴和轴的垂线，四条垂线围成四边形．若四边形的边与抛物线有两个交点，，记，的纵坐标之和为． ①当点在线段上时，求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的值． 【详解】（1）解：把点代入抛物线得， 解得，； （2）解：由（1）得， 令得， 因式分解得， 解得或， 令得， ，， 设直线的表达式为， 把，代入得，解得， 直线的表达式为， 当时，， 当时，， 平行于轴， 的纵坐标为， 点是抛物线上位于第四象限的点， 又，化简得，， 解得， ； （3）解：由（2）知直线的表达式为， ， 设点的坐标为， ， ， 化简得， 解得， 点在直线上且位于点的右上方， ， ，即， ， 四边形是边长为的正方形， 如图，当沿移动时，点沿移动，点沿移动， 上图中点和点重合， ， ， ，，，， 当时，， 点在抛物线上， 设直线的表达式为， 把，代入得，解得， 直线的表达式为， 设直线的表达式为， 把，，代入得，解得， 直线的表达式为， 点在直线上运动，点在直线上运动， 如图， 令，化简得，，解得， 令，化简得，因式分解得，解得或， 点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， 当四边形的边与抛物线有两个交点，时，， ①当点在线段上时，， 点从点往点运动的过程中，当时，即点在线段上时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ， 点从点往点运动的过程中，当时，即点在线段右上方时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点纵坐标， ， 综上所述，当点在线段上时，； ②当时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 综上所述，， 当时，分情况讨论： 当时，，化简得，，解得不符合，舍去； 当时，，解得符合； 当时，，化简得，，解得，符合，不符合，舍去； 当时，，化简得，，解得，符合，不符合，舍去； 当时，，解得不符合，舍去； 当时，，化简得，，无解； 综上所述，当时，的值为或或． 10．（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为坐标原点，作直线． (1)求该抛物线的解析式． (2)在抛物线上有两个动点，，点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为．若的面积记作，的面积记作，当有最大值时，求点的坐标．（自行完成作图并解答） (3)把抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，点是新抛物线对称轴与轴的交点，点是新抛物线对称轴上的动点，连接，．若平分，请直接写出符合条件的点坐标．（自行完成作图并作答） 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为， ∴，，，Q的纵坐标为，则， 或 ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值， 此时， ∴； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点， ∴相当于点C与点B是平移前后的对应点， 即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线， ∴， ∴新抛物线的对称轴为直线，， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴的坐标为或． 或 一、单选题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 二次函数 中， ， ∴抛物线开口向上，且图像不经过第三、四象限， 抛物线与轴最多有一个交点，即判别式 ∴ 解得 ， 又 二次函数的对称轴为直线 ，且当时， 随的增大而增大， 对称轴满足 ， 综上，实数 的取值范围是． 2．（2026·河南三门峡·三模）若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，顶点为． ∵点P到y轴的距离小于2， ∴． 当时，； 当时，； 当时，． ∴n的取值范围是． 3．（2026·浙江温州·三模）已知二次函数的图象上有两点，，设，若，，则下列结论正确的是（     ） A．S有最大值，也有最小值 B．S有最小值，但没有最大值 C．S有最大值，但没有最小值 D．S没有最小值，也没有最大值 【答案】D 【详解】解：∵点在的图象上 ， ∴，， ∵， ∴， ∴ ，整理得 ， 配方得， ∵， ∴， 解得 或 ， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴当时，S随的增大而减小， ∴， ∴当时，S随的增大而增大， ∴， ∴S没有最小值，也没有最大值． 二、填空题 4．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：由表格知：二次函数与x轴交于点和，故图象对称轴为：直线， ∵当时，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴，该函数图象开口向上，函数值在对称轴两侧随距离增大而增大， ∵，，， ∴． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知点A是二次函数对称轴左侧抛物线上一点，轴于D，以为边在右侧作正方形，其中点B在抛物线上，点C在x轴上，则点A的坐标为______． 【答案】 【详解】解：， 则对称轴抛物线为直线， 根据题意作图如下： 设， 根据中点坐标公式可知，即， ∴， 即， ∵正方形，， ∴， 整理得， ， 解得，（舍去）， ∴， ． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，点是函数图象上的两点，则；④．其中正确结论有____． 【答案】②③④ 【详解】解：①∵函数图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线 ∴， ∴， ∵二次函数与轴的交点在与之间（不包括这两点）， ∴， ，故①错误； ②抛物线与x轴交于点，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴当时，， ，故②正确； ③∵函数图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点，点是函数图象上的两点，且， ，故③正确， ④∵抛物线与x轴交于点， ∴，， ， ， ， ， ，故④正确 故答案为：②③④． 三、解答题 7．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 【答案】 【详解】解：如图，令直线与交于点F， 将点代入抛物线得：， 抛物线对称轴为， ， ， 抛物线解析式为， 将代入得：， ， 轴，点P的纵坐标为2， 、， 、， 抛物线的图象开口向下， ， ， ， ， ， 解得：， ， 抛物线的解析式为． 8．（2026·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 整理得 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：由得抛物线解析式为， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴根据平移规律，得到平移后的解析式为， ∵平移后抛物线经过点， ∴将，代入得， ， 解得，， ∵， ∴． 9．（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到抛物线，无论为何值，抛物线恒过，过作轴的垂线交抛物线于，两点（在的左侧），交抛物线于，两点（在的左侧），则的值存在最小值吗？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， 经过点且， 对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点的横坐标为，顶点的纵坐标为， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到， 过点，而上的点由上的点平移得到， 点在上， 代入得：， 整理得：， ， ， 直线与交于，，与交于，， ，关于的对称轴对称， ， ，关于的对称轴对称， ， ，分别在，左侧，且在右侧， ， ， 当时取得最小值，此时取得最小值． 10．（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．点在抛物线上，点的横坐标为，过点作直线的垂线，垂足为．将线段关于点中心对称得到线段（点的对称点为点），依次连接、、、得到平行四边形． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当和两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)当时，抛物线在平行四边形内部及边界的图象记为．若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为1，求的值； (4)当线段与该抛物线有两个公共点时，设两个公共点是和，当时，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵点在抛物线上，点的横坐标为，过点作直线的垂线，垂足为． ∴，， 当和两点关于该抛物线的对称轴对称时，， ∴， ∴， ∵点P关于点的对称点为点M， ∴点是的中点， ∴点M的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：∵， 由（2）得，点M的横坐标为，纵坐标为， ∴ ∵图象的最高点与最低点的纵坐标之差为1， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴或； （4）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴将直线和联立得，， 整理得，， ∵线段与该抛物线有两个公共点， ∴， 整理得，， ∴， 解得， ∵，两个公共点是和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， 综上所述，的取值范围为或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $