第04讲13.3.1三角形的内角暑假预习讲义同步训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形内角和定理，通过基础计算、概念应用到综合探究的三层设计，适配暑假预习需求，强化几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一三角形内角计算|直接应用定理，如选择1-3、填空9，巩固概念理解| |提升层|概念变式与简单综合|涉及倍角、折叠、角平分线，如选择4-6、填空10-12，培养推理意识| |拓展层|多知识点综合与探究|结合平行线、坐标系、动态问题，如选择7-8、解答13-18，发展创新意识与模型观念|

第04讲13.3.1三角形的内角暑假预习讲义同步训练新人教版八年级数学上册 一、选择题 1.如图，在Rt△ABC中，∠A=36°，∠B的度数为() B A.64° B.54° C.36 D.72° 2.将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则∠a的度数是() 45⊙ 30o A.145° B.155° C.165° D.150° 3.如图，△ABC中，AE平分∠BAC,AD1BC于点D.若∠B=36°，∠C=72°，则 ∠DAE的度数为() E D A.9° B.18° C.27° D.36 4.规定：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形称为 “倍角三角形”，如果△ABC是“倍角三角形”，且∠A=30°，那么∠B的度数不可能是 () A.15 B.60° C.750 D.100 5.如图，在△ABC和△BDE中，AC与DE相交于点F.若LB=90°，∠A=20°， ∠D=45°，则∠AEF+∠DCF的度数为() E A A.225° B.235° C.245° D.255 6.如图，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，点M,N分别是AB,BC上动点，沿MN 所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B落在AC上.若∠NB'C=90°，则∠MNB的度数 为() M A.60° B.75 C.80° D.85° 7.如图，ABI川CD,DB⊥BC,∠2=35°，则∠I的度数是（) 2 D A.55° B.35° C.65° D.45 8.如图，在平面直角坐标系中，1(4,0)，B5.0),CL,3),D0,-3) 且 ∠C4E=-∠CAB,∠BDE-∠ODB,则∠AED的度数为（) 3 3 F B D A.60° B.30° C.45 D.不能确定 二、填空题 9.在直角△ABC中，∠A=40°，∠B<90°，则∠B= 10.知图，已知BCD.∠Er-BB,∠Br-BCD,且∠4BC-80,则 4 4 ∠AFC的度数为 B D 11.在△ABC中，高BD,CE所在直线相交于点H(点H不与点A,B,C重合)·若 ∠A=70°，则∠BHC=°. 12.在△ABC中，点O为∠ABC和∠ACB角平分线的交点，∠BOC=128°，则∠A= 三、解答题 EFI∥CDGD∥CA 13.己知：如图， G D (1)求证：∠1+∠2=180°： (2)若CD平分LACB,DG平分∠CDB,且LA=35°，求∠ABC的度数. 14.如图，任意摆放含30°角的直角三角板ABC,∠ACB=90°，∠BAC=30°，分别过三 角板的三个顶点作三条直线使得DE‖FGHⅢ A D D B P F B -G B H H C C 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠DAB=32°，则∠CBG= (2)如图2，∠BCH和∠DAB的角平分线相交于点P,请求出∠P的大小： 3)如图3，LEAC与∠ABG的角平分线相交于点Q,∠AQB的大小是否为一个定值？若不 是定值，请说明理由；若是定值，请求出∠AQB的大小. 15.【问题原型】如图①，在△ABC中，∠A=66°，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,求 ∠D的度数. D B 图① 图② (1)对于上述问题，再结合以下部分解答内容，完成完整解答过程. 解：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠A=66°. ∴，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=114°， :BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, A3ic,2-4c8 2 (补全过程) (2)【问题拓展】如图②，在△ABC中，∠A=a,BE、BF是∠ABC的三等分线（即 ∠ABF=∠FBE=∠EBC),CE、CF是∠ACB的三等分线，则∠E=_ (用含 的代数式表示) (3)【提升应用】在【问题拓展】的条件下： ①若∠E+∠F=249°，∠F的度数为 ②当∠ACB=48°时，△BFC的一条边的所在直线与△ABC的某一边的所在直线垂直时， ∠A= 16.己知：AC∥BG,点D在线段BC上(D不与B、C重合)· A C A A D F D B E G B G 图1 图2 图3 (I)如图1，若DE⊥BC于D,交BG于E: ①求证：∠C+∠BED=90°： ②如图2，分别作∠ACB、∠BED的平分线交于点F,求∠F的度数. (2)如图3，在射线CA上取点P,连接PD,作∠DPC的平分线交BG于点Q,点H在线段 ,连解接的，老HBC=22B0.设BDP么、∠D0=A、∠PB=0,求“、 PO B 0 之间的数量关系 17.如图，△ABC中，AB⊥CD,ED‖BC,且∠B=∠DEF, D (I)求证：EF⊥CD: (2)若EF平分∠DEC,∠BCA=50°，求∠DCE的度数. 18.在△ABC中，∠BAC>∠ABC,三个内角的平分线交于点O. B B 图1 图2 (①)填空：如图1，若∠ACB=70°，则∠AOB的大小为一度； (2)如图1，过点O作OD⊥OC,交AC于点D,证明：∠ADO=∠AOB; (3)如图2，CO的延长线交AB于点E,点M是AB边上的一动点（不与点E重合），过点 M作MN⊥CE于点N,请直接写出∠AMN、∠ABC、∠BAC三者之间的数量关系. 参考答案 1.B 2.C 3.B 4.C 5.c 6.B 7.A 8.B 9.50 10.60 11.70或110 12.76° 13.(1)证明：EF∥CD, ,∠1+∠ECD=180°， GD∥CA .∠2=∠ECD .∠1+∠2=180°： (2)解：GDII CA, .∠BDG=∠A=35°，∠ECD=∠2， :DG平分∠CDB .∠2=∠BDG=35° .∠ECD=∠2=35°， :CD平分∠ACB, .∠ACB=2∠ECD=70° ∴.∠B=180°-∠A-∠ACB=75° 14.【详解】(1)解：：∠ACB=90°，∠BAC=30°， ∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=180°-90°-30°=60°， :∠DAB=32°，DE FG ∴.∠ABG=∠DAB=32°. .∠CBG=∠ABC-∠ABG=60°-32°=28° (2)解：DEIHⅢ. .∠DAC+∠HCA=180° .∠DAB+∠HCB=180°-∠BAC-∠ACB=180°-30°-90°=60°， DEFG‖HI .∠DAB=∠ABG,∠GBC=∠BCH, .∠ABC=∠DAB+∠BCH=60°， 同理可得：∠P=∠DAP+∠PCH, :∠BCH、∠DAB的平分线交于点P, ∠DAP-=5DB∠PcH=5Bcn, 2DiP+∠PCH-(Di6+∠Bc0）-x60=30 ,∠P=∠DAP+∠PCH=30° ∠AQB=75° (3) ,是定值，理由如下： DE‖IFG .∠EAB+∠ABG=180° ∠BAC=30°， ∴.∠EAC+∠ABG=150° :∠EAC、∠ABG的平分线交于点Q, ∠EA0-EaC∠QG=4BG, 2E0+∠08G-(E4C+∠ABG)=x150=75, 过点Q作OK DE, E K-- B G H C DEFG 9 则DE I FGIOK, .∠EAQ=∠AQK,∠GBQ=∠KQB、 ∠AQB=∠AQK+∠KQB=∠EAQ+∠QBG=75 15.(1) 21+22=(ABc+∠4C8)-=57r .∠D=180°-（∠1+∠2）=123° (2)解：：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠A=a ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-a, :BE、BF是∠ABC的三等分线，CE、CF是∠ACB的三等分线， ∠1=∠ABC,∠2=∠ACB 3 3 A+2=2A8c+4c8)=60-a .∠E=180°-(24+∠2)=120°+3a E 图② (3)解：如图， A F 图② 月2)可得BC+2CB4c+∠4C)s0-a）. aF=1s0-0p-a）-60+号a. 2 ·∠E+∠F=249° 1 2 .120+号a+60°+ =249° 3 3 解得：u=69 2 .∠F=60°+二×69°=106° 3 ②如图，当BF⊥AC时，设垂足为G A G F E B :∠ACB=48°，CE、CF是∠ACB的三等分线， :∠GCF=∠ACB=16 3 ∴.∠GFC=90°-16°=749 ∴.∠BFC=180°-∠GFC=1069 ∠BFC=60°+3 2 .60°+50=106 解得：a=69°，即∠A=69 如图，当CF⊥AB时，设垂足为H, A H B :∠ACB=48°，CE、CF是∠ACB的三等分线， ∠iC4-4cB=16 .∠A=90°-∠HCA=90°-16°=74° 当BC⊥AB时，如图， F B ∴.∠A=90°-∠ACB=420 综上所述，∠A=69°或74°或42°. 16.(1)0证明：：DE⊥BC, .∠BDE=90°， .∠DBE+∠BED=90°， :AC∥BG, .∠C=∠DBE, .∠C+∠BED=90°： ②解：过点F作FH∥AC,如图所示： A <------1D7 --------…H B E G ,CF平分∠ACB,EF平分∠BED, &ACr=ACB,∠Br-BED, .AC∥BG .AC∥FH∥BG, ∴.∠CFH=∠ACF,∠EFH=∠BEF, .∠CFE=∠CFH+∠EFH =∠ACF+∠BEF =(∠ACB+∠BED) 2 2×900 =45°； (2)解：设∠HBQ=x, ∠HBC=2∠HBQ, .∠HBC=2x,∠CBG=∠HBC+∠HBQ=3x AC∥BG, .∠ACB=∠CBG=3x, 在△PDC中，∠DPC=180°-∠ACB-∠PDC, :∠PDC=180°-∠BDP=180°-a, ∠DPC=180°-3x-(180°-a)=a-3x :PO平分∠DPC,∠DPQ=B, .∠DPC=2∠DPQ=2B, .a-3x=2p, 即a=2B+3x, 过点H作HN∥AC,如图所示： D H B :AC∥BG, .HN∥AC∥BG, .∠PHN=∠CPQ=B,∠NHB=∠HBQ=x, .∠PHB=∠PHN+∠NHB=B+x=0, x=0-B, .a=2B+3x=2B+3(0-B) 整理得：a=30-B, 即a+B=30 17.(1)证明：AB⊥CD, .∠BDC=90°， ED∥BC, .∠ADE=∠B, :∠DEF=∠B, ∠ADE=∠DEF, .BD EF .∠FGC=∠BDC=90°， EF⊥CD: (2)解：ED//BC, .∠DEC+∠ACB=180° .∠DEC=180°-∠BCA=180°-50°=130°. :EF平分∠DEC :∠FEC=∠DEC=x130°=65° 22 2 由(1)知，EF⊥CD, .∠EGC=90°， .∠DCE=180°-∠EGC-∠GEC=180°-90°-65°=25° 18.【详解】(1)解：，∠ACB=70°， .∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=180°-70°=110°， 三个内角的平分线交于点O, OA、OB分别是∠ABC∠BAC的平分线， :∠0AB=)∠BAC,∠AB0=)∠ABC,∠AC0=,∠ACB 2 2 a20AB+∠AB0=∠B4C+ABC=B4C+∠ABC)-=55. ∠AOB=180°-（∠OAB+∠AB0)=180°-55°=125° (2)OA、OB、OC分别是∠ABC、∠BAC、∠ACB的平分线， :∠0AB=)∠BAC,∠AB0=∠ABC. 2 201B+ZAB0B4C+aBc-B4C+乙iBc)-80°-ACB). :∠A0B=180P-(<04B+∠AB0)=180-080-∠ACB)=90+4CB=90+∠Ac0, :OD⊥OC,即∠COD=90°， ÷∠00C=180-(<C0D+∠4c0)=90°-∠400 ∠AD0=180°-∠ODC=180°-(90°-∠ACO)=90°+∠AC0 .∠ADO=∠AOB: (3)解：如图，当点M在线段AE上时， B .∠AEN+∠BEC=180°，∠ABC+∠BCO+∠BEC=180°， .∠AEN=∠ABC+LBCO=∠ABC+∠ACB =∠ABC+号(180°-∠ABC-∠BAC) -4Bc-BC+90. ,MN⊥CE,即∠MNE=90, :∠AEN+∠MNE+∠EMN=180°，LAMN+∠EMN=180°， :.∠AMN=LAEN+∠NE=)∠ABC-)∠BAC+90+90, 即2∠AMN=∠ABC-∠BAC+360°； 当点M在线段BE的延长线上时，如图， N M 同理∠BEN=2∠1BC、1 2<BAC+90 ,MN⊥CE,即∠MNE=90°， ∠AMN=90°-∠BEN=90°- 、2 2 即2LAMN=LBAC-∠ABC: 综上所述，∠AMN、∠ABC、∠BAC三者之间的数量关系为 2∠AMN=∠ABC-∠BAC+36O°或2∠AMN=∠BAC-∠ABC.