第11讲 反比例函数的图象和性质（暑假预习培优讲义，5题型技巧3重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

第11讲 反比例函数的图象和性质（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 反比例函数图象画法（描点三步法） 2 知识点02 反比例函数图象与性质 2 知识点03 比较反比例函数值大小的方法 3 知识点04 k的几何意义（培优核心·中考高频） 5 剖题型·讲技巧 题型1 判断点是否在反比例函数图象上 6 题型2 由k的符号判断图象象限与增减性 8 题型3 函数值大小比较（选择填空高频） 10 题型4 k的几何意义求面积、求解析式（中档培优） 12 题型5 反比例函数与一次函数综合（压轴基础） 17 释疑惑·重难拓展 题型1 反比例函数对称性培优 25 题型2 高频面积秒杀模型（填空压轴专用） 29 题型3 含参反比例函数取值范围 37 知中考·真题探源 42 练好题·提分培优 54 课标要点 1. 掌握反比例函数 的图象画法，熟练识别双曲线的基本图象特征； 2. 结合函数图象，精准掌握反比例函数的象限分布、增减性、对称性等核心性质； 3. 深度理解比例系数 的几何意义，可利用 快速求解点坐标、几何图形面积； 4. 能根据函数性质和图象，比较函数值大小、求解参数取值范围； 5. 掌握反比例函数与一次函数的联立求解方法，建立数形结合解题模型，应对中档综合题型。 知识点01 反比例函数图象画法（描点三步法） 标准解析式： 取值范围：自变量 ，函数值 ，图象永不经过坐标轴 步骤1：列表：以0为中心，选取左右对称的自变量（±1、±2、±3…），利用图象对称性，只需计算正数对应函数值，负数对应值可直接推导； 步骤2：描点：在平面直角坐标系中精准描出所有对应坐标点； 步骤3：连线：用平滑曲线顺次连接各点，向两端无限延伸，形成两支独立的双曲线。 作图禁忌（必考易错）：禁止画折线、禁止将两支曲线连接、禁止让曲线与坐标轴相交。 练习 1．（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）反比例函数的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 此函数图象在二、四象限， 故选：A． 知识点02 反比例函数图象与性质 k的符号 k>0 k<0 图象 图象形状 反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线 图象位置 位于第一、第三象限 位于第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大 对称性 反比例函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是原点O，对称轴是直线y=x和y=-x.（中心对称图形将在下一章学习） 核心易错提醒：绝对不能笼统表述“，y随x增大而减小”！增减性仅适用于同一象限，跨象限不成立。例：中，，，但，y随x增大而增大。 练习 2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是（   ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得， 选项中只有1满足条件， 故选A． 知识点03 比较反比例函数值大小的方法 方法一：性质法.当点在双曲线同一分支上时，可以利用函数的增减性，通过比较其横坐标的大小来判断函数值大小；当点在双曲线不同分支上时，可以利用点在x轴上方或下方，进行函数值大小比较. 方法二：图象法.根据条件在坐标系中描出各点，观察点的位置高低，就可以比较函数值大小.(图象法形象直观) 方法三：特殊值法.根据条件取自变量的特殊值，代入解析式求出对应的函数值，就可以直接比较函数值大小. 练习 3．（25-26九年级上·河北保定·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：方法一：直接计算比较 将代入， 可得：， 将代入， 可得：， 将代入， 可得：， ， 方法二：利用函数性质比较 反比例函数中，， 该函数在第一象限内随的增大而减小，且函数值为正；在第三象限内随的增大而减小，且函数值为负， 点，在第三象限，且， ， 点在第一象限， ， ∴. 知识点04 k的几何意义（培优核心·中考高频） 若点 在双曲线 上，则恒满足 ，由此推导两大面积模型： 1. 矩形面积模型：过点P作x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积 ； 2. 直角三角形面积模型：连接原点O与点P，过P作任意一条坐标轴的垂线，所得直角三角形面积 ； 关键结论： 的正负仅决定双曲线分布象限，图形面积只与 有关，恒为正数。 练习 4．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 题型1 判断点是否在反比例函数图象上 方法技巧 将点的横、纵坐标相乘，若乘积等于解析式中的k值，则点在图象上，反之不在。 【典例1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）下列各点在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 、∵， ∴点在反比例函数的图象上，该选项符合题意； 、∵， ∴点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意； 、∵， 点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意； 、∵， ∴点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意； 故选：． 【变式1-1】（2026·重庆·三模）反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数解析式为， 对选项A，点，当时，， ∴点不在函数图象上，A不符合题意； 对选项B，点，当时，，等式成立， ∴点在函数图象上，B符合题意； 对选项C，点，当时，， ∴点不在函数图象上，C不符合题意； 对选项D，点，当时，， ∴点不在函数图象上，D不符合题意． 【变式1-2】（2026·重庆北碚·模拟预测）已知实数满足，则下列点的坐标中，在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得， ， ∴， 整理得，， 即， 解得或， ∵反比例函数满足， ∴或， 、，不等于也不等于，故该选项不符合； 、，与的一个值相等，故该选项符合； 、，不等于也不等于，故该选项不符合； 、，不等于也不等于，故该选项不符合． 【变式1-3】（25-26九年级上·四川成都·期末）若反比例函数经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的点是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴将，代入中，得， 解得， ∴该反比例函数的解析式为，即函数图象上的点满足横、纵坐标的乘积为． A选项：，故该点不在函数图象上； B选项：，故该点在函数图象上； C选项：，故该点不在函数图象上； D选项：，故该点不在函数图象上； 故选：B． 题型2 由k的符号判断图象象限与增减性 方法技巧 解题步骤 1. 确定比例系数k的正负； 2. ：图象在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小； 3. ：图象在二、四象限，每个象限内y随x增大而增大。 避坑要点：无“同一象限”前提，绝对不能使用增减性比较函数值。 【典例2-1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，比例系数， ∴，在每个象限内，随增大而增大； 解得. 【典例2-2】（2026·四川成都·模拟预测）已知点在反比例函数的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【详解】解：点在反比例函数的图像上， ， ， ， ， 根据反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大． 【典例2-3】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数（为常数），在各象限内的值随的值增大而增大，则的值可以是_____．（只写一个） 【答案】（大于的数均可） 【详解】解：反比例函数（为常数），在各象限内的值随的值增大而增大， ，解得：， 的值可以是（大于的数均可）． 【变式2-1】（2026·重庆·三模）若反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则下列各点可能在这个函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，随的增大而增大， ∴，且反比例函数图象上任意点满足， 对于A，，不符合题意； 对于B，反比例函数中，且，不符合的要求，不符合题意； 对于C，，不符合题意； 对于D，，符合题意． 【变式2-2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小， ∴ ， 解得 ， 上述四个选项中只有，符合条件． 【变式2-3】（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 【答案】 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， 将点坐标代入解析式得，， ， ，即，解得：． 题型3 函数值大小比较（选择填空高频） 方法技巧 1. 代入法：适用于简单数值，直接代入x求y，直观对比大小； 2. 图象分析法（培优首选）：同象限用增减性判断，跨象限直接判断：第一象限y值＞0，二、四、三象限y值＜0，正数恒大于负数。 【典例3-1】（2026·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，当时，________（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】> 【详解】解：反比例函数中，比例系数， ∴该函数的图象位于第二、四象限， ， 点在第二象限，可得， ， 点在第四象限，可得， ． 【变式3-1】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“”号连接） 【答案】 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴点在第三象限，点，在第一象限， ∴，， ∴． 【变式3-2】（2026·北京·模拟预测）已知，是反比例函数 图象上的两个点，则___________0（用“>”“<”或“=”填空）． 【答案】 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， ∴， ， ， 即． 【变式3-3】已知反比例函数的图象上两点，，若，则m的取值范围为________ ． 【答案】 【详解】反比例函数中，比例系数， 反比例函数图象在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ， ，即 解不等式，得 解不等式 移项得 解得 综上，的取值范围为． 题型4 k的几何意义求面积、求解析式（中档培优） 方法技巧 1. 坐标轴垂线围成矩形面积：； 2. 坐标轴垂线+原点围成三角形面积：； 3. 已知面积求k：先由面积算出 ，再根据图象所在象限判断k的正负。 【典例4-1】（2026·广西玉林·模拟预测）如图，菱形的顶点，分别在轴，轴上，轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心，若菱形的面积为，则该反比例函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵菱形的面积为8， ∴， ∵轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心， ∴， ∴， ∵反比例函数图象分布在二、四象限， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为． 【典例4-2】（2026·新疆哈密·三模）如图，的直角顶点在轴上，函数的图象经过边的中点，且交于点，连接，则______． 【答案】9 【详解】解：∵函数的图象经过边的中点 ∴设 ∴ ∵的直角顶点在轴上 ∴轴 ∴点D的横坐标为 将代入 ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴上任意一点，连接，，则的面积为________． 【答案】3 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴． 【变式4-2】如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， 在中，， 解得， 由图像可知，反比例函数图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故这个反比例函数的表达式为． 【变式4-3】（2026·河南周口·模拟预测）如图、在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点和顶点，是的中线． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点的纵坐标为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ． 故反比例函数的表达式为． （2）点为反比例函数图象上的点，且纵坐标为， ， 点的坐标为． 如图，分别过点，点作轴的垂线，垂足分别为点，， ∵点，点， ，，，， ， 由反比例函数的性质可知 ∵ ∴， 是的中线， ． 题型5 反比例函数与一次函数综合（压轴基础） 方法技巧 1. 求交点：联立两个函数解析式，解方程求出交点横、纵坐标； 2. 解不等式：以两函数交点为分界点，分区间观察图象上下位置，确定自变量取值范围，注意 ；3. 求面积：采用分割法，沿x轴或y轴将不规则图形分割为两个直角三角形，结合 快速计算。 【典例5-1】（2026·浙江温州·三模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点向右平移4个单位长度后得到点，线段与轴相交于点，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， ∴代入得，即，     ， 将点代入可得， 解得：， ∴， 将，代入得， 解得：，， ． （2）解：根据平移可得轴， ∴，， ∴， ∴． 【典例5-2】（2026·甘肃平凉·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）交于、两点，一次函数交轴于点，点在轴正半轴上，满足，连接、． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)计算的面积． 【答案】(1)一次函数：，反比例函数： (2)的面积为 【详解】（1）解：已知点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为：． ∵点在反比例函数上， ∴， ∴． 将、代入一次函数，得方程组， 解得， ∴一次函数解析式为：． （2）解：∵一次函数交轴于，令，得， ∴， ∴． ∵，且在轴正半轴， ∴， ∴． ∵、， 可知垂直于轴， 长度为． 点到直线（直线）的水平距离设为h， ∴， ∴． 【典例5-3】（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于，两点，与y轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式解集； (3)设D为线段上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积等于时，求点D的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； (2)或； (3)或 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ，解得：， ， ，在一次函数的图象上 ，解得 ∴一次函数的解析式为； （2）根据图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为或； （3）把代入得， ， 设，则， 化简得： 解得：， ∴点的坐标为：或， 【变式5-1】（2026·广东广州·三模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为： (2)或 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，B点坐标为， ∴将代入反比例函数中， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：； 同理，将代入一次函数中， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：设点P的纵坐标为m， ∵点P为线段上的一点，一次函数的解析式为：， ∴， ∵过P作y轴的垂线，垂足为H， ∴， ∵点C为中点， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴或． 【变式5-2】（2026·山东菏泽·二模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上．且满足．求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【详解】（1）解：将点代入中，得 ， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入中，得 ， ∴． 将点，代入中，得 ，解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：设直线交轴于点， ， 当时，，时，， ，， ． 设， ． ， ， ， 或， 点的坐标为或． 【变式5-3】（2026·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出关于x的不等式的解集． (3)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)12 【详解】（1）解：∵反比例函数过， ∴， ∴反比例解析式：． 将代入：，即． 把、代入： ∴， 解得：， 一次函数解析式：． （2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点． ∴结合函数图象，的解集：或． （3）解：设与x轴交于点D，连接， 由题意可知，点A与点C关于原点对称， ， 在中，当时，， ， 轴于点D， ． 题型1 反比例函数对称性培优 方法技巧 1. 原点对称结论：若一次函数直线与双曲线交于两个点，则两个交点必然关于原点中心对称； 2. 轴对称结论：点 在双曲线 上，则其关于直线 的对称点 、关于直线 的对称点 均在双曲线上； 3. 平移铺垫结论： 为双曲线平移后的解析式，左右平移改变h，上下平移改变m，图象对称性保持不变。 1．（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 2．（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 【答案】C 【详解】解：对于选项A：将代入，得， ∴该函数的图象交轴于点，故A错误； 对于选项B与C：∵关于点对称，且关于直线对称 又∵由向右平移1个单位得到， ∴关于点对称，且关于直线对称，故B错误，C正确； 对于选项D：举例，，则，， 满足，但不满足，故D错误． 3．（2026·江苏盐城·二模）已知函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象关于原点对称 B．函数图象关于直线对称 C．函数图象关于对称 D．函数图象关于直线对称 【答案】D 【详解】解：如图，是反比例函数向上平移1个单位得到的，对各选项逐一判断： 由图象可得：函数图象关于对称，函数图象关于直线对称， ∴A错误，B错误，C错误，D正确． 4．（2026·宁夏银川·二模）如图，一次函数与反比例函数交点A的横坐标为1，当时，x的取值范围是_________． 【答案】或 【详解】解：由函数图象可得，一次函数经过原点，故此时为正比例函数， 由正比例函数与反比例函数图象均是中心对称图形可得，点关于原点对称， ∵A的横坐标为1， ∴的横坐标为 ∴由图象可得，当时，x的取值范围是或． 5．（2026·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求此反比例函数的表达式； (2)将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 【详解】（1）解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴，， 设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上， 即点落在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 将向上平移2个单位，点D落在反比例函数的图象上， ∴平移的距离为． 题型2 高频面积秒杀模型（填空压轴专用） 方法技巧 1. 定点面积模型：双曲线上任意一点与原点、坐标轴垂足构成的直角三角形面积恒为 ，与点的位置无关； 2. 双点梯形模型：双曲线上两点分别作x轴垂线，两点与原点围成的梯形面积为 ； 3. 水平线段模型：平行于x轴的直线交双曲线于两点，两点与坐标轴围成的三角形面积恒为 。 6．（25-26九年级下·福建莆田·阶段检测）如图，两个反比例函数 和 （ 其中 ） 在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点， 交于点，轴于点， 交于点，则四边形的面积是_____． 【答案】/ 【详解】∵ ∴四边形的面积为：， 7．（2026·河南三门峡·二模）如图，在平面直角坐标系中，曲线C关于原点O成中心对称，点A的对称点是点，轴，轴，点A在反比例函数的图象上，则阴影部分的面积之和为____________． 【答案】2026 【详解】解：如图，将第三象限的阴影部分绕着点O旋转后与第一象限的阴影部分拼成矩形． 点A在反比例函数的图象上， ∴， 阴影部分的面积之和为2026． 8．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 9．（2026·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数（，）和的图象上，点在轴上，连接、、，轴于点，若，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：设点的坐标为，其中， 轴于点， 点、的横坐标均为 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ，， 由图象可知，点在第一象限，点在第四象限， ，， ， ， ， ． 10．（2026·辽宁锦州·模拟预测）如图，平行四边形的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B、D均在y轴上，轴，与x轴交于点E，连接，若的面积为6，则k的值为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵双曲线和平行四边形都是中心对称图形， ∴点和点关于原点对称， ∴， 则， ∴， 又该双曲线位于第二、四象限， ∴． 11．（2026·江苏宿迁·三模）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是________． 【答案】 【详解】解：如下图所示，延长，交于点， 设，则， 轴，轴， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， ，， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， 得：， ． 12．（2026·陕西咸阳·二模）对于反比例函数和，平行于x轴的直线与两个反比例函数的图象的交点分别为A，B．若，则的面积为______． 【答案】3 【详解】解：设直线交轴于点， 轴， 轴， ∴，， ，， ，， ； ， . 13．（2026·广东江门·二模）如图，和均为正三角形，点A、C均在x轴上，且点B、D均在反比例函数上，连接交于点P，连，则阴影面积为________． 【答案】8 【详解】解：如图，作于点E， 和均为正三角形， ， ， 点P与点A到的距离相等， ， 为正三角形，， ， 又点B在反比例函数上， ． 14．（2026·湖南长沙·二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边交该反比例函数的图象于点，连接，若，则的面积为___________． 【答案】4 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 四边形是平行四边形， 点到的距离相等， ． 题型3 含参反比例函数取值范围 方法技巧 1. 根据函数增减性、图象象限，确定k的正负； 2. 将含参代数式代替k，列出不等式求解参数范围； 3. 二次验证：保证反比例函数定义成立（系数≠0，x次数=-1）。 15．（2026·安徽芜湖·一模）设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是． (1)求k的值； (2)若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：，，， 在每一象限内，随x的增大而减小，随x的增大而减小， 当时，最小值为①， 当时，最大值为②， 由①，②得：． （2）解：到y轴的距离大于3， 或， ， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴； 当时，，且， ∴； 综上，或． 16．（24-25九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， a的取值范围是； （2）解：反比例函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小， ， 解得， a的取值范围是． 17．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴，解得， 即k的取值范围是； （2）解：∵反比例函数图象经过第一象限的两点，，且， ∴，解得， 又∵， ∴a的取值范围是． 18．（2026·江苏泰州·三模）定义：若，满足，且（为常数），则称点为“和谐点”． (1)若是“和谐点”，则___________． (2)若双曲线存在“和谐点”，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：是“和谐点”， ∴，， ∴， 整理得，，即， 解得，， ∵“和谐点”中，， ∴； （2）解：已知若，满足，且（为常数），则称点为“和谐点”， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵双曲线存在“和谐点”，设这个点的坐标为， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 当时，，当时，， ∵双曲线存在“和谐点”， ∴， 解得，， ∴． 19．如图，在平面直角坐标系内，反比例函数图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点，也在这个反比例函数图象上，且，请求出m的范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将点代入，得：，解得：， ∴，， 故答案为：， （2）解：，，， ∵反比例函数，， ∴在每个象限内，随着的增大而减小， ∵，， ∴，在不同的象限， ∴，，即： ， ∵， ∴，即：， ∴当时，， 故答案为：． 20．已知反比例函数的图象的一支如图所示，它与直线交于点，.    (1)在图中，补画该反比例函数图象的另一支，并求的值； (2)当时，求函数值的取值范围； (3)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围. 【答案】(1) 如图所示：    ； (2)当时，； (3)或. 【详解】（1）将代入中，得，将代入中，得； （2）解：当时，，当时，， ∴当时，； （3）解：的图象与直线交于点，，作图如下：    由图可得：当时自变量的取值范围：或． 一、单选题 1．（2026·山西·中考真题）已知点，点，点都在反比例函数的图象上，则，，的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∵， ∴函数图象在一三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵， ∴． 2．（2026·重庆·中考真题）在反比例函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 3．（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，. 将代入，得. 由得，分两种情况讨论： ① 当时，点在第三象限，，结合第三象限内随增大而减小，可得； ② 当时，点在第一象限，，由可知恒成立，即所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． 4．（2026·湖北·中考真题）已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：联立与得，整理得，解得：， 联立与得，解得：或， 联立与得，整理得，解得：或， ∴函数、函数、函数的图象在第一象限交于点， 故三个函数的图象位于第一象限的部分， 当时，，B选项可能； 当时，根据图象可得，，A选项可能； 当时，根据图象可得，，C选项可能； 综上，D选项不可能． 5．（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 6．（2026·江苏扬州·中考真题）一次函数与反比例函数的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作轴，轴，垂足分别为A，B；过点N作轴，轴，垂足分别为C，D．记矩形的面积为，周长为，记矩形的面积为，周长为，下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】设， 点在反比例函数图象上 点在反比例函数图象的上方 ，即 点在一次函数图象上 ，即 ∵矩形 ∴， 点在一次函数图象的下方 ，即 ∵矩形 ∴， ∴ 综上所述，，． 二、填空题 7．（2026·吉林·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 【答案】 【详解】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 8．（2026·湖北·中考真题）反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、第三象限， ， 解得， ∴只要取大于的任意实数都符合条件，例如（答案不唯一）． 9．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【答案】 【详解】解：连接，， 轴， ， 点A在函数的图象上，点B在函数的图象上， ，， ， 解得． 10．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 三、解答题 11．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ，则， 点在正比例函数的图象上， ，则， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：联立和得，即，则， ∴， 的面积为8，即， ， ， ∵点是轴正半轴上的一点， 点的坐标为． 12．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 13．（2026·甘肃武威·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵点在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴点， ∵ 轴于点 ， ∴ ， ． ∵一次函数与轴交于点 ， 令，解得， ∴点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 14．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)当为直角三角形时，点P的坐标为或 【详解】（1）解：由题意可把点代入直线得：， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：由图象及（1）可知：不等式的解集为或； （3）解：由题意可设， 把代入直线得：，解得：， ∴， ∵， ∴根据两点间距离公式可得：，，， 当为直角三角形时，则可分： 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：当为直角三角形时，点P的坐标为或． 一、单选题 1．（2026·安徽马鞍山·三模）如果函数与的图像有公共点，那么下列的值中，不满足条件的是（     ） A． B．1 C．4 D．6 【答案】B 【详解】解：联立两个函数解析式得， ，两边同乘得， 当，即时，代入方程得，无解，即； 当时，方程可化为， ∵方程要有不为0的实数解， ∴必为正数，即， ，即与同号， 分两种情况讨论： ，解得：； ，解得：． ∴的取值范围是或， ∴选项A、C、D满足条件，选项B不满足条件． 2．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，第一象限的角平分线与反比例函数的图象交于点．点、点分别在轴和轴的正半轴上，分别连接、，若，且四边形的面积为．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如下图所示，过点作轴，轴， ， 四边形是矩形， ∴， ， 是第一象限的角平分线， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 点的坐标为， 代入反比例函数的解析式， 可得：， ． 3．（2026·湖南长沙·三模）如图，的顶点分别在反比例函数和上，顶点在轴上，已知点的坐标为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∴点和点的纵坐标相同， ∵， ∴点的纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∴， ∴． 4．（2026·河北·三模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点．的面积为若动点在轴上，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正方形的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6， ∴， ∴，． ∵的面积为10， ∴， 解得：， ∴． 如图：作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则，的最小值为的长． ∴，， ∴． 二、填空题 5．（2026·浙江丽水·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与双曲线（为常数，）的图象交于点，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积是______． 【答案】 【详解】解：点是直线与双曲线的交点， 将代入得：， 将代入得：， ，等式两边同时除以得：， 解得， 直线解析式为， 令，得， 解得，即直线与轴交点为， 令，得，即直线与轴交点为， 直线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边长分别为，， 三角形面积公式得：． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的边经过原点，顶点、分别在反比例函数、的图象上，顶点在轴的正半轴上．若，则_____． 【答案】 【详解】解：设点坐标，点坐标， 顶点、分别在反比例函数、的图象上 ∴，， ∴，， ∵点在轴的正半轴上，设点坐标， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∵点坐标，点坐标， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则的值为________． 【答案】 【详解】解：过点B作于点E，如图， 点，点， ，，， ， 四边形为菱形， ， ， ， 解得， ， ∵与交于点，， ∴点D为中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴． 三、解答题 8．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，点B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点，连接． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵点和点都是反比例函数图象上的点， ∴， 解得，（舍去）． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：过点D分别作于点E，于点F，如图． 由（1）知， ∴点，点， ∴，，，， ∴． ∵D为的中点， ∴， ∴，． ∴． ∴． 9．（2026·江苏苏州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围为______； (3)点M是x轴上一点，当时，请求出点M的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为 (2)或 (3)或 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于，， ， ∴反比例函数的表达式为， 把，代入一次函数， 则， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为或． （3）解：如图，设直线交x轴于点D， ∵一次函数，当时，， 解得，则， ， ， ， ∵交反比例函数图象于点C， ∴点关于点O对称， ， ， ， 或 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 反比例函数的图象和性质（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 反比例函数图象画法（描点三步法） 2 知识点02 反比例函数图象与性质 2 知识点03 比较反比例函数值大小的方法 3 知识点04 k的几何意义（培优核心·中考高频） 4 剖题型·讲技巧 题型1 判断点是否在反比例函数图象上 4 题型2 由k的符号判断图象象限与增减性 5 题型3 函数值大小比较（选择填空高频） 6 题型4 k的几何意义求面积、求解析式（中档培优） 7 题型5 反比例函数与一次函数综合（压轴基础） 8 释疑惑·重难拓展 题型1 反比例函数对称性培优 12 题型2 高频面积秒杀模型（填空压轴专用） 14 题型3 含参反比例函数取值范围 16 知中考·真题探源 19 练好题·提分培优 23 课标要点 1. 掌握反比例函数 的图象画法，熟练识别双曲线的基本图象特征； 2. 结合函数图象，精准掌握反比例函数的象限分布、增减性、对称性等核心性质； 3. 深度理解比例系数 的几何意义，可利用 快速求解点坐标、几何图形面积； 4. 能根据函数性质和图象，比较函数值大小、求解参数取值范围； 5. 掌握反比例函数与一次函数的联立求解方法，建立数形结合解题模型，应对中档综合题型。 知识点01 反比例函数图象画法（描点三步法） 标准解析式： 取值范围：自变量 ，函数值 ，图象永不经过坐标轴 步骤1：列表：以0为中心，选取左右对称的自变量（±1、±2、±3…），利用图象对称性，只需计算正数对应函数值，负数对应值可直接推导； 步骤2：描点：在平面直角坐标系中精准描出所有对应坐标点； 步骤3：连线：用平滑曲线顺次连接各点，向两端无限延伸，形成两支独立的双曲线。 作图禁忌（必考易错）：禁止画折线、禁止将两支曲线连接、禁止让曲线与坐标轴相交。 练习 1．（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）反比例函数的大致图象是（    ） A．B． C． D． 知识点02 反比例函数图象与性质 k的符号 k>0 k<0 图象 图象形状 反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线 图象位置 位于第一、第三象限 位于第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大 对称性 反比例函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是原点O，对称轴是直线y=x和y=-x.（中心对称图形将在下一章学习） 核心易错提醒：绝对不能笼统表述“，y随x增大而减小”！增减性仅适用于同一象限，跨象限不成立。例：中，，，但，y随x增大而增大。 练习 2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是（   ） A．1 B． C．3 D．4 知识点03 比较反比例函数值大小的方法 方法一：性质法.当点在双曲线同一分支上时，可以利用函数的增减性，通过比较其横坐标的大小来判断函数值大小；当点在双曲线不同分支上时，可以利用点在x轴上方或下方，进行函数值大小比较. 方法二：图象法.根据条件在坐标系中描出各点，观察点的位置高低，就可以比较函数值大小.(图象法形象直观) 方法三：特殊值法.根据条件取自变量的特殊值，代入解析式求出对应的函数值，就可以直接比较函数值大小. 练习 3．（25-26九年级上·河北保定·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为 （    ） A． B． C． D． 知识点04 k的几何意义（培优核心·中考高频） 若点 在双曲线 上，则恒满足 ，由此推导两大面积模型： 1. 矩形面积模型：过点P作x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积 ； 2. 直角三角形面积模型：连接原点O与点P，过P作任意一条坐标轴的垂线，所得直角三角形面积 ； 关键结论： 的正负仅决定双曲线分布象限，图形面积只与 有关，恒为正数。 练习 4．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型1 判断点是否在反比例函数图象上 方法技巧 将点的横、纵坐标相乘，若乘积等于解析式中的k值，则点在图象上，反之不在。 【典例1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）下列各点在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·重庆·三模）反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·重庆北碚·模拟预测）已知实数满足，则下列点的坐标中，在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·四川成都·期末）若反比例函数经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的点是（  ） A． B． C． D． 题型2 由k的符号判断图象象限与增减性 方法技巧 解题步骤 1. 确定比例系数k的正负； 2. ：图象在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小； 3. ：图象在二、四象限，每个象限内y随x增大而增大。 避坑要点：无“同一象限”前提，绝对不能使用增减性比较函数值。 【典例2-1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（     ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【典例2-2】（2026·四川成都·模拟预测）已知点在反比例函数的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【典例2-3】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数（为常数），在各象限内的值随的值增大而增大，则的值可以是_____．（只写一个） 【变式2-1】（2026·重庆·三模）若反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则下列各点可能在这个函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 题型3 函数值大小比较（选择填空高频） 方法技巧 1. 代入法：适用于简单数值，直接代入x求y，直观对比大小； 2. 图象分析法（培优首选）：同象限用增减性判断，跨象限直接判断：第一象限y值＞0，二、四、三象限y值＜0，正数恒大于负数。 【典例3-1】（2026·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，当时，________（填“＞”“＝”或“＜”）． 【变式3-1】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“”号连接） 【变式3-2】（2026·北京·模拟预测）已知，是反比例函数 图象上的两个点，则___________0（用“>”“<”或“=”填空）． 【变式3-3】已知反比例函数的图象上两点，，若，则m的取值范围为________ ． 题型4 k的几何意义求面积、求解析式（中档培优） 方法技巧 1. 坐标轴垂线围成矩形面积：； 2. 坐标轴垂线+原点围成三角形面积：； 3. 已知面积求k：先由面积算出 ，再根据图象所在象限判断k的正负。 【典例4-1】（2026·广西玉林·模拟预测）如图，菱形的顶点，分别在轴，轴上，轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心，若菱形的面积为，则该反比例函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·新疆哈密·三模）如图，的直角顶点在轴上，函数的图象经过边的中点，且交于点，连接，则______． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴上任意一点，连接，，则的面积为________． 【变式4-2】如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【变式4-3】（2026·河南周口·模拟预测）如图、在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点和顶点，是的中线． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点的纵坐标为，求的面积． 题型5 反比例函数与一次函数综合（压轴基础） 方法技巧 1. 求交点：联立两个函数解析式，解方程求出交点横、纵坐标； 2. 解不等式：以两函数交点为分界点，分区间观察图象上下位置，确定自变量取值范围，注意 ；3. 求面积：采用分割法，沿x轴或y轴将不规则图形分割为两个直角三角形，结合 快速计算。 【典例5-1】（2026·浙江温州·三模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点向右平移4个单位长度后得到点，线段与轴相交于点，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式． (2)求的面积． 【典例5-2】（2026·甘肃平凉·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）交于、两点，一次函数交轴于点，点在轴正半轴上，满足，连接、． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)计算的面积． 【典例5-3】（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于，两点，与y轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式解集； (3)设D为线段上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积等于时，求点D的坐标． 【变式5-1】（2026·广东广州·三模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 【变式5-2】（2026·山东菏泽·二模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上．且满足．求点的坐标． 【变式5-3】（2026·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出关于x的不等式的解集． (3)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接，求的面积． 题型1 反比例函数对称性培优 方法技巧 1. 原点对称结论：若一次函数直线与双曲线交于两个点，则两个交点必然关于原点中心对称； 2. 轴对称结论：点 在双曲线 上，则其关于直线 的对称点 、关于直线 的对称点 均在双曲线上； 3. 平移铺垫结论： 为双曲线平移后的解析式，左右平移改变h，上下平移改变m，图象对称性保持不变。 1．（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 3．（2026·江苏盐城·二模）已知函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象关于原点对称 B．函数图象关于直线对称 C．函数图象关于对称 D．函数图象关于直线对称 4．（2026·宁夏银川·二模）如图，一次函数与反比例函数交点A的横坐标为1，当时，x的取值范围是_________． 5．（2026·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求此反比例函数的表达式； (2)将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 题型2 高频面积秒杀模型（填空压轴专用） 方法技巧 1. 定点面积模型：双曲线上任意一点与原点、坐标轴垂足构成的直角三角形面积恒为 ，与点的位置无关； 2. 双点梯形模型：双曲线上两点分别作x轴垂线，两点与原点围成的梯形面积为 ； 3. 水平线段模型：平行于x轴的直线交双曲线于两点，两点与坐标轴围成的三角形面积恒为 。 6．（25-26九年级下·福建莆田·阶段检测）如图，两个反比例函数 和 （ 其中 ） 在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点， 交于点，轴于点， 交于点，则四边形的面积是_____． 7．（2026·河南三门峡·二模）如图，在平面直角坐标系中，曲线C关于原点O成中心对称，点A的对称点是点，轴，轴，点A在反比例函数的图象上，则阴影部分的面积之和为____________． 8．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 9．（2026·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数（，）和的图象上，点在轴上，连接、、，轴于点，若，则的值为_____． 10．（2026·辽宁锦州·模拟预测）如图，平行四边形的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B、D均在y轴上，轴，与x轴交于点E，连接，若的面积为6，则k的值为________． 11．（2026·江苏宿迁·三模）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是________． 12．（2026·陕西咸阳·二模）对于反比例函数和，平行于x轴的直线与两个反比例函数的图象的交点分别为A，B．若，则的面积为______． 13．（2026·广东江门·二模）如图，和均为正三角形，点A、C均在x轴上，且点B、D均在反比例函数上，连接交于点P，连，则阴影面积为________． 14．（2026·湖南长沙·二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边交该反比例函数的图象于点，连接，若，则的面积为___________． 题型3 含参反比例函数取值范围 方法技巧 1. 根据函数增减性、图象象限，确定k的正负； 2. 将含参代数式代替k，列出不等式求解参数范围； 3. 二次验证：保证反比例函数定义成立（系数≠0，x次数=-1）。 15．（2026·安徽芜湖·一模）设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是． (1)求k的值； (2)若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围． 16．（24-25九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 17．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 18．（2026·江苏泰州·三模）定义：若，满足，且（为常数），则称点为“和谐点”． (1)若是“和谐点”，则___________． (2)若双曲线存在“和谐点”，求的取值范围． 19．如图，在平面直角坐标系内，反比例函数图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点，也在这个反比例函数图象上，且，请求出m的范围． 20．已知反比例函数的图象的一支如图所示，它与直线交于点，.    (1)在图中，补画该反比例函数图象的另一支，并求的值； (2)当时，求函数值的取值范围； (3)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围. 一、单选题 1．（2026·山西·中考真题）已知点，点，点都在反比例函数的图象上，则，，的关系是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·中考真题）在反比例函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 4．（2026·湖北·中考真题）已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 6．（2026·江苏扬州·中考真题）一次函数与反比例函数的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作轴，轴，垂足分别为A，B；过点N作轴，轴，垂足分别为C，D．记矩形的面积为，周长为，记矩形的面积为，周长为，下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 7．（2026·吉林·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 8．（2026·湖北·中考真题）反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 9．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 10．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 三、解答题 11．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 12．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 13．（2026·甘肃武威·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 14．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 一、单选题 1．（2026·安徽马鞍山·三模）如果函数与的图像有公共点，那么下列的值中，不满足条件的是（     ） A． B．1 C．4 D．6 2．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，第一象限的角平分线与反比例函数的图象交于点．点、点分别在轴和轴的正半轴上，分别连接、，若，且四边形的面积为．则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南长沙·三模）如图，的顶点分别在反比例函数和上，顶点在轴上，已知点的坐标为，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河北·三模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点．的面积为若动点在轴上，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2026·浙江丽水·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线与双曲线（为常数，）的图象交于点，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积是______． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的边经过原点，顶点、分别在反比例函数、的图象上，顶点在轴的正半轴上．若，则_____． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则的值为________． 三、解答题 8．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，点B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点，连接． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 9．（2026·江苏苏州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围为______； (3)点M是x轴上一点，当时，请求出点M的坐标． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $